高二物理课件 11.3 简谐运动的回复力和能量 （人教版选修3-4）

\n\n\n\n\n\n\n\n\n一、对回复力的理解1.回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的.可能是一个力的分力,也可能是几个力的合力.\n2.简谐运动的回复力：F=-kx.(1)由F=-kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置.(2)公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定.(3)根据牛顿第二定律得，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反.\n(1)要判断一个振动是否是简谐运动也可以利用简谐运动的动力学表达式F=-kx进行判断；(2)回复力是根据效果命名的，不是独立性质的力，由振子在振动方向上的合力提供.\n【典例1】如图所示，A、B叠放在光滑水平地面上，B与自由长度为L0的轻弹簧相连，当系统振动时，A、B始终无相对滑动，已知mA=3m，mB=m，当振子距平衡位置的位移x=时，系统的加速度为a，求A、B间摩擦力Ff与位移x的函数关系．\n【解题指导】(1)题中“A、B始终无相对滑动”说明A、B两物体的运动情况相同，具有相同的加速度；(2)由“当振子距平衡位置的位移x=时，系统的加速度为a”根据牛顿第二定律求出弹簧的劲度系数；(3)对应“问题”是任意位置，所以应设出任意位移，根据牛顿第二定律求解.\n【标准解答】设弹簧的劲度系数为k，以A、B整体为研究对象，系统在水平方向上做简谐运动，其中弹簧的弹力为系统的回复力，所以对系统运动到距平衡位置时，有k=(mA+mB)a,由此可得k=①当系统的位移为x时,A、B间的静摩擦力为Ff,此时A、B具有共同加速度a′,对系统有-kx=(mA+mB)a′②对A有Ff=mAa′③由①②③得Ff=答案：Ff=\n【规律方法】判断一个振动为简谐运动的方法根据简谐运动的特征进行判断，由此可总结为：(1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用运动的位移—时间图象是否满足正弦规律来判断；(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F=-kx进行判断；(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动特征a=判断.\n【变式训练】(2011·沈阳高二检测)如图所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1=k,k2=2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，则下列判断正确的是()\nA.m做简谐运动，OC=OBB.m做简谐运动，OC≠OBC.回复力F=-kxD.回复力F=-3kx【解析】选A、D.物体m离开平衡位置时所受的指向平衡位置的回复力F=-(k1x+k2x)=-3kx，符合简谐运动的回复力特点，因此物体m做简谐运动，所以OC=OB，故A、D正确，B、C错误.\n二、简谐运动过程中各量的变化振子以O点为平衡位置做简谐运动，如图所示：\n各物理量的变化规律为：\n\n(1)简谐运动中在最大位移处，x、F、a、Ep最大，v=0,Ek=0;在平衡位置处，x=0,F=0,a=0,Ep最小，v、Ek最大.(2)简谐运动中振动系统的动能和势能相互转化，机械能的总量不变，即机械能守恒.\n【典例2】如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系,T是振动周期,则下列选项中正确的是()\n\nA.若甲表示位移x,则丙表示相应的速度vB.若丁表示位移x,则甲表示相应的速度vC.若丙表示位移x,则甲表示相应的速度vD.若乙表示位移x,则丙表示相应的速度v【解题指导】解答本题的要点是：\n【标准解答】选A、B.本题可结合如图所示的弹簧振子的振动情况具体分析,不难发现,在振子从平衡位置(t=0)向右(正方向)运动到正向最大位移的过程中,其速度由正向最大值减小到零,A正确;在振子从负向最大位移处开始运动时,经周期回到平衡位置时,振子向右(正方向)速度最大,B正确;若物体从正向位移向平衡位置运动时,物体的负向速度逐渐增大,C错误;若物体从平衡位置向负向最大位移处运动,则物体的负向速度逐渐减小,D错误.\n【规律方法】简谐运动中各物理量的分析方法解答此类问题需要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻(或某一位置)的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系.其关系如下:(1)由定义知:F∝x,方向相反.(2)由牛顿第二定律知:a∝F,方向相同.(3)由以上两条可知:a∝x,方向相反.(4)v和x、F、a之间的关系:当v、a同向(即v、F同向,也就是v、x反向)时,v一定增大;当v、a反向(即v、F反向,也就是v、x同向)时,v一定减小.\n【变式训练】在简谐运动中，振子每次经过同一位置时，下列各组中描述振动的物理量总是相同的是()A．速度、加速度、动能B．动能、回复力和位移C．加速度、速度、势能D．速度、动能、回复力【解析】选B．通过对简谐运动过程的分析可知，在同一位置，位移、加速度、回复力、动能、势能一定相同，由于通过同一位置具有往复性，所以速度可能相同，也可能相反.故选项B正确.\n【变式备选】在水平方向上做简谐运动的质点其振动图象如图所示,假设向右为正方向,则物体加速度向右且速度也向右的时间是()A.0～1s内B.1～2s内C.2～3s内D.3～4s内\n【解析】选D.由题图可知:3～4s内质点正在从负向最大位移向平衡位置振动,结合振动示意图,知该过程为从B→O，速度向右,由于简谐运动回复力总指向平衡位置,故该过程加速度方向也向右.