复数——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）解析版

㐵㐵复数——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）A．㐵൅͵B．㐵͵C．൅͵D．͵一、单选题【答案】C1．已知，，൅͵݅൅͵ሺ͵（͵为虚数单位），则（）【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算A．㐵，B．㐵，【解析】【解答】解：由题意得，㐵͵，则㐵൅͵㐵͵䁪C．㐵，D．㐵，㐵൅͵㐵则൅͵.㐵【答案】B故选：C【知识点】复数代数形式的乘除运算【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【解析】【解答】由题意得൅͵͵㐵，由复数相等定义，知㐵，.5．若㐵൅͵．则͵൅（）故答案为：BA．䁪B．䁪ʹC．ʹD．ʹʹ【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【答案】D2．݅ʹ൅ʹ͵ሺ݅㐵ʹ͵ሺ（）【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数求模A．ʹ൅䁪͵B．ʹ䁪͵C．൅ʹ͵D．ʹ͵【解析】【解答】解：因为z=1+i，所以͵൅͵㐵൅͵൅㐵͵ʹʹ͵，所以͵൅䁪൅䁪ʹʹ．【答案】D故选：D【知识点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念先求得͵൅ʹʹ͵，再由复数的求模公式即可求【解析】【解答】݅ʹ൅ʹ͵ሺ݅㐵ʹ͵ሺʹ൅䁪䁪͵൅ʹ͵ʹ͵，出.故答案为：D6．已知㐵ʹ͵，且൅൅，其中a，b为实数，则（）【分析】根据复数代数形式的乘法法则即可求解.A．㐵，ʹB．㐵，ʹ3．设݅㐵൅ʹ͵ሺ൅ʹ͵，其中，为实数，则（）C．㐵，ʹD．㐵，ʹA．㐵，㐵B．㐵，㐵【答案】AC．㐵，㐵D．㐵，㐵【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算【答案】A【解析】【解答】易知㐵൅ʹ͵【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算所以൅൅㐵ʹ͵൅݅㐵൅ʹ͵ሺ൅݅㐵൅൅ሺ൅݅ʹʹሺ͵㐵൅൅㐵【解析】【解答】易得݅൅ሺ൅ʹ͵ʹ͵，根据复数相等的充要条件可得൅，ʹʹ，解得：由൅൅，得，即.ʹʹʹ故选：A㐵，㐵．【分析】先求得，再代入计算，由实部与虚部都为零解方程组即可.故选：A7．若复数满足͵䁪͵，则（）【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则以及复数相等的充要条件即可求解.A．1B．5C．7D．254．若㐵൅͵，则（）㐵【答案】Bn【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】因为݅㐵൅͵ሺ͵൅͵，所以㐵൅͵൅͵͵㐵㐵͵͵͵͵䁪͵【解析】【解答】由已知条件可知䁪͵，所以݅䁪ሺʹ൅݅ሺʹ.利用复数相等的充分必要条件可得：.͵故答案为：B故答案为：C.【分析】根据复数的代数运算以及模长公式，进行计算即可.8．若͵݅㐵ሺ㐵，则൅（）【分析】根据复数相等的条件，即可求得a的值。12．设iz=4+3i，则z等于（）A．-2B．-1C．1D．2A．-3-4iB．-3+4iC．3-4iD．