山东省潍坊一中2022学年高二数学上学期1月月考试卷含解析

2022-2022学年山东省潍坊一中高二（上）1月月考数学试卷　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．若＜＜0，则下列结论正确的是（　　）A．a＞bB．ab＜bC．﹣＜﹣2D．a2＞b2　2．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（　　）A．4B．C．4D．　3．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a7等于（　　）A．4B．6C．8D．10　4．“x＞3”是“不等式x2﹣2x＞0”的（　　）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．非充分必要条件　5．椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（　　）A．B．C．2D．4　6．抛物线的准线方程为（　　）A．x=﹣1B．y=﹣1C．D．　7．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（　　）A．B．C．D．　8．等差数列{an}的通项公式an=2n+1，其前n项和为Sn，则数列前10项的和为（　　）A．120B．70C．75D．100　9．若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（　　）A．0B．﹣2C．D．﹣3　16\n10．设P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2面积是9，则a+b=（　　）A．4B．5C．6D．7　　二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为　　　　　　．　12．双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，一条渐近线方程为，则双曲线方程为　　　　　　．　13．过抛物线y2=ax的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=8且|AB|=10，则a=　　　　　　．　14．已知数列{an}满足，则an=　　　　　　．　15．已知a＞0，x，y满足若z=2x+y的最小值为1，则a=　　　　　　．　　三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤16．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．　17．等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn．等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，a3=b3．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．　18．点P在椭圆上，求点P到直线3x﹣4y=24的最大距离和最小距离．16\n　19．已知B（﹣2，0），C（2，0）是△ABC的两个顶点，且满足|sinB﹣sinC|=sinA．（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；（Ⅱ）过点C作倾斜角为的直线交点A的轨迹于E、F两点，求|EF|．　20．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管费为平均每天每6吨18元（从面粉进厂起开始收保管费，不足6吨按6吨算），购面粉每次需要支付运费900元，设该厂每x天购买一次面粉．（注：该厂每次购买的面粉都能保证使用整数天）（Ⅰ）计算每次所购买的面粉需支付的保管费是多少？（Ⅱ）试求x值，使平均每天所支付总费用最少？并计算每天最少费用是多少？　21．已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10．椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．　　16\n2022-2022学年山东省潍坊一中高二（上）1月月考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．若＜＜0，则下列结论正确的是（　　）A．a＞bB．ab＜bC．﹣＜﹣2D．a2＞b2考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由＜＜0，可得，化简即可得出．解答：解：∵＜＜0，∴，即b＜a．故选：A．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．　2．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（　　）A．4B．C．4D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．解答：解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故选A．点评：本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对基础公式的熟练应用．　3．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a7等于（　　）A．4B．6C．8D．10考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用a1，a3，a4成等比数列求出首项和公差的关系，再把公差代入即可求出a7．解答：解：因为a1，a3，a4成等比数列，所以有a32=a1•a4⇒（a1+2d）2=a1•（a1+3d）⇒a1•d=﹣4d2，16\n又因为d=2，所以a1=﹣8．所以a7=a1+6d=4．故选：A．点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识，考查方程思想在解决数列问题中的应用．在等差数列、等比数列问题中基本量是解题的关键，一般是根据已知条件把基本量求出来，然后在解决问题．4．“x＞3”是“不等式x2﹣2x＞0”的（　　）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．非充分必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：结合不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：解不等式x2﹣2x＞0得x＞2或x＜0，则x＞3⇒x2﹣2x＞0，而x2﹣2x＞0时，x＞3不成立0．故“x＞3”是“不等式x2﹣2x＞0”的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查函数充分条件和必要条件的应用，比较基础．　5．椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（　　）A．B．C．2D．4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，化为，可得a=1，b=．利用长轴长是短轴长的2倍，即可得出．解答：解：椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，∴，∴a=1，b=．∵长轴长是短轴长的2倍，∴，解得m=4．故选：D．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于基础题．　6．抛物线的准线方程为（　　）A．x=﹣1B．y=﹣1C．D．16\n考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把抛物线转化为标准式方程为x2=4y，得到焦点在y轴上以及p=2，再直接代入即可求出其准线方程．