\n三、简谐运动的特征在实际中的应用\n1.对称性：做简谐运动的物体，运动过程中各物理量关于平衡位置对称．物体通过关于平衡位置对称的两点，加速度大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等．对称性还表现在过程的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等．质点从某点向平衡位置运动时到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等．\n2.周期性：简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可作如下判断：(1)若t2-t1=nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同．(2)若t2-t1=nT+，则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等、方向相反(或均为零)．\n【典例3】公路上匀速行驶的货车受一扰动,车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板.一段时间内货物在竖直方向上的振动可视为简谐运动,周期为T.取竖直向上为正方向,以某时刻作为计时起点,即t=0,其振动图象如图所示,则()\nA.t=T时,货物对车厢底板的压力最大B.t=T时,货物对车厢底板的压力最小C.t=T时,货物对车厢底板的压力最大D.t=T时,货物对车厢底板的压力最小【解题指导】(1)分析货物在最低点和最高点的受力情况,并判定货物在最低点和最高点的加速度方向.(2)根据牛顿第二定律列出方程.(3)由牛顿第三定律求出货物对车的压力.\n【标准解答】选C.要使货物对车厢底板的压力最大,则车厢底板对货物的支持力最大,即货物向上的加速度最大,由振动图象可知在T时,货物向上的加速度最大,故C选项正确;货物对车厢底板的压力最小,则车厢底板对货物的支持力最小,即货物向下的加速度最大,由振动图象可知在时,货物向下的加速度最大,所以选项A、B、D错误.\n【变式训练】如图所示，图(甲)为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图(乙)为该弹簧振子的振动图象，由图可知下列说法中正确的是()A.在t=0.2s时，弹簧振子可能运动到B位置B.在t=0.1s与t=0.3s两个时刻，弹簧振子的速度相同C.从t=0到t=0.2s的时间内，弹簧振子的动能持续的增加D.在t=0.2s与t=0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度相同\n【解析】选A.t=0.2s时，振子的位移为正的最大，但由于没有规定正方向，所以此时振子的位置可能在A点也可能在B点，A正确.t=0.1s时速度为正，t＝0.3s时速度为负，两者方向相反，B错.从t=0到t=0.2s的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错.t=0.2s与t=0.6s两个时刻，位移大小相等，方向相反，故加速度大小相等，方向相反，D错.\n【典例】如图所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,平衡位置为O,已知振子的质量为M.\n(1)简谐运动的能量取决于_____,本题中物体振动时_____能和_____能相互转化,总_____守恒.(2)关于振子的振动过程有以下说法,其中正确的是()A.振子在平衡位置,动能最大,势能最小B.振子在最大位移处,势能最大,动能最小C.振子在向平衡位置运动时,由于振子振幅减小,故总机械能减小D.在任意时刻,动能与势能之和保持不变\n(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面,且m和M无相对滑动的一起运动,下列叙述正确的是()A.振幅不变B.振幅减小C.最大动能不变D.最大动能减少\n【解题指导】简谐运动是一种无能量损失的振动,它只是动能与势能间的转化,总机械能守恒.其能量只由振幅决定,即振幅不变振动系统的能量不变.当m在最大位移处轻放在M上时,说明m刚放上时总动能为0,m放上前后振幅不改变,振动系统机械能总量不变.\n【标准解答】(1)简谐运动的能量取决于振幅,本题中物体振动时动能和弹性势能相互转化,总机械能守恒.(2)振子在平衡位置两侧往复振动,在最大位移处速度为零,动能为零,此时弹簧的形变量最大,势能最大,所以B正确;在任意时刻只有弹簧的弹力做功,所以机械能守恒,D正确;到平衡位置处速度达到最大,动能最大,势能最小,所以A正确;振幅的大小与振子的位置无关,所以选项C错误.\n(3)振子运动到B点时速度恰为0,此时放上m,系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能,由于简谐运动中机械能守恒,所以振幅保持不变,因此选项A正确,B错误；由于机械能守恒,最大动能不变,所以选项C正确,D错误.答案：(1)振幅动弹性势机械能(2)A、B、D(3)A、C\n一、选择题1.关于做简谐运动的物体的说法正确的是()A．加速度与位移方向有时相同，有时相反B．速度方向与加速度方向有时相同，有时相反C．速度方向与位移方向有时相同，有时相反D．加速度方向总是与位移方向相反【解析】选B、C、D．回复力的方向与位移的方向始终相反，加速度的方向与回复力的方向一致，选项A错误，D正确；当离开平衡位置时，速度与位移的方向相同，当向平衡位置运动时，速度与位移的方向相反，故选项B、C正确.\n2.(2011·兰州高二检测)关于质点做简谐运动，下列说法中正确的是()A.在某一时刻，它的速度与回复力的方向相同，与位移的方向相反B.在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同C.