小学数学讲义秋季五年级超常第12讲燕尾模型超常体系

第12讲第十二讲燕尾模型知识站牌五年级寒假五年级寒假圆与扇形初步长方体与正方体五年级秋季燕尾模型五年级秋季蝴蝶模型五年级秋季鸟头模型简单的燕尾模型；会利用辅助线构造燕尾.漫画释义第9级下超常体系教师版1\n课堂引入燕尾模型是共边模型中的一个模型.由于它形状像燕子的尾巴，为了便于记忆，就起名为燕尾模型.我们看下图，像不像一只在天空飞翔的燕子？教学目标1.认识燕尾模型，会从不同角度看出燕尾；2.会利用燕尾的特征构造出燕尾；3.能够将复合的燕尾分拆.经典精讲既然燕尾模型是共边模型的一种，那么它也符合面积比例模型：S3:S4ll1:2SS1:2S3:S4ll1:2SS:SSll:132412后面这个式子，就是我们燕尾模型中的常用公式.AS1S2DGFS3S4l1l2BEC在三角形ABC中，有S△ABG:S△AGCS△BGE:S△EGCBE:EC；S△BGA:S△BGCS△AGF:S△FGCAF:FC；S△AGC:S△BCGS△ADG:S△DGBAD:DB.2第9级下超常体系教师版\n第12讲燕尾模型为三角形中的面积与对应底边之间提供了相互联系的途径，可以帮助我们解决很多几何问题.知识点回顾3636631.已知:,求___,___.51051010533答案:,553939932.已知:,求___,___26266233答案:,22bkbbkbbkb3.已知:(k0,k1),求___,___.akaakaakabb答案:,aaSSlSl4.在下图中,利用“高相同时,三角形的面积比等于底的比”,可知:131,且31,利用上SSlSl24242S面题的结论可知:1____S2S1S2S3S4l1l2l答案:1l2SAOSAO135.在下图中,利用“高相同时,三角形的面积比等于底的比”,可知:,且,所以SOCSOC24SS13____SS24第9级下超常体系教师版3\nBAS1S2S3OS4CDAO答案:OC例题思路模块1：例1，2：塞瓦定理及其应用模块2：例3，4，5：燕尾的应用模块3：例6，7，8：燕尾综合例1（1）如图（（1）－（3）），S，S代表所在小三角形的面积，其他数代表所对应线段的长度，分别12S求出每个图中1的值.S2SSS（2）如图（4），则AOB___，BOC____，将上两式两边分别相乘，即可得到BOC____SSSAOCAOBAOCSAOBSBOCSAOC（3）如图（5），则___，____，____.SAOCSAOBSBOCace（4）如图（6），则___bdf26S1S2S210S2336S1S1图（1）图（2）图（3）4第9级下超常体系教师版\n第12讲AA2Ae2dE2FFEOEf54OO3cB3D5CB4D3CBaDbC图（4）图（5）图（6）135【分析】（1）燕尾模型的直接应用.分别为，，223353（2），，522431（3），，322aScSeSace（4）AOB，BOC，AOC，三式相乘，得1。这也叫塞瓦定bSdSfSbdfAOCAOBBOC理。【巩固】如图，已知ABD的面积是15，ACD的面积是20，BCD的面积是14.求CDE的面积是多少？A1520D14BCESBE153S3S444ABDBDECDE【分析】SS8CDEBCDSCE204S4S3477ACDCDEBCD例2如图，ABC中，BDDC:2:3,AEEC:5:3,则AFFB:.（学案对应：超常1）AEFGBDC【分析】法1：根据燕尾模型有SABG:SACGBDDC:2:310:15,SABG:SBCGAEEC:5:310:6,（都有△AGB的面积要统一，所以找最小公倍数）第9级下超常体系教师版5\n所以AFFB:S:S15:65:2.ACGBCG23AFAF5法2：直接应用塞瓦定理：1，则.35FBFB2【巩固】如右图，三角形ABC中，BDDC:3:4，AECE:5:6，求AFFB:.AEFOBDC【分析】根据燕尾模型得S:SBDCD:3:415:20△AOB△AOCS△AOB:S△BOCAECE:5:615:18（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S:S20:1810:9AFFB:△AOC△BOC例3如图，E在AC上，D在BC上，且AEEC:2:3,BDDC:1:2，AD与BE交于点F．四边形DFEC2的面积等于22cm，则三角形ABC的面积．AAA1.6EEEF2FF2.412BBBDCDCDCSBD1SAE2△ABF△ABF【分析】连接CF,根据燕尾模型，，,S△ACFDC2S△CBFEC32设S1份，则S2份，S2份，S4份，S41.6△BDF△DCF△ABF△AFC△AEF233份,S42.4份,如图所标,所以S22.44.4份,S2349份△EFCEFDC△ABC232所以S224.4945(cm)△ABC【铺垫】如图所示，在△ABC中，BEEC:3:1，D是AE的中点，那么AFFC:．