3+4i【答案】D【答案】C【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算【知识点】复数代数形式的混合运算㐵͵【解析】【解答】解：由题意得，㐵㐵㐵൅͵，则㐵͵，则൅2，͵͵ʹ䁪൅͵䁪͵【解析】【解答】因为iz=4+3i，所以Z＝䁪͵。͵㐵故选：D故答案为：C【分析】先由复数的四则运算，求得z，，再求z+即可.【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。ʹ͵9．复数在复平面内对应的点所在的象限为（）㐵͵ʹ13．已知（㐵͵）൅ʹ͵，则z=（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】AA．-1-ʹiB．-1+ʹiC．-ʹ+iD．-ʹ-i【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算【答案】B【解析】【解答】解：ʹ͵ʹ͵㐵൅͵൅͵㐵൅㐵͵，表示的点为㐵㐵【知识点】复数代数形式的混合运算，，位于第一象限.㐵͵㐵͵㐵൅͵㐵ʹʹʹʹ൅ʹ͵൅ʹ͵൅ʹ͵͵ʹ൅͵故答案为：A【解析】【解答】解：ʹʹ͵ʹ͵͵ʹ㐵൅ʹ͵㐵͵【分析】根据复数的运算法则，及复数的几何意义求解即可故答案为：B10．在复平面内，复数满足݅㐵͵ሺʹ，则（）【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.A．ʹ൅͵B．ʹ͵C．㐵͵D．㐵൅͵14．设2（z+）+3(z-)=4+6i，则z=（）.【答案】DA．1-2iB．1+2iC．1+iD．1-i【知识点】复数代数形式的混合运算【答案】C【解析】【解答】解：ʹʹ㐵൅͵㐵൅͵，【知识点】复数代数形式的混合运算㐵͵㐵͵㐵൅͵【解析】【解答】设͵ܾʹ݅൅ሺ൅݅ሺ䁪൅͵䁪൅͵ܾ所以a=b=1，所以z＝1+i。故答案为：D故答案为：C【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。11．已知，݅㐵൅͵ሺ͵൅͵，(i为虚数单位)，则（）15．已知z=2-i，则(݅൅͵ሺ=（）A．-1B．1C．-3D．3A．6-2iB．4-2iC．6+2iD．4+2i【答案】C【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算n【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算【知识点】复数求模【解析】【解答】解：൅͵ʹ͵ʹ൅ʹ͵䁪൅䁪͵ʹ͵ʹ͵ʹ൅ʹ͵【解析】【解答】因为㐵൅ʹ͵൅͵ʹʹ㐵൅ʹ͵͵㐵൅͵，所以㐵൅㐵ʹ．故答案为：C故答案为：C．【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.【分析】先根据͵ʹ㐵将化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．16．若݅㐵൅͵ሺ㐵͵，则z=（）20．若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．1–iB．1+iC．–iD．iA．0B．1C．ʹD．2【答案】D【答案】D【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模㐵͵݅㐵͵ሺʹʹ͵【解析】【解答】因为㐵൅͵݅㐵൅͵ሺ݅㐵͵ሺʹ͵，所以͵.【解析】【解答】由题意可得：ʹ݅㐵൅͵ሺʹʹ͵，则ʹʹʹ͵ʹ݅㐵൅͵ሺʹ.故答案为：D故ʹʹʹʹ.【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到z即可.