基本不等式——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）及答案

基本不等式——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、单选题1．下列函数中最小值为4的是（　　）A．y=x2+2x+4B．y=|sinx|+4|sinx|C．y=2x+22−xD．y=lnx+4lnx2．已知F1,F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（　　）A．13B．12C．9D．63．已知函数f(x)=sinx+1sinx，则（　　）A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图像关于y轴对称C．f(x)的图像关于直线x=π对称D．f(x)的图像关于直线x=π2对称二、多选题4．对任意x，y，x2+y2−xy=1，则（　　）A．x+y≤1B．x+y≥−2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥15．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（　　）A．a2+b2≥12B．2a−b>12C．log2a+log2b≥−2D．a+b≤26．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,⋯,n，且P(X=i)=pi>0(i=1,2,⋯,n),i=1npi=1，定义X的信息熵H(X)=−i=1npilog2pi.（　　）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大C．若pi=1n(i=1,2,⋯,n)，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,⋯,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1−j(j=1,2,⋯,m)，则H(X)≤H(Y)三、填空题n7．已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD=　　．8．若a>0，b>0，则1a+ab2+b的最小值为　　．9．已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为　　．10．已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是　　．11．如图，已知正方形OABC，其中OA=a(a>1)，函数y=3x2交BC于点P，函数y=x−12交AB于点Q，当|AQ|+|CP|最小时，则a的值为　　．12．设x>0,y>0,x+2y=4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为　　.13．设x>0, y>0, x+2y=5，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为　　.14．在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且|EF|=2，则AE·BF的最小值为　　15．已知实数x₁、x₂、y₁、y₂满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，则∣x1+y1−1∣2+∣x2+y2−1∣2的最大值为　　四、解答题16．已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：（1）abc≤19；（2）ab+c+ba+c+ca+b≤12abc．17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.（1）若C=2π3，求B；（2）求a2+b2c2的最小值.18．如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知AB=30m，AD=15m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.（1）若∠ADE=20°，求EF的长；（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）n19．设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥34．20．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.21．如图，已知椭圆C1：x22+y2＝1，抛物线C2：y2＝2px（p＞0），点A是椭圆C1与抛物线C2的交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若p＝116，求抛物线C2的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．答案解析部分1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】B,C5．【答案】A,B,D6．【答案】A,C7．【答案】3−1或−1+38．【答案】229．【答案】410．【答案】4511．【答案】312．【答案】9213．【答案】4314．【答案】-315．【答案】3+216．【答案】（1）证明：因为a>0，b>0，c>0，则a32>0，b32>0，c32>0，所以a32+b32+c323≥3a32⋅b32⋅c32，n即(abc)12≤13，所以abc≤19，当且仅当a32=b32=c32，即a=b=c=319时取等号．（2）证明：因为a>0，b>0，c>0，所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，a+b≥2ab，所以ab+c≤a2bc=a322abc，ba+c≤b2ac=b322abc，ca+b≤c2ab=c322abcab+c+ba+c+ca+b≤a322abc+b322abc+c322abc=a32+b32+c322abc=12abc当且仅当a=b=c时取等号．17．【答案】（1）因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，所以cosAcosB=sinB+sinAsinB，所以cos(A+B)=sinB，又因为cos(A+B)=sinB⇒sinB=cos(π−C)=cosπ3=12，C=2π3>π2，所以B<π2，故B=π6.（2）因为sinB=cos(π−C)=sin(C−π2)所以B=C−π2所以sinA=sin(B+C)=sin(2C−π2)=−cos2C由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC⇒a2+b2=c2+2abcosC所以a2+b2c2=c2+2abcosCc2=1+2abcosCc2=1+2sinAsinBcosCsin2C=1+2sinAsinBcosCsin2C=1+2cos2Ccos2Csin2C=1+2(1−2sin2C)(1−sin2C)sin2C=1+2(2sin2C+1sin2C−3)≥1+2(22−3)=42−5当且仅当2sin2C=1sin2C，即sin2C=22时取得等号，n综上，a2+b2c2的最小值为42−5.18．【答案】（1）如图，作DH⊥EF，则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）设∠ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)，则SAEFD=15230tanθ+15cot2θ=22543tanθ+1tanθ≥22532当且仅当3tanθ=1tanθ，即tanθ=33时，等号成立，即当AE=15tanθ=53时，最大面积为450-22532≈255.14m219．【答案】（1）解：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2).∵a,b,c均不为0，则a2+b2+c2>0，∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2)<0（2）解：不妨设max{a,b,c}=a，由a+b+c=0,abc=1可知，a>0,b<0,c<0，∵a=−b−c,a=1bc，∴a3=a2⋅a=(b+c)2bc=b2+c2+2bcbc≥2bc+2bcbc=4.当且仅当b=c时，取等号，∴a≥34，即max{a,b,c}⩾3420．【答案】（1）解：由正弦定理可得：BC2−AC2−AB2=AC⋅AB，∴cosA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3.（2）解：由余弦定理得：BC2=AC2+AB2−2AC⋅ABcosA=AC2+AB2+AC⋅AB=9，即(AC+AB)2−AC⋅AB=9.n∵AC⋅AB≤(AC+AB2)2（当且仅当AC=AB时取等号），∴9=(AC+AB)2−AC⋅AB≥(AC+AB)2−(AC+AB2)2=34(AC+AB)2，解得：AC+AB≤23（当且仅当AC=AB时取等号），∴△ABC周长L=AC+AB+BC≤3+23，∴△ABC周长的最大值为3+23.21．【答案】解：（Ⅰ）p＝116，则p2＝132，则抛物线C2的焦点坐标（132，0），（Ⅱ）直线l与x轴垂直时，此时点M与点A或点B重合，不满足题意，设直线l的方程为y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由x22+y2=1y=kx+t，消y可得（2k2+1）x2+4kty+2t2﹣2＝0，∴△＝16k2t2﹣4（2k2+1）（2t2﹣2）≥0，即t2＜1+2k2，∴x1+x2＝﹣4kt1+2k2，∴x0＝12（x1+x2）＝﹣2kt1+2k2，∴y0＝kx0+t＝t1+2k2，∴M（﹣2kt1+2k2，t1+2k2），∵点M在抛物线C2上，∴y2＝2px，∴p＝y22x＝t2(1+2k2)22⋅−2kt1+2k2＝t−4k(1+2k2)，联立y2=2pxy=kx+t，解得x1＝t(1+2k2)−2k3，y1＝t2−2k2，代入椭圆方程可得t2(1+2k2)28k6+t24k4＝1，解得t2＝8k6(1+2k2)2+2k2∴p2＝t216k2(1+2k2)2＝8k616k2(1+2k2)2⋅[(1+2k2)2+2k2]＝k42(1+2k2)2⋅[(1+2k2)2+2k2]≤k42(22k)2⋅[(22k)2+2k2]＝1160，∴p≤1040，当且仅当1＝2k2，即k2＝12，t2＝15时等号成立，故p的最大值为1040．