AAFFDDBECBEC6第9级下超常体系教师版\n第12讲【分析】连接CD．由于S:S1:1，S:S3:4，所以S:S3:4，△ABD△BED△BED△BCD△ABD△BCD根据燕尾模型，AFFC:S:S3:4．△ABD△BCD【拓展】如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？AAGGNNMMBDEFCBDEFC【分析】连接CM、CN．根据燕尾模型，S:SAGGC:1:1，S:SBDCD:1:3，所以△ABM△CBM△ABM△ACM1S△ABMS△ABC；5再根据燕尾模型，S:SAGGC:1:1，所以S:SS:S4:3，△ABN△CBN△ABN△FBN△CBN△FBNS142△ANG所以ANNF:4:3，那么，所以S2437△AFC2515S1SSS．FCGN△AFC△ABC△ABC7742815根据题意，有S△ABCS△ABC7.2，可得S△ABC336(平方厘米)528塞瓦定理塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》，塞瓦定理是塞瓦的重大发现。第9级下超常体系教师版7\n例4如右图，三角形ABC中，AFFB:BDDC:CEAE:3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．（学案对应：超常2）AAEEGGFFIIHHBCBCDD【分析】连接AH、BI、CG．222由于CEAE:3:2，所以AEAC，故SABESABC；555根据燕尾模型，S:SCDBD:2:3，S:SCEEA:3:2，所以ACGABGBCGABG49S:S:S4:6:9，则S，S；ACGABGBCGACGBCG19192248那么SS；AGEAGC5519959同样分析可得S，则EGEH:S:S4:9，EGEB:S:S4:19，ACHACGACHACGACB19所以EGGHHB::4:5:10，同样分析可得AGGIID::10:5:4，55215511所以SS，SS．BIEBAEGHIBIE1010551919519【拓展】如右图，三角形ABC中，AFFB:BDDC:CEAE:4:3，且三角形ABC的面积是74，求三角形GHI的面积．AAEEFHFHIIGGBDCBDC【分析】连接BG，S△AGC12份根据燕尾模型，S:SAFFB:4:312:9，S:SBDDC:4:316:12△AGC△BGC△ABG△AGCS△AGC12得S9(份)，S16(份)，则S9121637(份)，因此,△BGC△ABG△ABCS△ABC37S△ABH12S△BIC12同理连接AI、CH得,,S37S37△ABC△ABCS371212121△GHI所以S3737△ABC8第9级下超常体系教师版\n第12讲1三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是74237例5如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?（学案对应：超常3，带号1）AF84EO354030BDC【分析】设S△BOFx，由题意知BDDC:4:3根据燕尾模型,得33S:SS:S4:3,所以S(84x)63x，△ABO△ACO△BDO△CDO△ACO443再根据S:SS:S，列方程(84x):(4030)(63x35):35解得△ABO△BCO△AOE△COE4x56因为S△AOE:35(5684):(4030)，所以S△AOE70所以三角形ABC的面积是844030355670315例6如图所示，在四边形ABCD中，AB3BE，AD3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边形BODC的面积为.（学案对应：带号2）AAF4F28EDED1O6O6BCBC【分析】连接AOBD,,根据燕尾模型S△ABO:S△BDOAFFD:1:2,S△AOD:S△BODAEBE:2:1,设S△BEO1,则其他图形面积，如图所标，所以SBODC2SAEOF21224.【铺垫】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是_________平方厘米．第9级下超常体系教师版9\nDCDCFFGGAEBAEB【分析】连接AC、GB，设S1份，根据燕尾模型得S1份，S1份，则△AGC△AGB△BGC22S正方形（111）26份，SADCG314份，所以SADCG126496(cm)例7如图，等腰直角三角形DEF的斜边在等腰直角三角形ABC的斜边上，连接AE、AD、AF，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么△ABC的面积是________．