故答案为：D.17．复数㐵的虚部是（）【分析】由题意首先求得ʹʹ的值，然后计算其模即可.㐵͵ʹ͵㐵㐵21．㐵൅ʹ͵（）A．B．C．D．㐵㐵㐵㐵A．1B．−1C．iD．−i【答案】D【答案】D【知识点】复数代数形式的乘除运算【知识点】复数代数形式的乘除运算㐵㐵൅͵㐵【解析】【解答】因为൅͵，㐵͵݅㐵͵ሺ݅㐵൅͵ሺ㐵㐵ʹ͵݅ʹ͵ሺ݅㐵ʹ͵ሺ͵【解析】【解答】͵㐵൅ʹ͵݅㐵൅ʹ͵ሺ݅㐵ʹ͵ሺ㐵所以复数的虚部为.㐵͵㐵故答案为：D故答案为：D.【分析】根据复数除法法则进行计算.【分析】利用复数的除法运算求出z即可.22．在复平面内，复数z对应的点的坐标是݅㐵ܾʹሺ，则͵（）．18．（1–i）4=（）A．㐵൅ʹ͵B．ʹ൅͵C．㐵ʹ͵D．ʹ͵A．–4B．4C．–4iD．4i【答案】B【答案】A【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由题意得㐵൅ʹ͵，͵͵ʹ.【解析】【解答】݅㐵͵ሺ䁪݅㐵͵ሺʹʹ݅㐵ʹ͵൅͵ʹሺʹ݅ʹ͵ሺʹ䁪.故答案为：B.故答案为：A.【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.23．已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（）19．若㐵൅ʹ͵൅͵，则（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2A．0B．1C．ʹD．2【答案】C【答案】C【知识点】复数的代数表示法及其几何意义n【解析】【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，【知识点】复数代数形式的乘除运算可得a﹣2＝0，解得a＝2．【解析】【解答】根据ʹ൅͵，得ʹ͵，故答案为：C．所以݅ʹ൅͵ሺ݅ʹ͵ሺ䁪൅㐵，【分析】利用复数的虚部为0，求解即可．故答案为：D.24．若z（1+i）=2i，则z=（）【分析】根据z得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+i28．设z=͵，则|z|=（）㐵൅ʹ͵【答案】DA．2B．C．ʹD．1【知识点】复数代数形式的乘除运算【答案】Cʹ͵ʹ͵݅㐵͵ሺʹ͵݅㐵͵ሺ【解析】【解答】解：∵݅㐵൅͵ሺʹ͵，则㐵൅͵，㐵൅͵݅㐵൅͵ሺ݅㐵͵ሺʹ【知识点】复数代数形式的混合运算故答案为：D.【解析】【解答】͵݅͵ሺ݅㐵ʹ͵ሺ㐵͵㐵͵ܾ݅㐵ሺʹ൅݅ሺʹ㐵൅䁪㐵൅ʹ͵݅㐵൅ʹ͵ሺ݅㐵ʹ͵ሺʹʹʹ【分析】利用复数的乘除运算，即可求出复数z的代数式.ʹ25．设z=i（2+i），则=（）故答案为：CA．1+2iB．-1+2iC．1-2iD．-1-2i【答案】D【分析】利用复数的混合运算法则求出复数z，再利用复数的实部和虚部求出复数的模。【知识点】复数代数形式的乘除运算29．设复数z满足͵㐵，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）【解析】【解答】首先求出͵݅ʹ൅͵ሺ㐵൅ʹ͵ܾ则㐵ʹ͵，A．݅ݔ൅㐵ሺʹ൅ʹ㐵B．݅ݔ㐵ሺʹ൅ʹ㐵故答案为：DC．ݔʹ൅݅㐵ሺʹ㐵D．ݔʹ൅݅൅㐵ሺʹ㐵【分析】根据题意整理原式，再结合共轭复数的定义求出即可。【答案】C26．