小学数学讲义秋季四年级第7讲超常体系

第7讲第七讲图形的分割与剪拼知识站牌四年级春季四年级寒假等积变形格点与割补四年级秋季图形的分割与剪拼四年级暑假四年级暑假三角形进阶三角形初步构造类图形分割和剪拼漫画释义第7级下超常体系教师版1\n课堂引入同学们玩过七巧板吗？这是一种非常有趣的游戏，只用七块简单的小木片就可以拼成超过一千种不同的图案.那么你们尝试过自己制作七巧板吗？制作七巧板非常简单，只需要一支笔，一把直尺，一张硬纸板和一把剪刀就行了.首先，在硬纸板上画一个正方形，并把它平均分成4×4共16个小方格.然后如下图连接相应的格点并沿线剪开，最后再按照自己的喜好给它们涂上颜色，你就可以得到一副崭新的七巧板了.教学目标1.了解图形分割的一般规律，能自己动手完成分割2.了解图形拼接的典型问题，掌握基本拼接方法3.能灵活运用分割和剪拼的思想，提高动手能力和图形想象能力经典精讲1.把一个几何图形按某种要求分成几个图形，叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个规则的图形，叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．2.把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分时，需要注意图形本身的对称性质，尤其注意是否中心对称；如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合形状来分割图形．3.如果把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，重点考虑边长间的和差关系．4.如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键点，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算来确定剪拼的方法．2第7级下超常体系教师版\n第7讲知识点回顾1.把一个任意三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【分析】答案还有很多A2.用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？【分析】3.用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割方法？【分析】只要过长方形中心即可，如下图：AOB例题思路模块一：中心对称图形的分割（例1，例2）模块二：图形的不规则剪拼（例3~例6）模块三：综合应用（例7，例8）例1将一张正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，你能找到几种剪法？（学案对应：超常1）【分析】过中心的两条相互垂直的直线均可（答案不唯一）第7级下超常体系教师版3\n例2（1）能否将正六边形分成2个形状、大小都相同的图形？（2）能否将正六边形分成3个形状、大小都相同的图形？（3）能否将正六边形分成4个形状、大小都相同的图形？（4）能否将正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？（学案对应：带号1）【分析】（1）过中心且不过顶点的直线即可分成五边形，连接对称顶点即可分成四边形（2）过中心做菱形，或五边形（3）过中心做垂线（4）连接对称顶点4第7级下超常体系教师版\n第7讲例3下图是由完全一样的五个小正方形组成的图形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．（学案对应：超常2）【分析】例4你能将下图中5×5的正方形沿格线分割成七个形状不同的长方形（包括正方形）吗？（学案对应：超常3）【分析】5×5=25，1+2+…+7=28>25，故七个形状不同的长方形中必有至少两个面积相同.4=1×4=2×2，25=1+2+3+4+4+5+6，故有（分割不唯一）第7级下超常体系教师版5\n赵爽的弦图赵爽是三国时期的东吴人，最早用图形的分割和剪拼证明勾股定理的数学家。勾股定理最早出现在我国古代数学名著《周髀算经》中，书中提出了“勾三股四弦五”。2222图中我们可以发现(a-b)+4×（ab÷2）=a+b=c赵爽用这种简明而直观的证明方法，是许多外国科学家感到惊异.外国最早采用类似方法的是印度数学家拜斯伽罗，比赵爽晚了900多年。后来，很多数学家都对这个图形做出了各种各样的割补方法，总计已有300多种方法，刘徽的青朱出入图就是其中很好的一种方法，同学们能不能看出来图形是如何剪拼的呢？例5请将下图剪为三块再拼成一个正方形，你能找到几种方法？（学案对应：带号2）【分析】3×3+4×4=25=5×5，故应拼成5×5的正方形，剪法如下：6第7级下超常体系教师版\n第7讲例6请将下图正方形切成四块，使得它们彼此之间的形状和大小都相同，而且每块当中都含有A、B、C、D四个字母.（学案对应：超常4）CDDBCDAAABBBACCD【分析】例7有一块长8米、宽3米的长方形地毯，现在要把它移到长6米、宽4米的新房间里．请找出一种剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面.为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁的块数尽可能少，应怎样剪拼？（学案对应：带号3）【分析】地毯的面积为8324平方米，新房间的面积为6424平方米，两者虽然长、宽不相等，但面积相等．通过对比不难发现：地毯的长比房间的长多2米，房间的宽比地毯的宽多1米，因此，我们可以把地毯看做由12个21(平方米)的小长方形组成的大长方形，如左下图所示，要达到题目的要求，只要使原地毯的长缩短一小格，即减少2米，使原地毯的宽增加一小格，即增加1米.我们可以沿对角线的方向，把它剪成阶梯形的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如中间图，然后把它们错位互相拼接在一起.即阴影部分先向上第7级下超常体系教师版7\n平行移动1米，再向右平行移动2米，即得右下图．这样只剪成两块，显然为最少.例8用若干个1×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少要用小长方形多少个?（学案对应：带号4）【分析】我们先通过面积计算出最优情况：11×12=132，设用1×6的小长方形x个，用1×7的小长方形y个，有6x7y132．