小学数学讲义秋季四年级第12讲超常体系

第12讲第十二讲操作类智巧趣题知识站牌五年级暑假五年级暑假必胜策略棋盘中的数学四年级秋季操作类智巧趣题三年级春季三年级春季简单统计巧填算符学习并掌握过桥过河问题、剪绳子问题、翻杯子问题、称重问题、称伪币问题漫画释义第7级下超常体系教师版1\n课堂引入“华容道”游戏中带二十个小方格的棋盘代表曹操赤壁之战大败后溃逃时的必经之路华容道；棋盘下方留有一个两方格边长的开口．棋盘上共摆有十个大小不一的棋子，分别代表曹操、张飞、赵云、马超、黄忠和关羽，还有四个卒．这个游戏要求通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部的开口顺利逃走，移动中不允许跨越棋子，还要尽可能使用最少的步数．游戏中曹操逃出华容道的最大障碍是关羽．关羽立马华容道，一夫当关，万夫莫开，是解开这一游戏的关键．“华容道”有几十种布阵方法，如“横刀立马”、“近在咫尺”、“过五关”、“水泄不通”、“小燕出巢”等等．这个游戏引起过许多人的兴趣，大家都力图把移动的步数减到最少．20世纪50年代，苏州师大的许莼舫先生的《趣味数学》详细分析了华容道游戏，给出了100步的解法，并总结出以下规则：1.四个小兵必须两两在一起，不要分开；2.曹操，关羽，大将移动时前面应有两个小兵开路；3.曹操移动时后面还应有两个小兵追赶；4.以上三种状况，其中各块都可局部（不妨碍其他地方）任意移动．随后，历经中外科学家姜长英、藤村幸三郎、清水达雄、马丁加达纳等几十年的努力，游戏解法已减少至81步．后来美国人通过计算机使用穷举法证明了不可能有比81步更少的解法．美国人用计算机找到最终解法后，还曾骗中国人说美国一位著名的博士找到了最终解法，这位博士名叫computer．教学目标1.复习火柴棍游戏和倒水问题2.掌握翻杯子问题、过河过桥问题、剪绳子问题3.全面掌握称重问题和称伪币问题经典精讲智巧趣题主要依靠巧妙的构思解决问题，本讲主要包括过桥过河问题、剪绳子问题、翻杯子问题、称重问题、称伪币问题.1.过河过桥问题中，受限制最多的那一个需要优先考虑.找出正确的第一步至关重要.2第7级下超常体系教师版\n第12讲2.剪绳子问题的关键在于正确想象绳子对折后的形状.3.翻杯子问题中是否可翻取决于杯子数与翻动数的奇偶性，当杯子数为奇数而翻动数为偶数时不可翻；其他情况均可在有限次翻转后满足要求.n14.称重问题中当砝码只能放在一边时，意味着数据只能相加.使用1、2、4、…、2这n个砝码n就可称出1到21中所有整数克的物体.n15.当砝码可以放在两边时，意味着数据可以相加或相减.使用1、3、9、…、3这n个砝码就可n称出1到31中所有整数克的物体.6.有m枚金币外观完全相同，其中有m-1枚真币和1枚伪币，无论是否知晓伪币比真币重/轻（真m1币重量一样重），要保证把伪币找出来，都可以通过每次两边各放[]枚处理．3知识点回顾1.先用火柴棒摆出下面3个三角形，然后移动其中3根火柴棒，使它变成5个三角形.【分析】将底下的三角形平移到上面两个三角形的顶端得到下图2.如图，用16根火柴棒可以摆成4个大小一样的正方形，如果减少4根火柴后，还可以摆成4个大小一样的正方形，应该怎样摆？摆成5个正方形，应该怎样摆？【分析】可以摆成田字形这里面有四个大小一样的正方形和一个大的正方形，所以第一问和第二问的情况都能满足.3.下面火柴棒摆的等式都是错的，请在各式中去掉或添加1根火柴棒，使各式成立.（1）（2）第7级下超常体系教师版3\n【分析】（1）去掉一根可以变为或者（2）添加一根将5变为9等式成立4.请移动一根火柴棍，使下列等式成立：（1）（2）【分析】（1）；（2）.5.卖酒老板要招聘聪明的卖酒伙计.他只给伙计两个分别为5升和3升的盛酒杯，要求伙计能量出一升酒.你知道伙计是怎么做到的吗？