山东省淄博市桓台二中2022届高三数学上学期10月月考试卷文含解析

2022-2022学年山东省淄博市桓台二中高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}则∁U（A∪B）()A．{6，8}B．{5，7}C．{4，6，7}D．{1，3，5，6，8}2．已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是()A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=33．函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是()A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）4．已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于()A．﹣3B．﹣1C．1D．35．设a=log54，b=（log53）2，c=log45则()A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c6．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下面判断正确的是()A．在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数B．在（1，3）内f（x）是减函数C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x=2时f（x）取到极小值7．已知f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是()A．2B．3C．4D．78．函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为()A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，1]9．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=()-14-\nA．﹣B．﹣C．D．10．已知函数f（x）=x3﹣px2﹣qx的图象与x轴切于（1，0）点，则f（x）的极大值、极小值分别为()A．，0B．0，C．﹣，0D．0，﹣二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若f（x）=xa是幂函数，且满足=3，则f（）=__________．12．“x=3”是“x2=9”的__________条件．13．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（﹣2）=3，则f（2）=__________．14．若曲线y=x4﹣x在点P处的切线垂直于直线x+3y=0，则点P的坐标是__________．15．已知命题p：函数y=log0、5（x2+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=﹣（5﹣2a）x是减函数、若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是__________、三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．设a＞0，是R上的偶函数．（1）求a的值；（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．17．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．18．例4、已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f（x）（﹣1≤x≤1）是奇函数．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值﹣5．①证明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．-14-\n19．某商品最近30天的价格f（t）（元）与时间t满足关系式：f（t）=，且知销售量g（t）与时间t满足关系式g（t）=﹣t+30，（0≤t≤30，t∈N+），求该商品的日销售额的最大值．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣k）ex．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．21．（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2+（c﹣3a﹣2b）x+d（a＞0）的图象如图．（Ⅰ）求c，d的值；（Ⅱ）若函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y﹣11=0，求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若x0=5，方程f（x）=8a有三个不同的根，求实数a的取值范围．-14-\n2022-2022学年山东省淄博市桓台二中高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}则∁U（A∪B）()A．{6，8}B．{5，7}C．{4，6，7}D．{1，3，5，6，8}【考点】补集及其运算；并集及其运算．【专题】计算题．【分析】由已知中U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}，我们根据集合并集的运算法则求出A∪B，再利用集合补集的运算法则即可得到答案．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}∴A∪B={1，2，3，4，5，7}，∴Cu（A∪B）={6，8}故选A【点评】本题考查的知识点是集合补集及其运算，集合并集及其运算，属于简单题型，处理时要“求稳不求快”2．已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是()A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3【考点】四种命题．【专题】简易逻辑．【分析】若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，我们易根据否命题的定义给出答案．【解答】解：根据四种命题的定义，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故选A【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答本题的关键．3．函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是()A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；-14-\n故选：C．【点评】本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．4．已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于()A．﹣3B．﹣1C．1D．3【考点】分段函数的应用．【专题】计算题．【分析】由分段函数f（x）=，我们易求出f（1）的值，进而将式子f（a）+f（1）=0转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．【解答】解：∵f（x）=∴f（1）=2若f（a）+f（1）=0∴f（a）=﹣2∵2x＞0∴x+1=﹣2解得x=﹣3故选A【点评】本题考查的知识点是分段函数的函数值，及指数函数的综合应用，其中根据分段函数及指数函数的性质，构造关于a的方程是解答本题的关键．5．设a=log54，b=（log53）2，c=log45则()A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c【考点】对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，所以c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，排除C．