（学案对应：带号3）【分析】如图（1）延长AD交BC于G；如图（2）根据燕尾模型，得到SDEG:SDGF2:30.4:0.6；如图（3）；GDGA:0.4:2.41:6，由于ED∥BA，那么EGGB:1:6，同理FGGC:1:6，那么△ABC的面积为（123）636。本题使用了燕尾模型、相似三角形等性质，学生不需要进行严格地证明，知道结论并会使用它解题即可。【铺垫】如图，线段AB与BC垂直，已知AD=EC=4，DB=BE=6，那么图中阴影部分面积是多少？10第9级下超常体系教师版\n第12讲AADDOBBECEC【分析】这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，我们不妨连接这个图形的对称轴看看.作辅助线BO，则图形关于BO对称，设△ADO的面积为2份，则△DBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份.因为S610230，而阴影部分的面积为4份，△ABE所以阴影部分的面积为308415例8如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？（学案对应：超常4，带号4）AAGGQPFFMNBDECBDEC【分析】设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．根据燕尾模型，S△ABP:S△CBPAGGC:1:2，S△ABP:S△ACPBDCD:1:2，设1S△ABP1(份)，则S△ABC1225(份)，所以S△ABP5211213121同理可得，S△ABQ,S△ABN,而S△ABG，所以S△APQ，S△AQG．72375353721311239同理，S△BPMS△BDM,所以S四边形PQMN，3521273570139511511115S,S,S.四边形MNED四边形NFCE四边形GFNQ3357042321426321642第9级下超常体系教师版11\n只移动3根火柴棒，你能使小燕子向相反的方向飞行吗？答案：知识点总结燕尾模型：S1S2S3S4l1l2S:Sll:3412SS:S:Sll:123412S1S3:S2S4ll1:2塞瓦定理：AedFEfOcBaDbCace结论：1bdf12第9级下超常体系教师版\n第12讲家庭作业1.右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．2413【分析】法1：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：2:S阴影13:4，解得S阴影2.法2：回顾下燕尾模型，有2:（S4）1:3，解得S2.阴影阴影2.如图，ABC中，BDDC:3:4,AEEC:5:4,则AFFB:.AEFGBCDBDCEAF34AFAF5【分析】由塞瓦定理1得：1，所以DCAEFB45FBFB33.如图，已知BD3DC，EC2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC面积的几分之几？AA11E9EOO2213.54.5BDCB3D1C【分析】连接CO,设S△AEO1份，则其他部分的面积如图所示，所以S△ABC1291830份，124.5139313.59所以四部分按从小到大各占△ABC面积的,,,30306030103020DCEAFB1△GHI的面积4.如图，在△ABC中，,求的值．DBECFA3△ABC的面积第9级下超常体系教师版13\nAAEEHHFFIGIGBDCBDC【分析】连接BG,设S1份，根据燕尾模型△BGCS:SAFFB:3:1,S:SBDDC:3:1,得S3(份)，S9(份),△AGC△BGC△ABG△AGC△AGC△ABGS3SS3△AGC△ABH△BIC则S△ABC13(份)，因此,同理连接AI、CH得13,,S13SS13△ABC△ABC△ABCS△GHI133334所以S△ABC13135.如图，ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问ABC的面积是多少?AE6FO224BCD【分析】很明显的燕尾模型问题.其中两块面积未知，可用方程的方法.设SAOFx，SCOEy，根据燕尾模型,得S:SS:S,S:SS:S即ABOACOBDOCDOABOBCOAOECOE2(x2)y6(x2):(6y)2:4，(6y):(24)x:2，即，2(6y)6xx4解得，y6所以三角形ABC的面积是22446624.6.如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?AADD13FEFE233BGCBCG55【分析】设S1份，则根据燕尾模型其他面积如图所示SS平方厘米.