设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于（）【知识点】复数的代数表示法及其几何意义A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】【解答】设复数为൅͵ܾ݅），【答案】C͵൅͵͵൅݅㐵ሺ͵ܾ͵ʹ൅݅㐵ሺʹܾ【知识点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】根据题意首先求出复数z的共轭复数ʹ͵,则的共轭复数所对应的点为（-3，-2）,͵㐵ܾʹ൅݅㐵ሺʹ㐵ܾ复数z在复平面内对应的点为(x，y)，进而得到所对于的点在第三象限。ݔʹ൅݅㐵ሺʹ㐵ܾݔʹ൅݅㐵ሺʹ㐵故答案为：C故答案为：C【分析】首先求出该复数的共轭复数，然后取出其共轭复数所对应的点的坐标，从而即可判断出该点位于第三【分析】利用复数的加减运算法则求出复数͵ܾ再利用复数͵的实部和虚部表示复数͵的模，再利象限。用复数͵的几何意义表示出复数z在复平面内对应的点的轨迹方程。27．已知复数z=2+i，则=（）㐵͵30．设൅ʹ͵，则=（）㐵൅͵A．B．C．3D．5㐵【答案】DA．0B．ʹC．1D．ʹn【答案】C【知识点】复数代数形式的乘除运算【知识点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】(1+i)（2-i）=2-i2+i=3+i【解析】【解答】解：z=㐵͵+ʹ͵=݅㐵͵ሺ݅㐵͵ሺ൅ʹ͵ʹ͵൅ʹ͵͵，∴㐵，故答案为：D㐵൅͵݅㐵൅͵ሺ݅㐵͵ሺʹ【分析】将等式化简即可.故答案为：C。㐵【分析】先由复数的乘除运算求出复数z，再由几何意义求模.35．在复平面内，复数㐵͵的共轭复数对应的点位于（）31．复数ʹ(i为虚数单位)的共轭复数是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限㐵͵【答案】DA．1+iB．1−iC．−1+iD．−1−i【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算【答案】B㐵㐵൅͵㐵൅͵㐵㐵㐵㐵【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：㐵͵݅㐵͵ሺ݅㐵൅͵ሺʹʹ൅ʹ͵，则共轭复数为ʹʹ͵在第四象限，【解析】【解答】详解：ʹʹ݅㐵൅͵ሺ故答案为：D㐵൅͵，∴共轭复数为㐵͵，㐵͵ʹ㐵故答案为：B.【分析】先化简复数㐵͵，再求它的共轭复数。【分析】由复数的除法运算化简复数为a+bi（a，b∈R）的形式，则其共轭复数可求．二、填空题36．已知ʹ൅͵，则32．i（2+3i）=（）【答案】2-iA．3-2iB．3+2iC．-3-2iD．-3+2i【知识点】复数的基本概念【答案】D【解析】【解答】解：∵z=2+i，【知识点】复数的代数表示法及其几何意义∴ʹ͵【解析】【解答】i(2+3i)=2i-3故答案为：2-i故答案为：D【分析】根据共轭复数的定义求解即可.【分析】由复数的乘法运算可得。൅ʹ͵㐵൅ʹ͵37．i是虚数单位，复数ʹ൅͵．33．()㐵ʹ͵【答案】4-i䁪䁪䁪䁪A．͵B．൅͵C．͵D．൅͵【知识点】复数代数形式的混合运算【答案】D൅ʹ͵൅ʹ͵ʹ͵ʹ͵【解析】【解答】解：由题意得䁪͵ʹ൅͵ʹ൅͵ʹ͵【知识点】复数的代数表示法及其几何意义故答案为：4-i㐵൅ʹ͵݅㐵൅ʹ͵ሺʹ㐵䁪൅䁪͵൅䁪͵【解析】【解答】㐵ʹ͵㐵൅䁪【分析】根据复数的运算法则求解即可.故答案为：D38．设复数㐵，ʹ满足㐵ʹʹ，㐵൅ʹ൅͵，则㐵ʹ=.【分析】由复数的除法运算可得.【答案】ʹ34．݅㐵൅͵ሺ݅ʹ͵ሺ=（）【知识点】复数相等的充要条件；复数求模A．-3-iB．-3+iC．3-iD．