解三角形（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）及答案

解三角形（解答题）——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=5c，cosC=35．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b=11，求△ABC的面积．2．记△ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1−S2+S3=32，sinB=13．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC=23，求b．3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）若A=2B，求C；（2）证明：2a2=b2+c2.4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）证明：2a2=b2+c2；（2）若a=5，cosA=2531，求△ABC的周长．5．在△ABC中，sin2C=3sinC．（I）求∠C：（II）若b=6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长．6．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.（1）若C=2π3，求B；（2）求a2+b2c2的最小值.7．已知点A(2，1)在双曲线C：x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ=22，求PAQ的面积.8．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2．n（1）若2sinC=3sinA，求△ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．9．已知在△ABC中，c=2bcosB，C=2π3．（1）求B的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①c=2b；②周长为4+23；③面积为SΔABC=334；10．在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA：sinB：sinC=2：1：2，b=2．（1）求a的值；（2）求cosC的值；（3）求sin(2C−π6)的值．11．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a.，b.，c,已知b2=ac,点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.（1）证明：BD=b：（2）若AD=2DC.求cos∠ABC.12．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.13．在①ac=3，②csinA=3，③c=3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA=3sinB，C=π6，▲?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．14．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=22,b=5,c=13．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA的值；（Ⅲ）求sin(2A+π4)的值．n15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c=2,B=45°．（1）求sinC的值；（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45，求tan∠DAC的值．16．在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．条件①：c=7，cosA=−17；条件②：cosA=18，cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝3a．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=2，cosB=23，求c的值；（2）若sinAa=cosB2b，求sin(B+π2)的值．19．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC.（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求sin(2B+π6)的值.20．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C2=bsinA（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.21．在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-12.（I）求b，c的值：（II）求sin（B+C）的值.22．在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-12.（I）求b，c的值；（II）求sin（B-C）的值.23．∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。n（1）求A；（2）若2a+b=2c,求sinC.24．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90∘，∠A=45∘，AB=2，BD=5.（1）求cos∠ADB；（2）若DC=22，求BC.25．在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA=acos(B−π6).（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A−B)的值.26．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=-17，（Ⅰ）求∠A：（Ⅱ）求AC边上的高。答案解析部分1．【答案】解：（Ⅰ）由于cosC=35，sinC>0，则sinC=45.由正弦定理可知4sinA=5sinC，则sinA=55.（Ⅱ）因为sinC=45>sinA=55，则A<C<π2.故b=acosC+ccosA=35a+255c=115a=11，则a=5，△ABC的面积S=12absinC=22.2．【答案】（1）解：∵边长为a的正三角形的面积为34a2，∴S1−S2+S3=34(a2−b2+c2)=32，即accosB=1，由sinB=13得：cosB=223，∴ac=1cosB=324故S△ABC=12acsinB=12×324×13=28.