△DEF阴影△BCD12127.三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分14第9级下超常体系教师版\n第12讲的面积．AAEEDDMNBBFCFC【分析】令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．在△ABC中，根据燕尾模型，S△ABM:S△BCMAECE:1:1,S△ACM:S△BCMADBD:1:1,1所以SSSS△ABM△ACM△BCN△ABC311由于S△AEMS△AMCS△ABM，所以BMME:2:122在△EBC中，根据燕尾模型，S:SBFCF:1:1S:SMEMB:1:2△BEN△CEN，△CEN△CBN.设S1(份)，则S1(份)，S2(份)，S4(份)，△CEN△BEN△BCN△BCE1111所以S△BCNS△BCES△ABC,S△BNES△BCES△ABC，因为BMME:2:1,F为BC中点,244822111111所以SSSS,SSS,△BMN△BNE△ABC△ABC△BFN△BNC△ABC3381222481155所以SSS153.125(平方厘米)阴影△ABC△ABC12824248.如图，面积为1的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求中心六边形面积.AADIDINREHEPHQMSBCBCFGFG【分析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR在△ABC中根据燕尾模型，S:SBGCG:.2:1,△ABR△ACRS△ABR:S△CBRAICI:1:2222所以SS,同理SS,SS△ABR△ABC△ACS△ABC△CQB△ABC7772221所以S1△RQS77771同理S△MNP711131根据容斥原理，及超常123班学案4的结论可知：S六边形777010第9级下超常体系教师版15\n超常班学案【超常班学案1】如图，已知BDDC:2:3,AEEC:5:3,BDG的面积是12.求ABC的面积.AEFGBDCS25BDG【分析】BDDC:2:3SS30BCGBDGS32CDGS555ABGAECE:5:3SABGSBGC3050S333BGCSABG23BDDC:2:3SACGSABG75SACG32SSS503075155ABGACGBCG【超常班学案2】如图，ABC中BD＝2DA，CE2EB，AF2FC，那么ABC的面积是阴影三角形面积的倍．AADDGFFHIBCBCEE【分析】如图，连接AI．根据燕尾模型，S:SBDAD:2:1，S:SCFAF:1:2，BCIACIBCIABI所以，S:S:S1:2:4，ACIBCIABI22那么，SBCISABCSABC．12472同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的，所以阴影三角形的面积等于721ABC面积的13，所以ABC的面积是阴影三角形面积的7倍．77【超常班学案3】如图，ABC被分成6个三角形，己知其中4个三角形的面积，问BOF,AOE的面积是多少?16第9级下超常体系教师版\n第12讲AF216EO458040BCD【分析】设Sx，Sy，根据燕尾模型,得AOEBOFS:SS:S,S:SS:S即ABOACOBDOCDOABOBCOAOECOE216y2(x45)(216y):(x45)80:40，(216y):(8040)x:45，即，45(216y)120xx135解得，y144所以SBOF144,SAOE135【超常班学案4】如右图，面积为1的△ABC中，BDDEEC::1:2:1，CFFGGA::1:2:1，AHHIIB::1:2:1，求阴影部分面积．AAHGHGMNIFIFPBDECBDEC【分析】设IG交HF于M，IG交HD于N，DF交EI于P．连接AM，IF．9∵AIAB:3:4，AFAC:3:4，S△AIFS△ABC16∵S△FIM:S△AMFIHHA:2:1，S△FIM:S△AIMFGGA:2:1，193∴S△AIMS△AIFS△ABC∵AHAI:1:3∴S△AHMS△ABC，464643∵AHAB:1:4AFAC:3:4∴S△AHFS△ABC．163733同理S△CFDS△BDHS△ABC∴S△FDHS△ABC，HMHF::1:4，16166416∵AIAB:3:4,AFAC:3:4，∴IF∥BC，又∵IFBC:3:4,DEBC:1:2，∴DEIF:2:3,DPPF:2:3，同理HNND:2:3，∵HMHF:1:4，∴HNHD:2:5，177∴SSS．△HMN△HDF△ABC101601607721同理6个小阴影三角形的面积均为，所以阴影部分面积6．