【分析】用3升的酒杯量2次倒入5升酒杯中，即可量出1升酒．例题思路模块一：过河过桥问题（例1）模块二：剪绳问题（例2）模块三：翻杯子问题（例3~例4）模块四：称量问题（例5~例8）例1现在有8人要过河，分别是爸爸，妈妈，两个儿子，两个女儿，一个警察和一个犯人.但河边只有一条一次最多能载两个人的船.在这八个人中，只有妈妈，爸爸，警察会开船，船必须有人开才会来回走，并且要避免以下三件事情发生：警察不在，犯人会伤害一家六口；爸爸不在，妈妈会伤害儿子；妈妈不在，爸爸会伤害女儿.请问他们应当如何过河？（学案对应：超常1，带号1）【分析】第一步，警察和犯人过河，警察返回；第二步，警察和一个儿子过河，警察和犯人返回；第三步，爸爸和另一个儿子过河，爸爸返回；第四步，爸爸和妈妈过河，妈妈返回；第五步，警察和犯人过河，爸爸返回；第六步，爸爸和妈妈过河，妈妈返回；第七步，妈妈和一个女儿过河，警察和犯人返回；第八步，警察和另一个女儿过河，警察返回；第九步，警察和犯人返回.4第7级下超常体系教师版\n第12讲例2(1)把一根线绳对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？（学案对应：超常2，带号2）【分析】对折一次:2213段对折二次:4235段对折三次:8279段.(2)涛涛同学在玩折绳游戏，他先将一根绳系成一个圈，然后对折，对折，再从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？n121【分析】当两端连接时，对折n次后，有2根，所以共有28根．九连环九连环是一种流传于民间的智力玩具，用九个圆环相连成串，以解开为胜．传说九连环发明于战国时代；又说发明于三国时期，是诸葛亮因经常在外带兵打仗，不能与家人团聚，为排遣妻子寂寞才发明了这种玩具．但能得到实际确认的记载就要延迟到明代杨慎（1488-1559，号升庵）的《丹铅总录》（见《升庵集》卷六十八），并不早于欧洲．这种游戏于明朝普及，明代中期时，流传更是极广．到清代时上至士大夫，下至贩夫走卒，个个爱玩“九连环”．《红楼梦》中就有林黛玉巧解九连环的细节描写．在现代，九连环游戏仍不失魅力：2003年3月8日，中国甘肃省嘉峪关市的王仲斌以3分57秒成功解出九连环，进入吉尼斯世界纪录大全．2012年10月25日CCTV新闻频道报道，江西理工大学学生杨咸阳创造最快拆解九连环的记录，时间为161秒．例3(1)桌子上有6个开口向上的杯子，规定每次必须同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口向下？【分析】杯子要翻过来得翻奇数次，6个杯子都要翻过来，则总共需要翻动(6×奇数)偶数次杯子；按规定每次同时翻动4只杯子，因为4是偶数，所以翻动有限次后，翻动次数的总和也是偶数．因此有可能经过有限次翻动，使得全部杯子的开口全都向下．(2)桌子上有7个开口向上的杯子，规定每次必须同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得7个杯子的开口全都向下？【分析】杯子要翻过来得翻奇数次，7个杯子都要翻过来，要把所有杯子都翻过来则总共需要翻动奇数次杯子，而每次同时翻动4个，那总次数是偶数，奇数不可能等于偶数，因此不能把7个杯子的开口全都向下．第7级下超常体系教师版5\n例4分别写有1、2、3、4、5的五张纸片，从小到大正面朝上，摞成一摞．现在将1、3和5翻到反面后，仍放在原来位置．将整摞纸片从任一张纸片分成两摞，将上一摞整摞翻转后再放在下一摞上，或者把5张纸片整摞翻转，算是一次“反转”．若要使上述摆放的五张纸片都转变成正面向上的状态，则至少要进行次“反转”.请证明你的结论．（有数字的面为正面）【分析】首先可以进行尝试操作，发现5次是足够的.