（2）解：由正弦定理得：b2sin2B=asinA⋅csinC=acsinAsinC=32423=94，故b=32sinB=12.3．【答案】（1）解：∵sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)且A=2Bn∴sinCsinB=sinBsin(C−A)∵sinB＞0∴sinC=sin(C−A)∴C=C-A（舍）或C+（C-A）=π即：2C-A=π又∵A+B+C=π，A=2B∴C=5π8（2）证明：由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，12(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．4．【答案】（1）证明：因为sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，所以sinCsinAcosB−sinCsinBcosA=sinBsinCcosA−sinBsinAcosC，所以ac⋅a2+c2−b22ac−2bc⋅b2+c2−a22bc=−ab⋅a2+b2−c22ab，即a2+c2−b22−(b2+c2−a2)=−a2+b2−c22，所以2a2=b2+c2；（2）解：因为a=5，cosA=2531，由（1）得b2+c2=50，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，则50−5031bc=25，所以bc=312，故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81，所以b+c=9，所以△ABC的周长为a+b+c=14.5．【答案】（I）sin2C=3sinC，根据正弦的二倍角公式可得2sinCcosC=3sinC，可得cosC=32，所以∠C=π6；（II）∵SΔABC=63，∴12absinC=63，a=43，由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，得c=23，所以△ABC周长为63+6n.6．【答案】（1）因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，所以cosAcosB=sinB+sinAsinB，所以cos(A+B)=sinB，又因为cos(A+B)=sinB⇒sinB=cos(π−C)=cosπ3=12，C=2π3>π2，所以B<π2，故B=π6.（2）因为sinB=cos(π−C)=sin(C−π2)所以B=C−π2所以sinA=sin(B+C)=sin(2C−π2)=−cos2C由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC⇒a2+b2=c2+2abcosC所以a2+b2c2=c2+2abcosCc2=1+2abcosCc2=1+2sinAsinBcosCsin2C=1+2sinAsinBcosCsin2C=1+2cos2Ccos2Csin2C=1+2(1−2sin2C)(1−sin2C)sin2C=1+2(2sin2C+1sin2C−3)≥1+2(22−3)=42−5当且仅当2sin2C=1sin2C，即sin2C=22时取得等号，综上，a2+b2c2的最小值为42−5.7．【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线C：x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，所以有4a2−1a2−1=1解得a2=2，所以双曲线C：x22−y2=1设直线l：y=kx+m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立x22−y2=1y=kx+m消去y得到(1−2k2)x2−4kmx−2m2−2=0显然1−2k2≠0，否则不可能有两个交点，n而Δ=(4km)2−4(1−2k2)(−2m2−2)=8(m2+1−2k2)>0，由韦达定理得x1+x2=4km1−2k2，x1x2=−2m2−21−2k2因为直线AP，AQ的斜率之和为0，所以0=y1−1x1−2+y2−1x2−2=(y1−1)(x2−2)+(y2−1)(x1−2)(x1−2)(x2−2)所以x1−2x2−2所以(y1−1)(x2−2)+(y2−1)(x1−2)=0即(kx1+m−1)(x2−2)+(kx2+m−1)(x1−2)=0，所以有2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，将韦达定理代入化简得(k+1)(2k+m−1)=0，而当2k+m−1=0，此时直线l为y=kx+1−2k，易知恒过定点A(2，1)，故舍去，所以k=−1，此时满足Δ>0.（2）又由（1）易知x1+x2=4m，x1x2=2m2+2，且|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=22m2−8依题可设AP斜率为k1，AQ斜率为-k1，则由夹角公式知（后面补充证明）22=tan∠PAQ=−k1−k11+k1⋅(−k1)，由对称性易知，只需考虑k1>0的情况就行，所以有2k12+k1−2=0，解得k1=2或k1=−22（舍）.而k1=y1−1x1−2⇒y1−1=k1(x1−2)，同理y2−1=−k1(x2−2)，而AP=(x1−2，y1−1)，AQ=(x2−2，y2−1)，S△PAQ=12|(x1−2)(y2−1)−(x2−2)(y1−1)|=12|−k1(x1−2)(x2−2)−k1(x2−2)(x1−2)|=22|(x1−2)(x2−2)|=22|x1x2−2(x1+x2)+4|=2|m2−4m+3|另一方面，联立y1−1=k1(x1−2)y1=−x1+m⇒m=k1(x1−2)+1+x1，（1）同理m=−k1(x2−2)+1+x2，（2）将以上两式相加，得2m=k1(x1−x2)+2+(x1+x2)，解得m=113，所以S△PAQ=2|m2−4m+3|=1629n8．【答案】（1）因为2sinC=3sinA，则2c=2(a+2)=3a，则a=4，故b=5，c=6，cosC=a2+b2−c22ab=18，所以，C为锐角，则sinC=1−cos2C=378，因此，S△ABC=12absinC=12×4×5×378=1574；（2）显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=a2+(a+1)2−(a+2)22a(a+1)=a2−2a−32a(a+1)<0，解得−1<a<3，则0<a<3，由三角形三边关系可得a+a+1>a+2，可得a>1，∵a∈Z，故a=2.9．