小学数学讲义秋季五年级A版第14讲方程法解行程优秀A版

第14讲第十四讲方程法解行程知识站牌五年级春季五年级寒假比例法解行程时钟问题五年级秋季方程法解行程五年级秋季电梯与发车四年级春季相遇追及综合从行程中找到等量关系，并利用方程解决行程问题.漫画释义第9级下优秀A版教师版1\n课堂引入数学是一门具有广泛应用性的科学，我国著名数学家华罗庚先生曾说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”．数学应用题的类型很多，比较简单的是方程应用题，又以一元一次方程应用题最为基础，方程应用题种类繁多，以行程问题最为有趣而又多变．行程问题的三要素是：距离(s)、速度(v)、时间(t)，行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧．教学目标1.会画线段图分析相遇、追及问题，并能根据线段图找出等量关系；2.会列方程解决行程问题.经典精讲一、列方程解应用题的基本步骤1.审题分析题意，弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，它们之间有什么等量关系.2.设未知数根据题目中的等量关系，用字母表示题目中的未知数，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写.3.列方程列方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量.4.解方程方程的变形应根据等式性质和运算法则.5.答题检查方程的解是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位，写出答案2第9级下优秀A版教师版\n第14讲二、解行程问题的应用题要用到路程、速度、时间之间的关系，s、v、t三个量的关系为s=vt，或v=s÷t，或t=s÷v.三、相遇问题基本公式：速度和×相遇时间=相遇路程四、追及问题基本公式：速度差×追及时间=追及路程知识点回顾1、(1)男生与女生共有55人，已知男生有x人，则用x表示女生的人数：____________（2）共40人参加一次测验，成绩分优，良，差三等.得优的有a人，得良的人数是得优的2倍，用a表示得差的人数:________(3)表示比a的4倍少18的数:___________________(4)列出含字母a和b的方程，a与b的和的5倍等于18：____________________（5）列出含字母a的方程，一个数a与比a的9倍多3的数的和为20：_____________________【分析】（1）55-x(2)40-a-2a(3)4a-18(4)5(a+b)=18(5)a+(9a+3)=202、张飞的速度是a米/秒，刘备的速度是b米/秒，两人从相距200米的路上相向而行，经过20秒相遇，列出关于a,b的方程：_________________________________________【分析】200米是相遇路程张刘二人共同走的，20a+20b=200或20（a+b）=2003、乌龟的速度是m米/分,蜗牛的速度是n米/分，乌龟在蜗牛的后面200米处同时前进，经过5分钟乌龟追上蜗牛，列出关于m，n的方程：______________________________________【分析】200米是追及路程乌龟比蜗牛多走的路程差，5m-5n=200或5（m-n）=200例题思路模块1：例1、例2、例3:行程基本问题模块2：例4:行程综合问题模块3：例5:多人相遇例1学生版中只有（1）~（5）武西和艾迪从相距200米的地方同时、相对而走，武西每步迈a米，艾迪每步迈b米（b>a），如果第9级下优秀A版教师版3\n两人每秒各迈1步.（1）武西迈10步，走了多少米？（2）艾迪迈t步，走了多少米？（3）两人各迈一步，一共走了多少米？（4）两人同时迈20步，距离拉近了多少米？还差多少米相遇?（5）两人相遇时各迈了多少步？（6）两人相遇时艾迪比武西多走了多少米？（7）若两人相遇时，艾迪比武西多走了30米，求相遇时间.【分析】相遇问题.这里的200表示相遇路程，a,b即为速度，步数相当于时间.