解答：解：把抛物线转化为标准式方程为x2=4y，∴抛物线焦点在y轴上，且p=2，即其准线方程为y=﹣1．故选B．点评：本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．　7．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（　　）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，可得m=3n，从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率．解答：解：双曲线mx2﹣ny2=1化为标准方程为：∵双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，∴∴m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为：∴椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方为=∴椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C．点评：本题考查椭圆、双曲线的离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　8．等差数列{an}的通项公式an=2n+1，其前n项和为Sn，则数列前10项的和为（　　）A．120B．70C．75D．10016\n考点：数列的求和．专题：计算题．分析：根据题意，由等差数列的前n项和公式，可得Sn==n（n+2），进而可得=n+2，分析可得数列也是等差数列，且其通项公式为则=n+2，由等差数列的前n项和公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，等差数列{an}的通项公式an=2n+1，则其首项为3，公差为2，其前n项和为Sn==n（n+2），则=n+2，数列也是等差数列，且其通项公式为则=n+2，有a1=3，a10=12，则其前10项的和为=75；故选C．点评：本题考查数列的求和，关键是求出数列的通项，推出数列的性质，进而选择合适的求和公式．　9．若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（　　）A．0B．﹣2C．D．﹣3考点：一元二次不等式与二次函数．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在区间（0，）恒成立，只要f（x）在区间（0，）上的最小值大于等于0即可得到答案．解答：解：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥016\n若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选：C点评：本题主要考查一元二次函数求最值的问题．一元二次函数的最值是高考中必考内容，要注意一元二次函数的开口方向、对称轴、端点值．　10．设P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2面积是9，则a+b=（　　）A．4B．5C．6D．7考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义、勾股定理，△F1PF2面积是9，可得c2﹣a2=9，结合双曲线的离心率是=，求出a，c，可得b，即可求出a+b的值．解答：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则|m﹣n|=2a①由∠F1PF2=90°，可得m2+n2=4c2，②则①2﹣②得：﹣2mn=4a2﹣4c2，∴mn=2c2﹣2a2，∵△F1PF2面积是9，∴c2﹣a2=9，∵双曲线的离心率是=，∴c=5，a=4，∴b=3，∴a+b=7．故选：D．点评：本题主要考查双曲线的基本性质．在涉及到与焦点有关的题目时，一般都用定义求解．　二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为　“若x≤1，则x2≤1”　．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．解答：解：命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，故答案为：“若x≤1，则x2≤1”16\n点评：本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．　12．双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，一条渐近线方程为，则双曲线方程为　　．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可设双曲线的方程为：．（a＞0，b＞0）．焦距为2c．由于焦距为16，一条渐近线方程为，可得2c=16，，再利用c2=a2+b2，即可得出．解答：解：由题意可设双曲线的方程为：．（a＞0，b＞0）．焦距为2c．∵焦距为16，一条渐近线方程为，∴2c=16，，又c2=a2+b2，联立解得a=6，b=．所求的双曲线方程为：．故答案为：．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．　13．过抛物线y2=ax的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=8且|AB|=10，则a=　4　．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得a＞0，然后直接由抛物线的焦点弦长公式结合已知求得a的值．解答：解：由抛物线方程y2=ax，且抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）满足x1+x2=8，可知a＞0，即2p=a＞0，∴．由抛物线的焦点弦公式得：|AB|=x1+x2+p，∵x1+x2=8且|AB|=10，∴10=8+p，即p=2，16\n∴，a=4．故答案为：4．点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的焦点弦长公式，是基础题．　14．已知数列{an}满足，则an=　　．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知，可得，两式相减可得，可得结果．解答：解：∵①∴②①﹣②得，=故，故答案为：点评：本题考查数列的基本运算，构造两式相减是解决问题的关键，属基础题．　15．已知a＞0，x，y满足若z=2x+y的最小值为1，则a=　　．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由题意得a＞0，作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=﹣2a时z取得最小值，由此建立关于a的等式，解之即可得到实数a的值．解答：解：由题意可得：若可行域不是空集，则直线y=a（x﹣3）的斜率为正数时．因此a＞0，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，2），B（1，﹣2a），C（3，0）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值16\n∴z最小值=F（1，﹣2a）=1，即2﹣2a=1，解得a=故答案为：点评：本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数的最小值情况下求参数a的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．　三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤16．