【答案】（1）∵c=2bcosB，则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB，∴sin2B=sin2π3=32，∵C=2π3，∴B∈(0,π3)，2B∈(0,2π3)，∴2B=π3，解得B=π6；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得cb=sinCsinB=3212=3，与c=2b矛盾，故这样的△ABC不存在；若选择②：由（1）可得A=π6，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得a=b=2Rsinπ6=R，c=2Rsin2π3=3R，则周长a+b+c=2R+3R=4+23，解得R=2，则a=2,c=23，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：(23)2+12−2×23×1×cosπ6=7；若选择③：由（1）可得A=π6，即a=b，则S△ABC=12absinC=12a2×32=334，解得a=3，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：b2+(a2)2−2×b×a2×cos2π3=3+34+3×32=212.10．【答案】（1）因为sinA：sinB：sinC=2：1：2，由正弦定理可得a：b：c=2：1：2，∵b=2，∴a=22，c=2；n（2）由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=8+2−42×22×2=34；（3）∵cosC=34，∴sinC=1−cos2C=74，∴sin2C=2sinCcosC=2×74×34=378，cos2C=2cos2C−1=2×916−1=18，所以sin(2C−π6)=sin2Ccosπ6−cos2Csinπ6=378×32−18×12=321−116.11．【答案】（1）在△ABC中，ACsin∠ABC=ABsinC　①，∵BDsin∠ABC=asinC，∴BDsinC=asin∠ABC　②，联立①②得ABBD=ACa，即ac=b⋅BD，∵b2=ac，∴BD=b．（2）若AD=2DC，△ABC中，cosC=a2+b2−c22⋅a⋅b　③，△BCD中，cosC=a2+(b3)2−b22⋅a⋅b3　④，∵③=④，∴(a2+b2−c2)=3[a2+(b3)2−b2]，整理得a2+b2−c2=3a2+b23−3b2，∴2a2−113b2+c2=0，∵b2=ac，∴6a2−11ac+3c2=0，即a=c3或a=32c，若a=c3时，b2=ac=c23，则cos∠ABC=a2+c2−b22⋅a⋅c=c29+c2−c2323c2=79c223c2=76（舍），若a=32c，b2=ac=32c2，则cos∠ABC=a2+c2−b22⋅a⋅c=94c2+c2−32c23c2=74c23c2=712.n12．【答案】（1）解：由正弦定理可得：BC2−AC2−AB2=AC⋅AB，∴cosA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3.（2）解：由余弦定理得：BC2=AC2+AB2−2AC⋅ABcosA=AC2+AB2+AC⋅AB=9，即(AC+AB)2−AC⋅AB=9.∵AC⋅AB≤(AC+AB2)2（当且仅当AC=AB时取等号），∴9=(AC+AB)2−AC⋅AB≥(AC+AB)2−(AC+AB2)2=34(AC+AB)2，解得：AC+AB≤23（当且仅当AC=AB时取等号），∴△ABC周长L=AC+AB+BC≤3+23，∴△ABC周长的最大值为3+23.13．【答案】解：解法一：由sinA=3sinB可得：ab=3，不妨设a=3m,b=m(m>0)，则：c2=a2+b2−2abcosC=3m2+m2−2×3m×m×32=m2，即c=m.选择条件①的解析：据此可得：ac=3m×m=3m2=3，∴m=1，此时c=m=1.选择条件②的解析：据此可得：cosA=b2+c2−a22bc=m2+m2−3m22m2=−12，则：sinA=1−(−12)2=32，此时：csinA=m×32=3，则：c=m=23.选择条件③的解析：可得cb=mm=1，c=b，与条件c=3b矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵sinA=3sinB,C=π6,B=π−(A+C),∴sinA=3sin(A+C)=3sin(A+π6),sinA=3sin(A+C)=3sinA·32+3cosA·12，∴sinA=−3cosA,∴tanA=−3,∴A=2π3,∴B=C=π6,若选①，ac=3,∵a=3b=3c,∴3c2=3,∴c=1;n若选②，csinA=3,则3c2=3,c=23;若选③,与条件c=3b矛盾.14．【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，由a=22,b=5,c=13及余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=8+25−132×22×5=22，又因为C∈(0,π)，所以C=π4；（Ⅱ）在△ABC中，由C=π4，a=22,c=13及正弦定理，可得sinA=asinCc=22×2213=21313；（Ⅲ）由a<c知角A为锐角，由sinA=21313，可得cosA=1−sin2A=31313，进而sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=2cos2A−1=513，所以sin(2A+π4)=sin2Acosπ4+cos2Asinπ4=1213×22+513×22=17226.15．【答案】（1）解：由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB=9+2−2×3×2×22=5，所以b=5.由正弦定理得csinC=bsinB⇒sinC=csinBb=55.（2）解：由于cos∠ADC=−45，∠ADC∈(π2,π)，所以sin∠ADC=1−cos2∠ADC=35.由于∠ADC∈(π2,π)，所以C∈(0,π2)，所以cosC=1−sin2C=255.所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)=sin∠ADC⋅cosC+cos∠ADC⋅sinC=35×255+(−45)×55=2525.由于∠DAC∈(0,π2)，所以cos∠DAC=1−sin2∠DAC=11525.所以tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC=211.16．【答案】解：选择条件①（Ⅰ）∵c=7，cosA=−17，a+b=11∵a2=b2+c2−2bccosA∴a2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a=8（Ⅱ）∵cosA=−17，A∈(0，π)∴sinA=1−cos2A=437由正弦定理得：asinA=csinC∴8437=7sinC∴sinC=32nS=12basinC=12(11−8)×8×32=63选择条件②（Ⅰ）∵cosA=18，cosB=916，A，B∈(0，π)∴sinA=1−cos2A=378，sinB=1−cos2B=5716由正弦定理得：asinA=bsinB∴a378=11−a5716∴a=6（Ⅱ）sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=378×916+5716×18=74S=12basinC=12(11−6)×6×74=157417．