3+i【解析】【解答】㐵ʹʹ，可设㐵ʹcos൅ʹsin͵，ʹʹcos൅ʹsin͵，【答案】Dn㐵൅ʹʹ݅cos൅cosሺ൅ʹ݅sin൅sinሺ͵൅͵，ʹܾʹʹ݅cos൅cosሺ，两式平方作和得：䁪݅ʹ൅ʹcoscos൅ʹsinsinሺ䁪，【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数，从而求出复数的实部和虚部，再结合复数的实部为0ʹ݅sin൅sinሺ㐵的已知条件求出a的值。㐵化简得：coscos൅sinsinʹ42．设͵为虚数单位，͵൅͵，则的值为㐵ʹʹ݅coscosሺ൅ʹ݅sinsinሺ͵䁪݅coscosሺʹ൅䁪݅sinsinሺʹ【答案】ʹʹ【知识点】复数代数形式的加减运算；复数求模݅coscos൅sinsinሺ൅䁪ʹ.【解析】【解答】解：由͵൅͵，得൅͵，即ʹ൅͵，故答案为：ʹ.【分析】令㐵ʹcos൅ʹsin͵，ʹʹcos൅ʹsin͵，根据复数的相等可求得coscos൅sinsinʹʹ൅ʹʹʹʹ．㐵，代入复数模长的公式中即可得到结果.故答案为：ʹʹ．ʹ【分析】利用复数的加减法的运算法则求出复数z，再利用复数z的实部和虚部求出复数的模。͵39．i是虚数单位，复数．ʹ൅͵㐵43．复数（i为虚数单位），则|z|=㐵൅͵【答案】3-2iʹ【答案】【知识点】复数代数形式的乘除运算ʹ【解析】【解答】͵݅͵ሺ݅ʹ͵ሺ㐵㐵͵ʹ͵.【知识点】复数求模ʹ൅͵݅ʹ൅͵ሺ݅ʹ͵ሺ㐵㐵͵㐵͵㐵㐵ʹ故答案为：3-2i.【解析】【解答】解：㐵൅͵݅㐵൅͵ሺ݅㐵͵ሺʹ，故|z|݅ሺʹ൅݅ሺʹ；ʹʹʹ【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.故答案为ʹ.ʹ【分析】根据复数的除法运算求出z，即可得到|z|.40．已知i是虚数单位，则复数݅㐵൅͵ሺ݅ʹ͵ሺ的实部是.͵44．͵是虚数单位，则的值为.㐵൅͵【答案】3【答案】㐵【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【知识点】复数求模【解析】【解答】∵复数݅㐵൅͵ሺ݅ʹ͵ሺ͵݅͵ሺ݅㐵͵ሺʹ൅݅ሺʹ∴ʹ͵൅ʹ͵͵ʹ൅͵【解析】【解答】㐵൅͵݅㐵൅͵ሺ݅㐵͵ሺʹ͵ʹ㐵∴复数的实部为3.故答案为：㐵故答案为：3.【分析】本题考查复数的除法运算，分子分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数求模即可得出答案。【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.45．i是虚数单位，复数൅͵㐵൅ʹ͵41．已知复数݅൅ʹ͵ሺ݅㐵൅͵ሺ的实部为0，其中͵为虚数单位，则实数a的值是.【答案】䁪͵【答案】2【知识点】复数代数形式的乘除运算【知识点】复数代数形式的乘除运算൅͵݅൅͵ሺ݅㐵ʹ͵ሺ൅㐵䁪͵【解析】【解答】解：䁪͵㐵൅ʹ͵݅㐵൅ʹ͵ሺ݅㐵ʹ͵ሺ【解析】【解答】设݅൅ʹ͵ሺ݅㐵൅͵ሺܾ【分析】将分子，分母乘以分母的共轭复数.复数的实部为0，又݅ʹሺ൅݅൅ʹሺ͵ܾ46．若复数满足͵㐵൅ʹ͵，其中͵是虚数单位，则的实部为.n【答案】2【知识点】复数的基本概念【解析】【解答】解：∵i·z=1+2i㐵൅ʹ͵㐵൅ʹ͵͵得：z=ʹ͵͵͵ʹ∴实部为2【分析】Z=a+bi，(a，b∈R)，则a为实部，b为虚部。47．已知复数z满足（㐵൅͵）㐵͵（i是虚数单位），则∣z∣=。【答案】5【知识点】复数求模【解析】【解答】∵（㐵൅͵）㐵͵∴（㐵͵）（㐵൅͵）݅㐵͵ሺ（㐵͵）（㐵͵ʹ）㐵͵൅͵ʹʹ͵䁪͵故根据复数模长公式݅ሺʹ൅݅䁪ሺʹ=5【分析】复数转化关系公式͵ʹ㐵，共轭复数去点模长公式ݔʹ൅ʹ