x17t解得：（t为可取0的自然数)，共需x+y=19+t个小长方形．y186t(1)当t=0时，即x+y=1+18=19，表示其中的1×6的小长方形只有1个，剩下的18个小长方形都是1×7的．大长方形中无论是1行还是1列，最多都只能存在1个1×7的小长方形，所以在大长方形中最多只能无重叠的同时存在16个1×7的小长方形．现在却存在18个1×7的小长方形，显然不满足；(2)当t=1时，即x+y=8+12=20时，有如下分割满足，所以最少要用小长方形20个．8第7级下超常体系教师版\n第7讲巧用七巧板相信同学们应该都见过七巧板，七巧板由7块不同颜色的图形组成，分别是五个三角形，一个正方形和一个平行四边形.7部分可以拼接成一个完整的正方形，也可以拼成各式各样的神奇图形.有些图形是完整的，另外一些图形可能是不完整的，中间可能会有空隙的部分，就像一个小洞一样.同学们来想一想，用一副七巧板拼出的图形，最多可以有多少个封闭的“洞”？【答案】：最多可以拼出三个，如下图所示.知识点总结1.注意图形的中心对称性质2.数量关系是解题的突破口家庭作业1.下图是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的小梯形吗？【分析】这道题的要点在于通过计算解决问题.要求把原来的三个正三角形分成大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形组合成要求的梯形.这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三第7级下超常体系教师版9\n角形的中点并连接，如右上图．2.将下图分割成五个大小相等的图形．【分析】因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积．3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种．3.下图是一个被挖去了总面积四分之一的小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【分析】要求把阴影部分分成大小、形状都相同的四个部分，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．4.你能将由正方形和等腰直角三角形组成的下图分成大小和形状都一样的四部分吗？10第7级下超常体系教师版\n第7讲【分析】5.将下图分割成大小、形状都相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【分析】6.请将下图正方形切成四块，使得它们彼此之间的形状和大小都相同，而且每块当中都含有A、B、C、D四个字母.ACBCDCCDBADADBBA【分析】7.如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．数数数而而奥而而奥而而奥OO奥数思奥数思奥数思学学思学学思学学思→第7级下超常体系教师版11\n图1图2数数而而奥而而奥OO奥数思奥数思学学思学学思【分析】图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开(图1)，因此，首先要在它们之间划出切分线．因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转180必定与另一块重合．要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线(图2)．这就为我们解决问题提供了线索.本题的两种解法如上图所示.8.把下图分成两块后拼成一个正方形．【分析】超常班学案【超常班学案1】将一张正方形纸片剪成形状、大小都相同的八块，你能找到几种剪法？【分析】【超常班学案2】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将其分割成4块形状、大小都12第7级下超常体系教师版\n第7讲一样的图形．5【分析】已知图形是由同样大小的5个正方形组成的，要分成4块同样大小的图形，则每块图形是4个正方形．由此想到，若把每个正方形都分成4等份，则分割成的每一块中应包含5份．再稍经试验，即得右上图的解(图内部的实线为分割线)．【超常班学案3】用若干个边长为1，2，3，4的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为5的大正方形，最少需要多少张纸片？请画出具体的拼法．【分析】5×5=25=16+1×9=9+4×3+1×4=4×4+1×9=1×25，故知最少需一张边长3，3张边长2，4张边长1共8张纸片，拼法如图：【超常班学案4】将下图分割成大小、形状都相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【分析】图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：1836(个)，又要分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是O，而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分．O第7级下超常体系教师版13\n123班学案【123班学案1】直角梯形ABCD中，角A与角D是直角，AB=2，BC=CD=4，能否将之分成四个形状相同，面积相等的直角梯形？ABDC【分析】在特殊长度下，有【123班学案2】请将下图中由5个小正方形组成的“十字架”剪成若干块后拼成一个大正方形.【分析】14第7级下超常体系教师版\n第7讲【123班学案3】试将一个49的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．【分析】已知长方形格数9436(个)，所以正方形的边长应为6个格，因此可以把长方形上半部分成3个格、6个格，下半部分成6个格、3个格，得到相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6个格的正方形，如右下图．【123班学案4】把七个长为4厘米，宽为3厘米的长方形纸片既不互相重叠又不留空隙地拼成一个大长方形，那么这个大长方形的周长最小是多少厘米？请画出具体的拼法．【分析】4×3×7=84=1×84=2×42=3×28=4×21=6×14=7×12，由最值原理可知7×12时周长最小，拼法如图：第7级下超常体系教师版15