（1）武西路程10a（2）艾迪路程bt（3）共走路程a+b（4）共走路程：20（a+b），200-20（a+b）（5）相遇时间：200（a+b）200（6）路程差：(ba)ab（7）相遇时间：30(ba)想想练练：艾迪在武西后面200米的地方，两人同时、同向而走，武西每步迈a米，艾迪每步迈b米（b>a），若两人每秒各迈1步.（1）两人各迈1步，艾迪比武西多走了多少米？（2）两人各迈10步，艾迪比武西多走了多少米？（3）两人各迈多少步，艾迪能把武西追上？【分析】追及问题.这里的200米表示追及路程，a,b即为速度，步数相当于时间.（1）b-a（2）10（b-a）（3）200(ba)例2花果山和高老庄两地相距65千米，孙悟空的速度是10千米/分，猪八戒的速度是2千米/分，孙悟空先出发半小时，猪八戒才出发.（1）若两人分别从两地出发，相对而行，问八戒出发后几分钟与孙悟空相遇？（2）若两人都从花果山去高老庄，悟空到达后按原路返回.问八戒经过多长时间与孙悟空相遇？（学案对应：学案1）【分析】（1）求相遇时间，直接设元.解：设悟空出发后x分与八戒相遇.0.510(210)x65解得x5（2）两人相遇共走了2个全程.解：设经过了y分与乙相遇.50.510(102)y652解得y1212想想练练：某工程兵队修铁路开凿山洞的长是300米，两个班从两端开始凿山洞，甲班每天凿出5米，乙班每天凿出6米，甲班比乙班先开凿了4天，问乙开凿多少天后，还差60米没有凿通？【分析】设乙开凿x天后，还差60米没有凿通.54(56)x60300解得x204第9级下优秀A版教师版\n第14讲步长测距法同学们可能很想知道日常生活中一些身边的距离到底是多少米，但又不会随身带着尺子之类度量长度的工具。其实不需要尺子，我们一样可以估算一段比较长的距离。其实，每人都有一副灵便的尺子，随时带在身边，这副尺子就是我们的双脚。用双脚测量距离，首先要知道自己的步子有多大。成年人一步的距离大约在75厘米到85厘米之间，而同学们的步子会小一些。但是无论如何，每个人在一段时间内的身高变化不会太大，而迈步的幅度又已经养成了习惯，因此步子大小变化也不会太大。接下来，当确定了我们每一步走出的距离后，就可以通过数步数的方法简单地计算我们所走过的距离了。在这里需要注意的是，迈步要自然，与平时走路的幅度、频率基本相同，这样才能保证我们测出的数据是基本准确的。例如我们每迈一步能走60厘米，从跑道的一端走到另一端，一共走了200步，我们就能够计算出来，跑道两端之间的距离是：60200100120（米）。这种测距离的方法是不是很方便呢？同学们可以在生活中尝试使用哦！例3红太狼在灰太狼后面500米之处追赶灰太狼，两狼同时同向出发，已知红太狼每分钟比灰太狼每分钟走的3倍还少6米，经过5分钟追上.（1）求红太狼每分钟走了多少米？（2）若追上后两狼继续前进，并且红太狼先到达青青草原后掉头按原路返回，请问再经过多长时间，红太狼会在距离青青草原200米的地方与灰太狼迎面相遇.（学案对应：学案2）【分析】（1）追及问题，反求速度，方程优于算术法.利用两者速度关系设元，根据公式追及路程=速度差时间列方程.设灰太狼的速度为x米/分，则红太狼的速度为（3x-6）米/分.(3x6x)5500解得x53.红太狼：3x-6=353-6=153米/分（2）这种给出距离的多次相遇问题可以理解成追及问题的变形，抓住两个量同时走的一段进行分析，不难发现红比灰多走了两个200米即为路程差，再利用速度差反求时间.法1：2002（153-53）=4（分钟）法2：设再经过y分钟.(15353)y2002解得y4【拓展】某城市东西路和南北路交汇于路口A,甲在路口A南边560米处的B点，乙在路口A处.甲向北，乙向东同时匀速行走.4分钟后二人距A的距离相等，在继续行走24分钟后，二人距A的距离也相等.问：甲、乙二人的速度各多少？【分析】设x为甲的速度，设y为乙的速度，第一次距A相等时，甲与乙的路程和为560；第二次距A相等时，甲与乙的路程差为560时.因此可列出方程组如下：4(xy)560x80解得：28(xy)560y60第9级下优秀A版教师版5\n例4甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离．（学案对应：学案3）【分析】先画图如下：26甲66乙26ACBD设甲的速度是x米/分钟那么有(x50)26(x50)6解得x80AB两地的距离为(8050)6780(米)，或(8050)26780(米)例5甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，问：（1）经过多长时间丙与乙相遇？