一个简单的方法如下：下上下上下上上上下上下上下→下→下→上→下→上上上上上下上下下下下下上下划线表示“反转”操作的分界线，即第一次翻最上面一张，第二次翻最上面两张，第三次翻最上面三张，第四次翻最上面四张，第五次五张一起翻.论证：为什么一定要五次，首先要弄清楚，这个问题1,2,3,4,5每张卡片上的数字没有意义，我们不需要按顺序排列，只需要保证最后五张卡片都面向上方即可.最开始每相邻两张卡片都是反向的，最后五张卡片都是同向的.最少的次数至少要保证在这四个间隔上都反转过一次，也就是至少是4次.那么在4次这个状态下我们才有可能达到五张卡片同向，而这个时候注意最下面一张是向的，也就是说即使五张卡片同向，也是五张都向下，所以还需要一次才能五张都向上，也就是理论上的最少次数就是五次.论证了理论上最少是5次，又具体构造出了5次的情况，这样就能严谨的说明本题答案为5.例5有一个托盘天平和若干砝码，如果要求这个天平可以准确称出1-31克的所有整数克，砝码只能放一边，那么最少需要哪几个重量的砝码？（学案对应：超常4，带号3）【分析】至少有1克、2克、4克、8克砝码.要想称出1克的，必须要有1克的砝码；要想称出2克的，可以用1+1，也可以只用2，但增加2克的同时也可以称出1+2=3克的.2克的最优；之后同样的分析，下一个有4克最优，可称出1到7克的物体；之后有8克最优，可以称出1到31克的物体.可以让学生自己去思考.然后逐个排除，找最优的那几个砝码.n1n注：有一个托盘天平和若干砝码，如果要求这个天平可以准确称出1到m(2m2)克的所有整数克的物体，砝码只能放在一边，那么最少需要几个不同重量砝码？砝码只能放在一边，转化为数学语言，其实是数据只能相加.要想称出1克的，必须要有1克的砝码；要想称出2克的，可以用1+1，也可以只用2，但增加2克的同时也可以称出1+2=3克的.2克的最优；之后同样的分析，下一个砝码为4克最优，n1n可称出1到7克的物体；之后用8，16，…，2克的砝码，这样只用n个砝码就可称出1到21中所有整数克的物体.n下面证明n个砝码最多能构成21种数据.证明：n个不同的砝码，每个砝码均可选择用，也可选择不用，即每个砝码只有2种选择．根n据乘法原理，可以知道最多(当结果各不相同时)有2种不同的数据，但去掉全都不选(即为0)n的情况，最多只有21种可能.因此此题结论为n个.6第7级下超常体系教师版\n第12讲数字黑洞“黑洞”是一个天文学名词，但是数学中也存在着具有“吸收一切”特性的数字黑洞．比如选择一个三个数字互不相同的三位数，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出最大数和最小数，两者相减得到一个新数，再按照上述方式重新排列这个新数，再相减……最后总会得到同一个数，请同学们动手试试看是哪个数．又如写出一个任意数字，数出这个数中的偶数字个数，奇数字个数及这个数的总位数，将答案按“偶-奇-总”的位序，排出得到新数；不断重复以上操作，最后也会得到同一个数，请同学们动手试试看这又是哪个数．【答案】495；123例6有一个托盘天平和若干砝码，如果要求这个天平可以准确称出1-40克的所有整数克，砝码可以两边放，那么最少需要哪几个不同重量的砝码？（学案对应：带号4）【分析】要想称出1克的，1克的砝码最优；之后增加3克的砝码最优，就可以称出23-1，3，41+3克的物体；下一次增加9克的砝码，就可以称出9减去1～4克及9加1～4克(1到4为前两个砝码构成的情况)的所有物体；同理，第四个砝码为27克最优.这样可以称出1-40克的所有整数重量.所以需要1克、3克、9克、27克四个砝码.n1n3131注：有一个托盘天平和若干砝码，如果要求这个天平可以准确称出1到m(m)克的22所有整数克，砝码可以两边放，那么最少需要几个不同重量砝码？