16016080第9级下超常体系教师版17\n123班学案【超常123班学案1】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则四边形ADPE的面积是多少？AAAExyEEDDDPP7P73337777BCBCBC【分析】法1：如中上图.连结AP，并设Sx，Sy.APDAPE根据比例模型，S:SBPEP:S:S1:1，得出yx3.BPCEPCBPAEPA再由燕尾模型，x:3S:SADBD:S:S(y7):7(x10):7，ADPBDPACPBCP解比例方程得，x7.5，阴影部分ADPE面积xy7.5(7.53)18.法2：如右上图.由已知条件，SBPCSEPC7，所以BPPE，再连结DE．所以三角形DPE的面积为3.设三角形ADE的面积为x，则x:33ADDB:x10:10，所以x15，四边形的面积为15318．【超常123班学案2】如图，在平行四边形ABCD中，BEEC，CF2FD．求阴影面积与空白面积的比．ADHFGBCE11【分析】法1：因为BEEC，CF2FD，所以SS，SS．△ABE四边形ABCD△ADF四边形ABCD46因为AD2BE，所以AG2GE，1121所以S△BGES△ABES四边形ABCD，S△ABGS△ABES四边形ABCD．3123611同理可得，S△ADHS四边形ABCD，S△DHFS四边形ABCD．8241因为S△BCDS四边形ABCD，所以空白部分的面积2111112()SS，四边形ABCD四边形ABCD21224683112所以阴影部分的面积是S．:1:2，所以阴影面积与空白面积的比是1:2．四边形ABCD333法2：连接CG、CH、AC,AC交BD于O，有AOOC在△ABC中，根据燕尾模型可以得到18第9级下超常体系教师版\n第12讲S:SBECE:1:1,S:SAOOC:1:1,所以△ABG△ACG△ABG△CBG111SSSS,所以SSS,△BCG△ACG△ABCABCD△BGE△AGOABCD3612同理在△ACD中，根据燕尾模型可以得到1111SSS,SSS,△AHC△ACDABCD△DCH△ACDABCD24481111所以SSS,SSS△AHO△AHCABCD△DFH△DCHABCD2832411111所以SSSSS()SS阴影△BEG△AGO△AHO△DHFABCDABCD1212824312所以阴影面积与空白面积的比:1:233ADHFOGBEC【超常123班学案3】已知四边形ABCD，CHFG为正方形，S甲:S乙1:8，a与b是两个正方形的边长，求ab:____.ABABaa甲甲CGCGDDOOM乙乙EEHbFNHbF【分析】观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾模型来求解.连接EO、AF，根据燕尾模型：S△AOE:S△AOFab:，S△AOF:S△EOFab:22所以S△AOE:S△EOFa:b，作OM⊥AE、ON⊥EF，∵AEEF22∴OMON:a:b33∴S甲:S乙a:b1:8∴ab:1:2.【超常123班学案4】如图，面积为1的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.第9级下超常体系教师版19\nAADIDINEHEPMHQBCBCFGFG【分析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾模型吧！令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP⑴求S：在△ABC中，根据燕尾模型，四边形ADMIS△ABM:S△CBMAICI:1:2S△ACM:S△CBMADBD:1:2设S△ABM1(份)，则S△CBM2(份),S△ACM1(份),S△ABC4(份),1111所以SSS，所以SSS,SS,△ABM△ACM△ABC△ADM△ABM△ABC△AIM△ABC431212111所以S()SS,四边形ADMI△ABC△ABC121261同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的6⑵求S：在△ABC中，根据燕尾模型五边形DNPQES△ABN:S△ACNBFCF:1:2S△ACN:S△BCNADBD:1:2,11111所以SSSS,同理SS△ADN△ABN△ABC△ABC△BEQ△ABC3372121在△ABC中，根据燕尾模型S△ABP:S△ACPBFCF:1:2,S△ABP:S△CBPAICI:1:21所以SS△ABP△ABC511111所以SSSSSS五边形DNPQE△ABP△ADN△BEP△ABC△ABC5212110511同理另外两个五边形面积是△ABC面积的10511113所以S133阴影61057020第9级下超常体系教师版