【答案】解：（Ⅰ）∵2bsinA＝3a，∴2sinBsinA＝3sinA，∵sinA≠0，∴sinB＝32，∵π6＜B＜π2，∴B＝π3，（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，B＝π3，∴C＝2π3﹣A，∴cosA+cosB+cosC＝cosA+cos（2π3﹣A）+cosπ3＝cosA﹣12cosA+32sinA+12＝12cosA+32sinA+12＝sin（A+π6）+12，△ABC为锐角三角形，0＜A＜π2，0＜C＜π2，解得π6＜A＜π2，∴π3＜A+π6＜2π3，∴32＜sin（A+π6）≤1，∴32+12＜sin（A+π6）+1≤32，∴cosA+cosB+cosC的取值范围为（3+12，32]．n18．【答案】（1）解：因为a=3c,b=2,cosB=23，由余弦定理cosB=a2+c2−b22ac，得23=(3c)2+c2−(2)22×3c×c，即c2=13.所以c=33（2）解：因为sinAa=cosB2b，由正弦定理asinA=bsinB，得cosB2b=sinBb，所以cosB=2sinB.从而cos2B=(2sinB)2，即cos2B=4(1−cos2B)，故cos2B=45.因为sinB>0，所以cosB=2sinB>0，从而cosB=255.因此sin(B+π2)=cosB=25519．【答案】解：在△ABC中，由正弦定理bsinB=csinC，得bsinC=csinB，又由3csinB=4asinC，得3bsinC=4asinC，即3b=4a.又因为b+c=2a，得到b=43a，c=23a.由余弦定理可得cosB=a2+c2−b22=a2+49a2−169a22⋅a⋅23a=−14.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinB=1−cos2B=154，从而sin2B=2sinBcosB=−158，cos2B=cos2B−sin2B=−78，故sin(2B+π6)=sin2Bcosπ6+cos2Bsinπ6=−158×32−78×12=−35+71620．【答案】（1）解：由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA．因为sinA≠0，所以sinA+C2=sinB．由A+B+C=180°，可得sinA+C2=cosB2，故cosB2=2sinB2cosB2．因为cosB2≠0，故sinB2=12，因此B=60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=34a．由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120°−C)sinC=32tanC+12．由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故12<a<2，从而38<S△ABC<32．n因此，△ABC面积的取值范围是(38,32)．21．【答案】解：（I）根据余弦定理b2=a2+c2−2accosB，故(2+c)2=9+c2−2×3c×(−12)，解得c=5，b=7；（II）根据cosB=−12，得sinB=32，根据正弦定理，bsinB=csinC，得732=5sinC，解得sinC=5314，所以cosC=1114，所以sin(B+c)=sinBcosC+cosBsinC=32×1114+(−12)×5314=3314.22．【答案】解：（I）根据余弦定理b2=a2+c2−2accosB，故(2+c)2=9+c2−2×3c×(−12)，解得c=5，B=7；（II）根据cosB=−12，得sinB=32，根据正弦定理，bsinB=csinC，得732=5sinC，解得sinC=5314，所以cosC=1114，所以sin(B−C)=sinBcosC−cosBsinC=32×1114−(−12)×5314=16328=437.23．【答案】（1）解：(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC,sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC,由正弦定理得：b2+c2−a2=bc,由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc=12,∴A=π3或A=5π3,在三角形中，0<A<π,∴A=π3（2）解：∵2a+b=2c，A=π3由正弦定理得：2sinA+sinB=2sinA+sinAsinC+cosAsinC=2sinC,代入A得：62+sin（2π3-C）=2sinC解得：sin（C-π6）=22∴C-π6=π4，C=π4+π6∴sinC=（π4+π6）=sinπ4cosπ6+=cosπ4sinπ6=22×32+22×12=6+2424．【答案】（1）解：在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A=ABsin∠ADB.由题设知，5sin45°=2sin∠ADB，所以sin∠ADB=25.n由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB=1−225=235.（2）解：由题设及（1）知，cos∠BDC=sin∠ADB=25.在△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2−2⋅BD⋅DC⋅cos∠BDC=25+8−2×5×22×25=25.所以BC=5.25．【答案】解：.解：（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB⇒bsinA=asinB=acos(B−π6)⇒asinB=acos(B−π6)⇒sinB=cos(B−π6)∴tanB=3又0<B<π∴B=π3（Ⅱ）△ABC中，∵a=2，c=3，B=π3则b2=a2+c2−2accosB=7⇒b=7由bsinA=acos(B−π6)⇒sinA=37=217∵a<c∴cosA=27∴sin2A=2sinAcosA=437cos2A=2cos2A−1=17∴sin(2A−B)=sin2A⋅cosB−cos2AsinB=331426．【答案】解：（Ⅰ）△ABC中，∵cosB=−17⇒sinB=437，由正弦定理得：asinA=bsinB⇒sinA=32，∴A=π3或2π3，又B>π2，所以A=π3。（Ⅱ）设AB边上的高为h，则h=asinC.又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32⋅(−17)+12⋅437=3314，n而h=7×3314=332。