砝码可以两边放，转化为数学语言，其实是数据可以相减．要想称出1克的，1克的砝码最优；之后增加3克的砝码，就可以称出2(3-1)，3，4(1+3)克的物体；下一次增加9克的砝码，就可以称出9减去1～4克及9加1～4克(1到4为前两个砝码n1构成的情况)的所有物体；类似的，之后可增加27，81，…，3．这样的话，n个砝码就可以n31n1称出1，2，3，…，(列式为：1+3+9+…+3).2n31下面说明n个砝码可称的数量不会超过.2n证明：n个数，每个数前可以添“+”，“-”，或不选，共有3种选择，根据乘法原理．共有3种算式．其中如果都不选的结果为0，而结果大于0的情况与小于0的情况一一对应(有a-b，必n31有b-a)，因此大于0的情况最多(无重复情况)有种．2第7级下超常体系教师版7\n例7（1）8枚金币外观完全相同，其中有7枚真币和1枚伪币，伪币比真币重（真币重量一样重）。现有一架托盘天平,你能至少称几次保证找出伪币？【分析】对比下面两种方法，引导学生知道分三组比分两组称一次将伪币所在的范围缩的更小.分两组情况：3次，将金币编号1-8，第一次将（1,2,3,4）放左边和（5,6,7,8）放右边进行比较，例如左边重，那么伪币一定在1,2,3,4中，再将（1,2）和（3,4）称一次，例如1,2这边重，再称一次1和2即可找出伪币.分三组情况：2次，将金币编号1-8，第一次将（1，2，3）和（4，5，6）进行比较.情况一：平衡伪币在7，8中，再称一次7和8，重者为伪币.情况二：不平衡，比如重的那组是（1，2，3）再称一次1和2或2和3，即可找出伪币.（2）9枚金币外观完全相同，其中有8枚真币和1枚伪币，伪币比真币重（真币重量一样重）。现有一架托盘天平,你能至少称几次保证找出伪币？【分析】将金币编号1-9，平分成三组（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）.第一次将（1,2,3）和（4,5,6）进行比较.情况一：平衡，伪币在7,8,9.再称一次7和8平衡，9是伪币，不平衡哪边重得出伪币.情况二：不平衡，例如1,2,3重，伪币在这三个中，将1和2再比较，平衡3是伪币.不平衡找出伪币.【拓展】有一些球和一架托盘天平，其中有一个球比其他球重.现在已知至少称5次才能保证找出那个重球，那么至少有多少个球？【分析】82个.称一次最多可以保证从3个球里面找到重球，称2次可以保证从9个球里面找到重n球……以此类推，称n次可以保证从3个球里面找到重球.称4次能保证找到的话，最多4可以有3=81个球，所以问至少有多少个球，也就是称4次无法保证找到的最少数量，也就是81+1=82个.【拓展】12枚金币外观完全相同，其中有11枚真币和1枚伪币，伪币比真币重（真币重量一样重）。现有一架托盘天平,你能至少称几次保证找出伪币？【分析】方法一：奖金币编号1-12，将（1,2,3,4）和（5,6,7,8）比较一次，会有两种情况.情况一：平衡，伪币在9,10,11,12之中，再称一次（9，10）和（11,12）比较.不平衡，例如（9,10）这边重，最后将9和10比较一次即可找出伪币；情况二：不平衡，例如1,2,3,4.再称一次（1,2）和（3,4），不平衡，例如1,2这边重在比较一次，即可找出伪币.方法二：将金币编号1-12，第一次将（1,2,3,4,5,6）和（7,8,9,10,11,12）进行比较，比如重的那组是（1,2,3,4,5,6），再平分称一次（1,2,3）和（4,5,6），比如重的那组是（1,2,3），再称一次1和2，平衡3是伪币，不平衡即可找出伪币.（3）9枚外观完全相同的金币，其中有8枚真币和1枚伪币，但不知道伪币比真币轻还是重（真币重量一样重.现有一架托盘天平,你能至少称几次保证找出伪币？