（2）求东西两镇间的路程有多少米？（学案对应：学案4）【分析】丙与乙相遇时，甲乙相差的距离恰好等于2分钟丙与甲的路程和.设经过x分钟丙与乙相遇.（67.5-60）x=(60+75)×2解得：x=36因此东西镇的路程为36×（67.5+75）=5130米.想想练练：甲、乙两车的速度分别为52千米/时和40千米/时，它们同时从A地出发到B地去，出发后6小时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1小时后乙车也遇到了这辆卡车.求这辆卡车的速度.【分析】法1：设这两卡车的速度为x千米/小时.(5240)6(x40)1解得x=32法2：甲乙两车最初的过程类似追及，速度差×追及时间=路程差；路程差为72千米；72千米就是1小时的甲车和卡车的路程和，速度和×相遇时间=路程和，得到速度和为72千米／时，所以卡车速度为72-40=32千米／时.【拓展】在一条长12米的电线上，黄甲虫在8：20从右端以每分钟15厘米的速度向左端爬去，8：30红甲虫和蓝甲虫从左端分别以每分钟13厘米和11厘米的速度向右端爬去，红甲虫在什么时刻恰好在蓝甲虫和黄甲虫的中间?【分析】8：30时黄甲虫距左端：1200-15×10=1050(cm)．设再经过t分钟，红甲虫位于蓝甲虫和黄甲虫的中间(如下图所示)．此时，红甲虫距蓝甲虫(13-11)t厘米，距黄甲虫[1050-(15+13)t]厘米，可得方程：（13-11）t=1050-（15+13）t，解得：t=35，所以从8：30再经过35分钟，即9：05时红甲虫恰在蓝甲虫和黄甲虫中间.6第9级下优秀A版教师版\n第14讲【拓展】甲、乙、丙三人依次相距300米，甲、乙、丙每分钟依次走100米、90米、85米．如果甲、乙、丙同时同向出发，那么经过几分钟，甲第一次与乙、丙的距离相等．【分析】出发时三者的位置关系如下图：甲与乙、丙的距离相等有两种情况：一种是乙追上丙时；另一种是甲位于乙、丙之间．（1）乙追上丙需：300÷(90-85)=60(分)．（2）设甲位于乙、丙之间且与乙、丙等距时如下图所示：设此时三人走了t分钟，则由方程：100t-(90t+300)=(85t+600)-100t，t=36．经比较甲第一次与乙、丙的距离相等需36分钟.某人上午八点从山脚出发，沿山路步行上山，晚上八点到达山顶。不过，他并不是匀速前进的，有时慢，有时快，有时甚至会停下来。第二天，他早晨八点从山顶出发，沿着原路下山，途中也是有时快有时慢，最终在晚上八点到达山脚。试着说明：此人一定在这两天的某个相同的时刻经过了山路上的同一个点。答案：把这个人两天的行程重叠到一天去，换句话说想象有一个人从山脚走到了山顶，同一天还有另一个人从山顶走到了山脚。这两个人一定会在途中的某个地点相遇。这就说明了，这个人在两天的同一时刻都经过了这里。杯赛提高甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲每分钟走80米，乙每分钟走60米.甲到达B地后，休息了半个小时，然后返回A地，甲离开B地15分钟后与正向B地行走的乙相遇.问从乙出发到与甲相遇共行了多少分钟？【分析】设乙从出发到与甲相遇共行了x分钟.60x+15×80=80×（x-30-15）60x+1200=80x-36004800=20xx=240第9级下优秀A版教师版7\n知识点总结1.行程问题的基本公式：sssvt，v，ttv2.相遇与追及问题的基本公式：相遇路程=速度和×相遇时间追及路程=速度差×追及时间判断相遇与追及问题的关键是：路程和，路程差.3.列方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量.家庭作业1.甲的速度为x米/分,乙的速度为甲的5倍，则乙的速度为____米/分，甲乙的速度和为___米/分，甲乙的速度差为____米/分.若甲乙从相遇a米的地方同时相向而行，____分后相遇；若乙在甲后b米，两人同时出发，_____分后乙追上甲.ab【分析】5x,6x,4x,，6x4x2.A、B两地相距230千米，甲从A地出发2小时后，乙从B地出发与甲相向而行，乙出发20小时后与甲相遇，已知乙的速度比甲的速度每小时快1千米，求甲、乙的速度各是多少？