【解答】解：∵a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，∴c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，故选D．【点评】本题考查对数函数的单调性，属基础题．6．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下面判断正确的是()-14-\nA．在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数B．在（1，3）内f（x）是减函数C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x=2时f（x）取到极小值【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数单调性，极值和导数之间的关系进行判断．【解答】解：由图象知当﹣＜x＜2或x＞4时，f′（x）＞0，函数为增函数，当﹣3＜x＜﹣或2＜x＜4时，f′（x）＜0，函数为减函数，则当x=﹣或x=4函数取得极小值，在x=2时函数取得极大值，故ABD错误，正确的是C，故选：C【点评】本题主要考查函数单调性极值和导数的关系，根据图象确定函数的单调性是解决本题的关键．7．已知f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是()A．2B．3C．4D．7【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；方程思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系进行推导即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，∴f（x+3）=f（x），则f（0）=0，f（3）=0，∵f（2）=0，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（2+3）=f（5）=f（2）=0，则f（﹣2+3）=f（1）=f（4）=0，当x=﹣时，f（﹣+3）=f（﹣）=﹣f（），即f（）=﹣f（），则f（）=0，则f（）=f（+3）=f（），则方程f（x）=0在区间（0，6）内解为1，2，3，4，5，，，此时至少有7个，故选：D【点评】本题主要考查函数零点的个数的计算，根据函数奇偶性和周期性之间的关系进行递推是解决本题的关键．8．函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为()A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，1]【考点】函数零点的判定定理．-14-\n【专题】计算题．【分析】根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．【解答】解：∵f（）=＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，∴只有f（）•f（）＜0，∴函数的零点在区间[，]上．故选C．【点评】本题考查函数零点的存在性判定定理，考查基本初等函数的函数值的求法，是一个基础题，这是一个新加内容，这种题目可以出现在高考题目中．9．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=()A．﹣B．﹣C．D．【考点】奇函数；函数的周期性．【专题】计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．10．已知函数f（x）=x3﹣px2﹣qx的图象与x轴切于（1，0）点，则f（x）的极大值、极小值分别为()A．，0B．0，C．﹣，0D．0，﹣【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题．【分析】对函数求导可得，f′（x）=3x2﹣2px﹣q，由f′（1）=0，f（1）=0可求p，q，进而可求函数的导数，然后由导数判断函数的单调性，进而可求函数的极值【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2﹣2px﹣q，由f′（1）=0，f（1）=0可得，解得，∴f（x）=x3﹣2x2+x．由f′（x）=3x2﹣4x+1=0，得x=或x=1，-14-\n当x≥1或x≤时，函数单调递增；当时，函数单调递减∴当x=时，f（x）取极大值，当x=1时，f（x）取极小值0，故选A．【点评】本题主要考查了导数在求解函数的单调性、函数的极值中的应用，属于导数基本方法的应用二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若f（x）=xa是幂函数，且满足=3，则f（）=．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题．【分析】可设f（x）=xα，由=3可求得α，从而可求得f（）的值．【解答】解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23，∴f（）=====．故答案为：【点评】本题考查幂函数的单调性和奇偶性及应用，关键是掌握对数恒等式及其灵活应用，属于中档题．12．“x=3”是“x2=9”的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】x=3⇒x2=9，反之不成立，例如x=﹣3．即可判断出．【解答】解：x=3⇒x2=9，反之不成立，例如x=﹣3．因此：“x=3”是“x2=9”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充要条件的判定方法，属于基础题．13．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（﹣2）=3，则f（2）=6．-14-\n【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】将等式中的x用2代替；利用奇函数的定义及g（﹣2）=3，求出f（2）的值．【解答】解：∵g（﹣2）=f（﹣2）+9∵f（x）为奇函数∴f（﹣2）=﹣f（2）∴g（﹣2）=﹣f（2）+9∵g（﹣2）=3所以f（2）=6故答案为6【点评】本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意x都有f（﹣x）=﹣f（x）14．若曲线y=x4﹣x在点P处的切线垂直于直线x+3y=0，则点P的坐标是（1，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出原函数的导函数，由导函数等于3求得P点的横坐标，代入原函数得答案．【解答】解：∵f（x）=x4﹣x，∴f′（x）=4x3﹣1，∵切线与直线x+3y=0垂直，∴切线的斜率为3，即k=3；∴4x3﹣1=3，∴x=1，点P的坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）．【点评】本题考查了导数的运算以及导数与斜率的关系，比较容易，属于基础题．15．已知命题p：函数y=log0、5（x2+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=﹣（5﹣2a）x是减函数、若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是1＜a＜2、【考点】对数函数的值域与最值；四种命题的真假关系；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】先化简命题，求出每个命题成立时相应的a的范围，再依据p或q为真命题，p且q为假命题，对相应的集合求交，求出参数的范围．【解答】解：对于命题P：因其值域为R，故x2+2x+a＞0不恒成立，所以△=4﹣4a≥0，∴a≤1对于命题q：因其是减函数，故5﹣2a＞1，∴a＜2∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p真q假或p假q真若p真q假，则a∈∅，若p假q真，则a∈（1，2）综上，知a∈（1，2）故应填1＜a＜2【点评】本题的考点是对数函数与指数函数的性质，以及命题真假的判断，综合考查了推理的严密性．三、解答题：本大题共6小题，共75分．-14-\n16．设a＞0，是R上的偶函数．（1）求a的值；（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．