【分析】将金币编号1-9，平分三组，（1,2,3）是第一组，（4,5,6）是第二组，（7,8,9）是第三组.左边放第一组，右边放第二组进行比较会有两种情况：情况一：平衡.伪币在7,8,9之中.再称一次7和8，平衡，9是伪币；不平衡，再称一次7和9或8和9，即可找出伪币.情况二：不平衡，将第一组和第三组比较即可确定伪币在哪组同时得知伪币较轻或较重.问题就变成3枚硬币2真1伪知伪币轻重，再称一次即可找出伪币.8第7级下超常体系教师版\n第12讲【拓展】有12枚金币外观完全相同，其中11枚真币和1枚伪币，但不知道伪币比真币轻还是重（真币重量一样重）.现有一架托盘天平,你能至少称几次保证找出伪币？【分析】将硬币编号1-12，分三组:每组四个，第一组编号1-4，第二组5-8，第三组9-12,第一次将（1、2、3、4）和（5、6、7、8）进行比较会有三种情况：情况一：平衡.则伪币的在第三组.接下来可以在左边放第9、10、11号，右边放1、2、3号三个正常的.a.如果平衡，则12号是伪币;b.如果左重右轻，则伪币在9、10、11号中，而且比正常金币重.再称一次：9放左边，10放右边，如果平衡，则11号是伪币；如果左重右轻，则9号是伪币，如果右重左轻，则10号是伪币.c.如果左轻右重，道理同b情况二：左重右轻，则伪币在1-8号中，但不知比正常的轻还是重.第二次称：左边放1、2、5号，右边放6、9、3号.a.如果平衡.则伪币在4、7、8中.可以称第三次：左边放4、7，右边放9、10.如果平衡，则8是伪币;如果左重右轻，则4是不同；如果左轻右重，则7是伪币.b.仍然左重右轻.则伪币在1、2、6中.可以称第三次：左边放1、6，右边放9、10.如果平衡，则2是伪币;如果左重右轻，则1是伪币;如果左轻右重，则6是伪币.c：左轻右重.则伪币在5、3、中，因为只有它们改变了原来的位置.可以称第三次：左放5，3，右放9，10.如果左轻右重，则5是伪币，如果左重右轻，则3是伪币.情况三：左轻右重，道理同情况二.至此，不论发生任何情况，称三次都可以找出伪币，而且知道比正常的轻了还是重了.例8糖果王国进口了10箱糖果，每箱糖果里面有30包糖，每包糖重量为100克.现在已知有一箱糖在生产时候出了问题，每包糖只有99克，但外观和正常的糖一模一样.现在有一台能称量足够重量的电子秤，如果允许把箱子打开拿出糖，请问最少称几次可以把有问题的那箱糖找出来？【分析】1次.将10箱糖编号1-10，1号箱拿1包，2号拿2包……10号拿10包，一起放在秤上称量，正常重量应该为5500克，如果少了x克，那么有问题的糖一定就是x号箱.知识点总结1.过河过桥问题中，受限制最多的那一个需要优先考虑.2.剪绳子问题的关键在于正确想象绳子对折后的形状.3.翻杯子问题中是否可翻取决于杯子数与翻动数的奇偶性，仅当杯子数为奇数而翻动数为偶数时不可翻.4.砝码只能放在一边，其实是数据只能相加.这样只用n个砝码就可称出1到2n1中所有整数克的物体.n5.砝码可以放在两边，其实是数据可以相加或相减.这样只用n个砝码就可称出1到31中所有整数克的物体.6.有m枚金币外观完全相同，其中m-1枚真币和1枚伪币，无论是否知晓伪币比真币重/轻（真第7级下超常体系教师版9\nm1币重量一样重），保证把伪币找出来，都可以通过每次两边各放[]枚处理．3家庭作业1.有三个人和三个鬼，要想办法用船把人和鬼都送到河的对岸，而且任何时候鬼都不能比人多，否则鬼会吃人.现在只有一条船，船上每次最多只能坐两个（两个人，两个鬼或一人一鬼）.请问怎么把人和鬼安全送到河对岸？【分析】先两鬼过去.再一鬼回来.对面有一鬼.这边有三人两鬼.再两鬼过去.再一鬼回来.对面有两鬼.这边有三人一鬼.再两人过去.一人一鬼回来.对面一人一鬼.这边两人两鬼.最后两人过去.一鬼回来.对面三人.这边三鬼.剩下的就三个鬼二个过去一个回来再接另外一个.2.