【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为(x+1)千米/时.根据甲走的路程+乙走的路程=230千米可列出方程.（20+2）x+20(x+1)=230解得：x=5.乙的速度为5+1=6千米/时3.两列客车从A、B相向而行，甲车每小时行30千米，乙车每小时行25千米.相遇时，甲比乙多行15千米，求A、B两地相距多少千米？【分析】设经过x小时相遇30x-25x=155x=15x=3A、B两地相距：（30+25）×3=165（千米）4.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲18分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知甲每分钟行50米，求乙的速度．【分析】设乙速度是x米/分钟.根据路程（和/差）相等列方程：1850x650x，解得x25.乙的速度是25米/分钟.8第9级下优秀A版教师版\n第14讲5.小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：经过多长时间小张与小李相遇？【分析】如图：设经过了x小时小张与小李相遇.5(10.84.8)(5.44.8)x6013解得x即130分钟.66.如图：甲，乙两人同时匀速从A地出发到B地，甲到B地后直接返回，在C地与乙相遇，共用时30分，且知道甲每分走的路程比乙每分走的路程的2倍少30米.（1）若AB的距离为2700米，则乙的速度为_____米/分.（2）若BC的距离为750米，则乙的速度为_____米/分.甲ABC乙【分析】（1）设乙的速度为x米/分，则甲的速度为（2x-30）米/分.两人相遇共走了2个全程，因此可列出方程：（x+2x-30）×30=2700×2解得：x=70（2）设乙的速度为y米/分，则甲的速度为（2y-30）米/分.两人相遇时，甲比乙多走了2个BC，因此由追及问题可列出方程：（2y-30-y）×30=750×2解得：y=80注：此题说明了相遇与追及问题的实质为：路程的和差A版学案【学案1】南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，两船经过8小时相遇，问从上海开出的船每小时行多少千米？【分析】设从上海开出的船每小时行x千米.(28x)8392解得x21【学案2】甲乙两车从相距350米的AB两地同时同向出发，已知乙每秒走的路程比甲每秒走的路程的2倍多5米，经过20秒两者相距50米，求甲车每秒钟行驶多少米？【分析】情况一：乙在甲后面50米.解：设甲的速度为x米/秒，则乙的速度为（2x+5）米/秒.第9级下优秀A版教师版9\n（2x+5-x）20=350-50解得x=10.情况二：乙超过甲50米.解：设甲的速度为y米/秒，则乙的速度为（2y+5）/秒.（2y+5-x）20=350+50解得y=15答：甲的速度为10米/秒或者15米/秒.【学案3】一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/小时的速度前进.突然1号队员以45千米/小时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/小时的速度往回骑，直到与其他队员会合.1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？102【分析】从1号队员离队开始计算，当他行进10千米时，所用的时间：小时，之后1号与459其他人相差的距离等于1号与其他人相遇的距离.设返回的时间为x小时.则21211(4535)(4535)x，解得x,因此共经过了（小时）9369364【学案4】甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米，乙速度是每小时4.2千米，他们二人顺时针方向行走，丙的速度为每小时3千米，逆时针方向行走，甲和丙相遇再过5分钟，乙与丙相遇.那么绕湖一周的路程是多少？【分析】设甲丙经过x小时相遇，由乙丙5分钟走的路程和等于甲乙x小时的路程差可列出方程如下：5(4.23)(5.44.2)x，解得：x0.5，因此绕湖一周的路程为（5.4+3）×0.5=4.2千60米.10第9级下优秀A版教师版