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：充分条件；命题的真假判断与应用．分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．解答：解：（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3命题q：⇔⇔2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，所以，所以1＜a≤2点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．　16\n17．等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn．等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，a3=b3．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{an}公差为d，数列{bn}的公比为q，由已知可得，由此能求出数列{an}与{bn}的通项公式．（Ⅱ）由，得，由此利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和Tn．解答：解：（Ⅰ）设{an}公差为d，数列{bn}的公比为q，由已知可得，又q＞0，∴，∴an=3+3（n﹣1）=3n，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{an}中，a1=3，an=3n，∴，∴，∴Tn=（1﹣）==．点评：本题考查数列{an}与{bn}的通项公式和数列{}的前n项和Tn的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．　18．点P在椭圆上，求点P到直线3x﹣4y=24的最大距离和最小距离．16\n考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：可设P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式，运用两角和的余弦公式，化简结合余弦函数的值域即可得到最值．解答：解：由于点P在椭圆上，可设P（4cosθ，3sinθ），则，即，所以当时，；当时，．点评：本题考查椭圆方程及运用，考查椭圆的参数方程及运用，以及点到直线的距离公式和两角和的余弦公式，考查余弦函数的值域，属于中档题．　19．已知B（﹣2，0），C（2，0）是△ABC的两个顶点，且满足|sinB﹣sinC|=sinA．（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；（Ⅱ）过点C作倾斜角为的直线交点A的轨迹于E、F两点，求|EF|．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由于满足|sinB﹣sinC|=sinA．利用正弦定理得，|b﹣c|=a．再利用双曲线的定义即可得出．（II）过C（2，0）倾斜角为的直线为y=x﹣2，与双曲线的定义联立可得根与系数的关系，利用弦长公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵满足|sinB﹣sinC|=sinA．由正弦定理得，|b﹣c|=a．∵B（﹣2，0），C（2，0）∴a=4．∴|b﹣c|=a=2＜BC，∴A点的轨迹是双曲线，方程为=1（y≠0）．（Ⅱ）设E（x1，y1），F（x2，y2）．16\n过C（2，0）倾斜角为的直线为y=x﹣2，则，消去y得，2x2+4x﹣7=0，∴x1+x2=﹣2，．∴|EF|===6．点评：本题考查了正弦定理、双曲线的定义及其标准方程、直线与双曲线相交问题转化为方程联立根与系数的关系、用弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　20．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管费为平均每天每6吨18元（从面粉进厂起开始收保管费，不足6吨按6吨算），购面粉每次需要支付运费900元，设该厂每x天购买一次面粉．（注：该厂每次购买的面粉都能保证使用整数天）（Ⅰ）计算每次所购买的面粉需支付的保管费是多少？（Ⅱ）试求x值，使平均每天所支付总费用最少？并计算每天最少费用是多少？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由题意，每次购进6x吨面粉，则应用等差数列前n项和公式求得保管费为18x+18（x﹣1）+…+18=9x（x+1）；（Ⅱ）设平均每天支付的总费用是y，则y=[9x（x+1）+900]+6×1800=+9x+10809；应用基本不等式即可．解答：解：（Ⅰ）由题意，每次购进6x吨面粉，则保管费为18x+18（x﹣1）+…+18=9x（x+1），（Ⅱ）设平均每天支付的总费用是y，则y=[9x（x+1）+900]+6×1800=+9x+10809≥10989；（当且仅当=9x，即x=10时取等号）所以该厂应每10天购买一次面粉，才能使每天支付的费用最少，平均每天最少费用是10989元．点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用，属于中档题．　21．已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10．椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．16\n（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由椭圆定义及条件知2a=|F1B|+|F2B|=10，得a=5．又c=4，所以b==3．由此可知椭圆方程为+=1．（2）由点B（4，yB）在椭圆上，得|F2B|=|yB|=．因为椭圆右准线方程为x=，离心率为．根据椭圆定义，有|F2A|=（﹣x1），|F2C|=（﹣x2）．由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得x1+x2=8．由此可知x0===4．（3）由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得9（）+25（）（）=0（x1≠x2）．将=x0=4，=y0，=﹣（k≠0）代入上式，得9×4+25y0（﹣）=0（k≠0）．由此可求出m的取值范围．解答：（1）解：由椭圆定义及条件知2a=|F1B|+|F2B|=10，得a=5．又c=4，所以b==3．故椭圆方程为+=1．（2）解：由点B（4，yB）在椭圆上，得|F2B|=|yB|=．因为椭圆右准线方程为x=，离心率为．根据椭圆定义，有|F2A|=（﹣x1），|F2C|=（﹣x2）．16\n由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得（﹣x1）+（﹣x2）=2×．由此得出x1+x2=8．设弦AC的中点为P（x0，y0），则x0===4．（3）解：由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得9x12+25y12=9×25，④9x22+25y22=9×25．⑤由④﹣⑤得9（x12﹣x22）+25（y12﹣y22）=0，即9（）+25（）（）=0（x1≠x2）．将=x0=4，=y0，=﹣（k≠0）代入上式，得9×4+25y0（﹣）=0（k≠0）．由上式得k=y0（当k=0时也成立）．由点P（4，y0）在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m，所以m=y0﹣4k=y0﹣y0=﹣y0．由P（4，y0）在线段BB′（B′与B关于x轴对称）的内部，得﹣＜y0＜．所以﹣＜m＜．点评：在推导过程中，未写明“x1≠x2”“k≠0”“k=0时也成立”及把结论写为“﹣≤m≤”也可以．　16