把一根线绳对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？12【分析】对折一次：213段；对折二次：215段；3.桌上放有10枚正面朝下的硬币，第1次翻动其中1枚，第2次翻动其中2枚，第3次翻动其中3枚……第10次翻动10枚．经过10次翻动后，能否使这10枚硬币都正面朝上？【分析】要使它们变成正面向上，则共需翻动偶数次，10次翻动，翻了123451055（次），所以它们不能全部向上．4.有5个字母ABCDE排成一行，每连续4个字母可以颠倒顺序，如A，B，C，D变为D，C，B，A.问：怎样颠倒可以使ABCDE变为EABCD.【分析】ABCDEAEDCBCDEABCBAEDEABCD5.一架天平原本有1克、2克、4克、8克、16克共五个砝码，现在丢了一个砝码，所以无法称出20克、12克、7克的质量，试问丢了哪个砝码（）A．16克B．8克C．4克D．2克【分析】选C6.有一架奇怪的托盘天平，它的砝码只有三个，分别是1克、3克、9克，砝码可以两边放，现在用这三个砝码能称出哪些不同的整数重量？【分析】首先1克的砝码，砝码可以放两边，所以2克就可以一边放3克，另一边放1克和物品平衡2克称出来.有3克的砝码就可以得到2克、3克、4克.同理，一个9克的砝码可以称出5-13克，例如一边放9克另一边放1克、3克和物品平衡即可称出5克.这样可以称出1-13克的所有整数重量.7.现有243只乒乓球，其中有一只次品，它的质量比正品轻一些，若只用一架天平，至少称次，一定可以找出这只次品乒乓球.A.4B.5C.6D.7【分析】B10第7级下超常体系教师版\n第12讲8.10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，合格品重量都相等，请你用天平只称三次，把次品找出来.【分析】把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示.A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，有三种情况：情况一：AB，则A、B中都是正品，再称B、C.如BC，显然D中的那个球是次品;如B>C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论.如BC的情况也可得出结论.情况二：若A>B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有BC，A组中有次品，在A中取出2个球来称，便可得出结论，或BC，B组中有次品，在B中取出2个球来称,便可得出结论.次品只有一个不可能出现BC.情况三：若AB的情况，同上可分析得出结论.超常班学案【超常班学案1】有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1分钟就可以过桥，中强要2分钟，大强要5分钟，最慢的太强需要10分钟．但是17分钟后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？【分析】小强和中强先过桥，用2分钟；再用小强把电筒送过去，用1分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用10分钟，过去以后叫中强把电筒送给小强用2分钟，最后小强与中强一起过河再用2分钟，他们一起用时间：2＋1＋10＋2＋2=17（分钟），正好在桥倒塌的时候全部过河．（时间最短过河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过．这样保证总的时间是最短的）.【超常班学案2】将长为48厘米宽为2厘米的纸带沿着长对折二次，然后从一端开始，每隔2厘米剪一刀，最后可得到多少个正方形？