在某一段时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大D.在某一段时间内，它的势能减小，加速度的大小也减小\n【解析】选A、D.如图所示，设O为质点做简谐运动的平衡位置，它由C经过O到B，又由B经过O到C的一个周期内,由于质点受到的回复力和位移的方向总是相反的，且质点由B到O和由C到O的过程中，速度的方向与回复力的方向相同，A正确.质点的位移方向与加速度方向总相反，B不正确.质点振动过程中，当回复力增大时，其势能增加，根据机械能守恒定律，其动能必然减小，C不正确.当质点的势能减小时，如从C到O或从B到O阶段，回复力减小，质点的加速度大小也减小，D正确.\n3.如图所示,弹簧振子B上放一个物块A,在A与B一起做简谐运动的过程中,关于A受力说法中正确的是()A.物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力B.物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力C.物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力D.物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力\n【解析】选D.物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用.摩擦力提供回复力,所以随时间的变化,其大小和方向都变化,D选项正确.\n4.对于弹簧振子的回复力与位移的关系图象，下列图象中正确的是()【解析】选C．根据公式F=-kx，可判断回复力与位移的关系图线是一条直线，斜率为负值，故选项C正确.\n5.如图所示，在水平方向上振动的弹簧振子受力情况是()A．重力、支持力和弹簧的弹力B．重力、支持力、弹簧的弹力和回复力C．重力、支持力和回复力D．重力、支持力、摩擦力和回复力\n【解析】选A．回复力是按力的作用效果命名的，不是性质力，在对物体进行受力分析时是对性质力进行分析，因此不能添加上回复力．回复力可以是几个力的合力，也可以是某个力的分力，故选项B、C、D错误，选项A正确．\n6.弹簧振子在做简谐运动的过程中，下列说法中正确的是()A．在平衡位置时它的机械能最大B．在最大位移处它的弹性势能最大C．从平衡位置到最大位移处它的动能减小D．从最大位移处到平衡位置它的动能减小【解析】选B、C．弹簧振子在平衡位置时速度最大，其动能最大，势能最小．由平衡位置到最大位移处，其动能减小，势能增大，全过程机械能总量保持不变，由以上分析知选项B、C正确．\n7.(2011·绵阳高二检测)当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是()A.振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等B.振子从最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧弹力始终做负功C.振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供D.振子在运动过程中，系统的机械能守恒\n【解析】选C、D.振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，A错；振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，做正功，B错；振子运动过程中的回复力由弹簧振子所受合力提供且运动过程中机械能守恒，故C、D对.\n二、非选择题8.如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为_____，大小逐渐_____，回复力方向为_____，大小逐渐_____，振子速度方向为_____，大小逐渐_____，动能逐渐_____，势能逐渐_____.(选填“正”、“负”、“增大”或“减小”)\n【解析】振子从B向O运动的过程中，位置在O点的右方，与O点距离逐渐减小，故位移为正值，大小逐渐减小.由F=-kx和a=可知，回复力和加速度的大小均在减小，方向为负，振子的速度方向为负，大小逐渐增大，故动能也在增大，势能逐渐减小.答案：正减小负减小负增大增大减小\n9.两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为k1、k2，它们与一个质量为m的小球组成弹簧振子，如图所示．试证明弹簧振子做的运动是简谐运动．\n【证明】以平衡位置为坐标原点建立坐标轴，设左右两边弹簧的弹力分别为F1、F2,振子在平衡位置时F合=F1+F2=k1x0-k2x0=0,当振子离开平衡位置时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力.设离开平衡位置的正位移为x，则可以认为两个弹簧均是从原长开始变化，振子所受的合力为F=-(k1x+k2x)=-(k1+k2)x=-kx.所以弹簧振子的运动为简谐运动.\n【方法技巧】判断物体的振动是否为简谐运动的方法判断一个振动是否是简谐运动,可依据F=-kx进行判断,也就是说看回复力F大小是否与位移x成正比,且方向相反.具体步骤如下:(1)找出振动的平衡位置;(2)让质点沿振动方向偏离平衡位置的位移为x;(3)对物体进行受力分析;(4)规定正方向(一般规定位移的方向为正),求出指向平衡位置的合力(回复力),判断是否符合F=-kx.\n10.试证明光滑斜面上的小球连在弹簧上,把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放,小球的运动是简谐运动.\n【证明】如图,小球静止时弹簧的伸长量为再往下拉后弹簧相对于静止位置伸长x时,物体的回复力F=-k(x0+x)+mgsinθ=-kx.由此可判定物体是做简谐运动.\nThankyou!\n励志名言形成天才的决定因素应该是勤奋\n安全小贴上课间活动注意安全