【考点】函数单调性的判断与证明；偶函数．【分析】（1）根据偶函数的定义f（﹣x）=f（x）即可得到答案．（2）用定义法设0＜x1＜x2，代入作差可得．【解答】解：（1）依题意，对一切x∈R，有f（﹣x）=f（x），即∴=0对一切x∈R成立，则，∴a=±1，∵a＞0，∴a=1．（2）设0＜x1＜x2，则=，由x1＞0，x2＞0，x2﹣x1＞0，得，得，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．【点评】本题主要考查偶函数的定义和增函数的判断方法．17．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3-14-\n又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．【点评】本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力．18．例4、已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f（x）（﹣1≤x≤1）是奇函数．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值﹣5．①证明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的周期性．【专题】计算题；证明题．【分析】①根据函数以5为周期的性质知：f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1），在根据函数为奇函数知f（1）=﹣f（﹣1）=﹣f（4）即证②根据二次函数的特点利用待定系数法设出二次函数的解析式f（x）=a（x﹣2）2﹣5（a＞0），将①的结论代入即可求解③根据函数y=f（x）（﹣1≤x≤1）是奇函数．知f（0）=0，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，利用待定系数法设函数解析式为：f（x）=kx（﹣1≤x≤1）得到函数y=f（x）=﹣3x（﹣1≤x≤1），在利用函数的周期性即可求解【解答】解：①∵f（x）是以5为周期的周期函数∴f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）∵y=f（x）（﹣1≤x≤1）是奇函数∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣f（4）∴f（1）+f（4）=0．②当x∈[1，4]时，由题意可设f（x）=a（x﹣2）2﹣5（a＞0）由f（1）+f（4）=0得a（1﹣2）2﹣5+a（4﹣2）2﹣5=0∴a=2∴f（x）=2（x﹣2）2﹣5（1≤x≤4）③∵y=f（x）（﹣1≤x≤1）是奇函数∴f（0）=0∵y=f（x）在[0，1]上是一次函数∴可设f（x）=kx（0≤x≤1），而f（1）=2（1﹣2）2﹣5=﹣3∴k=﹣3∴当0≤x≤1时，f（x）=﹣3x从而当﹣1≤x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣3x故﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣3x∴当4≤x≤6时，有﹣1≤x﹣5≤1∴f（x）=f（x﹣5）=﹣3（x﹣5）=﹣3x+15当6＜x≤9时，1＜x﹣5≤4，-14-\n∴f（x）=f（x﹣5）=2[（x﹣5）﹣2]2﹣5=2（x﹣7）2﹣5∴【点评】本题考查了二次函数的性质，函数的周期性、奇偶性，函数解析式的求解及常用方法，属于基础题．19．某商品最近30天的价格f（t）（元）与时间t满足关系式：f（t）=，且知销售量g（t）与时间t满足关系式g（t）=﹣t+30，（0≤t≤30，t∈N+），求该商品的日销售额的最大值．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用．【分析】设W（t）表示商品的日销售额（单位：元）与时间t的函数关系，则有：W（t）=f（t）g（t），对每段化简和配方，根据二次函数的性质，分别求解每段函数的最大值，由此能求出商品的日销售额W（t）的最大值．【解答】解：设W（t）表示商品的日销售额（单位：元）与时间t的函数关系，则有：W（t）=f（t）g（t）===，当0≤t＜15，t∈N+时，易得t=3时，W（t）取最大，且为W（3）=243；当15≤t≤30，t∈N+时，[15，30]为减函数，则t=15时，W（t）取最大，且为W（15）=195．所以当t=3时，该商品的日销售额最大，且为243．【点评】本题考查分段函数在生产实际中的应用，考查二次函数的最值问题和运算求解能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣k）ex．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．-14-\n【分析】（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）根据（I），对k﹣1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（x﹣k+1）ex，令f′（x）=0，得x=k﹣1，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：x（﹣∞，k﹣1）k﹣1（k﹣1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↓﹣ek﹣1↑∴f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k﹣1），f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣k；当0＜k﹣1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k﹣1]上单调递减，f（x）在区间（k﹣1，1]上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k﹣1）=﹣ek﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1﹣k）e；综上所述f（x）min=．【点评】此题是个中档题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度．21．（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2+（c﹣3a﹣2b）x+d（a＞0）的图象如图．（Ⅰ）求c，d的值；（Ⅱ）若函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y﹣11=0，求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）若x0=5，方程f（x）=8a有三个不同的根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；方程思想；数形结合法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数导数，由题意可得f（0）=3，且f′（1）=0，解方程可得c，d的值；（Ⅱ）依题意可得f′（2）=﹣3且f（2）=5，解方程可得a，b，进而得到f（x）的解析式；（Ⅲ）求出导数，f′（5）=0可得b=﹣9a，再由图象可得方程f（x）=8a有三个不同的根，当且仅当满足f（5）＜8a＜f（1），解不等式即可得到所求范围．-14-\n【解答】解：函数f（x）的导函数为f′（x）=3ax2+2bx+c﹣3a﹣2b，（Ⅰ）由题图可知，函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0，得解得．（Ⅱ）依题意可得f′（2）=﹣3且f（2）=5，得，解得，所以f（x）=x3﹣6x2+9x+3；（Ⅲ）依题意f（x）=ax3+bx2+（﹣3a﹣2b）x+3（a＞0），f′（x）=3ax2+2bx﹣3a﹣2b，由f′（5）=75a+10b﹣3a﹣2b=0，解得b=﹣9a，即有f（x）=ax3﹣9ax2+15ax+3，若方程f（x）=8a有三个不同的根，当且仅当满足f（5）＜8a＜f（1），可得3﹣25a＜8a＜3+7a，解得＜a＜3，所以，当得＜a＜3时，方程f（x）=8a有三个不同的根．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．-14-