【分析】对折两次，折成4段纸，有3个折痕，这3个折痕处是24的长方形，剩下都是正方形，有4823218个正方形.【超常班学案3】在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯．如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？【分析】按要求每次拨动4个不同房间的开关，而4是偶数，所以，这样的一次操作，拨动房间开关次数是偶数．那么经过有限次拨动后，拨动各房间开关次数总和是偶数．可是，要使7个房间的灯由开变为关，需要拨动各个房间开关奇数次；第8个房间的开关仍为关，需要这个房间拨动开关偶数次．这样，需要拨动开关的总次数是奇数个奇数与一个偶数的和，是奇数．所以按照要求不能把全部房间的灯关上．【超常班学案4】地主雇了阿凡提到自己家打工，并提出了这样的条件：工作一共15天，总共的工资是一根金条.但是必须每天一结算，而且金条上只能切3刀如果不能使每天支第7级下超常体系教师版11\n付的工资一样多，那么就不会给阿凡提任何工资.阿凡提一听便答应了下来，请问他怎样才能拿到工资？【分析】阿凡提把金条平均分为15份，用三刀切成8份，4份，2份和1份四段.第一天拿1份的，第二天拿两份那段，把1份的还给地主，第三天再拿一份，第四天拿4份那段，把另外三份还给地主……就这样阿凡提等于每天获得1小份金条，成功完成了地主的苛刻要求，拿到了工资.123班学案【123班学案1】有一家6口人，夜间要过一座独木桥.他们仅有一盏油灯照明，借助这盏灯，每次最多可以有两人走过独木桥．而这6人过桥所需要的时间分别是1，3，6，8，12，20分钟，要命的是这盏灯只能点燃47分钟了，而没有灯照明，必然会从桥上掉下去．那么这家人怎样才能安全过桥呢？【分析】用1，3，6，8，12，20表示这6人．让时间接近的人搭配过桥，让速度快的人来回送灯第一次：1与3，用的时间是3分钟，让1分钟的人回来送灯，共用时间是314第二次：6与8，用的时间是8分钟，让3分钟的人回来送灯，共用时间是8311第三次：12与20，用的时间是20分钟，让6分钟的人回来送灯，共用时间是20626第四次：1与3，用的时间是3分钟，让1分钟的人回来送灯，共用时间是314第五次：1与6，用的时间是6分钟共用时间是41126445（分钟）【123班学案2】昊昊看涛涛在玩折绳游戏，他也拿来一根绳，对折，对折，再对折，然后把对折后的绳子平均剪成三段，这根绳一共被剪成了多少段？n【分析】对折n次后，当剪成2段时，有21根，当剪成3段时，在剪的中间处有1根，所以多出nnnn14了2．一共有21221根．此题中折了3次，一共剪成了2117根．n1n总结：当两端连接时，对折n次后，有2根．两端未连接，对折n次后，共有21根．【123班学案3】小华有糖300克，还有一架天平和重量分别为30克和5克的两个砝码.问：小华最少用天平称几次，可以将糖分为两份，使一份重100克，另一份重200克?【分析】2次.第一次用30克和5克的两个砝码可以称出35克糖；第二次用30克的砝码和35克糖可称出65克糖.【123班学案4】有一架天平和10个砝码，10个砝码总重100克（重量可以相同）；如果我们规定称量时天平两端都可以放砝码，那么无论是1克至100克中的哪个重量，用这10个砝码都可以只称一次就称出来；请问：所有符合上述条件的砝码配置方法中，第二重的砝码最轻是多少克？【分析】如果第二重的为3克，那么较轻的9个最重是3927克，最重的那个至少为100-27=73克，显然28克-45克都称不出来.所以第二重的最轻为4克，构造可得一组解：2,3,4,4,4,4,4,4,4,67.12第7级下超常体系教师版\n第12讲第7级下超常体系教师版13