平面向量——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）解析版

䁠䁠平面向量——大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）故椭圆的方程为.一、单选题故选：B.1．已知o，，o，，，若，൐，൐，则（）A．-6B．-5C．5D．6【分析】根据离心率及2，b2的等量关系式，即可得解.䁠，解得关于a【答案】C4．已知向量，满足，，䁠，则（）【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A．-2B．-1C．1D．2ٚ【解析】【解答】解：由已知条件可得o，，cos，൐cos，൐，即，【答案】C解得，【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律故答案为：C【解析】【解答】解：∵䁠䁠䁠䁠，【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.又∵，，䁠，2．已知向量o䁠，，o䁠，，则（）∴9，A．2B．3C．4D．5∴【答案】D故选：C【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【解析】【解答】因为o䁠，o䁠，o，，所以䁠o䁠.5．在中，，，．为所在平面内的动点，且，则故选：D的取值范围是（）【分析】先求得的坐标，然后根据求模公式求解即可.A．，B．，C．ٚ，．D，ٚ䁠䁠3．已知椭圆：o൐൐的离心率为，，䁠分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若【答案】D䁠䁠䁠，则C的方程为（）【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用A．䁠䁠B．䁠䁠C．䁠䁠D．䁠䁠【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，ٚ䁠䁠【答案】B【知识点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质䁠䁠22【解析】【解答】解：因为离心率，解得，则b=a，䁠记A1，A2分别为C的左右顶点，则A1（-a，0），A2（a，0），又B为上顶点，所以B（0，b），所以，，䁠，，由题意易知o，，o，，o，，因为䁠设oܿ，sin，，䁠，所以-a2+b2=-1，将b2=a2代入，解得a2=9，b2=8，n䁠䁠【解析】【解答】，ٚ䁠䁠o，ٚ，ٚ.oܿ，sinocos，sincossincossinͷoo䁠䁠䁠䁠䁠䁠ٚٚ，，ٚ，（ͷ，cos.o故答案为：D因此，cosǡ൐.【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点oܿ，sin，，䁠，利用坐标法即可解决问题.故答案为：D.【分析】计算出o、的值，利用平面向量数量积可计算出cosǡ൐的值.6．在中，点D在边AB上，ܦ䁠ܦ记，ܦ，则（）9．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）A．3-2B．-2+3C．3+2D．2+3A．a+2bB．2a+bC．a–2bD．2a–b【答案】B【答案】D【知识点】向量加减混合运算及其几何意义；向量数乘的运算及其几何意义；向量的线性运算性质及几何意义【知识点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的性质及其运算律；数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】解：由题意得，ܦoܦ䁠ܦ䁠，故选：B【解析】【解答】由已知可得：cosٚ䁠䁠.【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.A：因为o䁠䁠䁠䁠，所以本选项不符合题意；䁠䁠7．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）䁠B：因为o䁠䁠䁠䁠，所以本选项不符合题意；䁠A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线䁠【答案】AC：因为o䁠䁠䁠䁠䁠，所以本选项不符合题意；【知识点】数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算；轨迹方程D：因为o䁠䁠䁠䁠，所以本选项符合题意.䁠【解析】【解答】设䁠o൐，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，故答案为：D.则：oǡǡoǡ，设oǡ，可得：oǡǡoǡ，【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.䁠，10．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（）从而：ooA．o䁠ǡٚB．oٚǡ䁠C．o䁠ǡD．oǡٚ结合题意可得：oo䁠，【答案】A整理可得：䁠䁠䁠，【知识点】平面向量数量积的含义与物理意义；平行投影及平行投影作图法即点C的轨迹是以AB中点为圆心，䁠为半径的圆.【解析】【解答】的模为2，根据正六边形的特征，故答案为：A.可以得到在方向上的投影的取值范围是oǡ，【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.结合向量数量积的定义式，8．已知向量a，b满足，ٚ，ٚ，则cosǡ（）可知等于的模与在方向上的投影的乘积，A．B．C．D．所以的取值范围是o䁠ǡٚ，故答案为：A.【答案】D【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围【知识点】向量的模；平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角n是oǡ，利用向量数量积的定义式，求得结果.ٚ11．已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（）【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积公式结合已知条件和两向量间夹角的取值范围求出A．䁠B．2C．5䁠D．50与的夹角。【答案】A14．在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()【知识点】向量的模A．B．【解析】【解答】∵-=(-1,1),∴o䁠䁠䁠,C．D．故答案为：A【答案】A【分析】首先求出两个向量之差的坐标，进而可求出-的模的大小即可。【知识点】平面向量的基本定理及其意义12．已知=(2,3)，=(3，t)，||=1，则=（）【解析】【解答】解：ܦ=，䁠䁠䁠A．-3B．-2C．2D．3故答案为：A。【答案】C【分析】以向量和为基底向量，由点E是AD的中点将向量表示为ܦ，再由点D是BC的䁠【知识点】平面向量数量积的运算中点，将其表示为基底向量的线性表示形式.【解析】【解答】o，o䁠ǡoǡ,=o䁠，求出t=3即可得出15．如图，在平面四边形ABCD中，，ܦܦ，ܦ䁠，ܦ.若点E为边oǡ,=䁠䁠.CD上的动点，则的最小值为（）故答案为：C䁠䁠A．B．C．D．ٚ䁠ٚ【分析】首先利用向量的减法求出向量BC的坐标，再利用向量的模的公式求出t的值，结合向量的数量积运【答案】A算公式代入数值求出结果即可。【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律13．已知非零向量，满足||=2||，且o，则与的夹角为（）䁠【解析】【解答】解：以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则o，，o，，ܦo，A．B．C．D．䁠䁠ٚٚ【答案】B设o，∴ܦo䁠，䁠【知识点】平面向量数量积的运算又ܦܦ䁠【解析】【解答】设与的夹角为，oǡo∴䁠ǡo䁠cos䁠䁠䁠cos䁠ǡ∴ܦo，䁠䁠又E在CD上䁠䁠cos䁠ǡ䁠cosǡcosǡ䁠设ܦܦo，o，o，ٚ或ǡ䁠䁠䁠䁠䁠䁠䁠䁠∵θ为两向量的夹角，又o䁠䁠，䁠䁠ǡ䁠䁠䁠o䁠䁠ٚn䁠ٚٚ䁠ٚ䁠ٚ䁠又，当时，有最大值又o，o，oo，则为钝角，ٚ䁠䁠ٚ故答案为：A又ܱܱܱٚ，则ܱܱ，D符合题意.【分析】先建系，利用垂直，求出C，再利用数量积，得到二次函数，求出最值.故答案为：ACD.ٚ16．已知向量，满足=1，⋅=−1，则·(2-)=（）【分析】由及抛物线方程求得o，，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线䁠A．4B．3C．2D．0的方程，联立抛物线方程求得oٚ䁠，，即可求出ܱ判断B选项；由抛物线的定义求出䁠【答案】B即可判断C选项；由ܱܱ，求得ܱ，为钝角即可判断D选项.【知识点】平面向量数量积的运算18．已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：䁠䁠o上，过点o，的直线交C于P，Q两【解析】【解答】o䁠䁠䁠䁠.点，则（）故答案为：BA．C的准线为B．直线AB与C相切【分析】由已知代入运算即可。二、多选题C．ܱܱ䁜൐ܱ䁠D．䁜൐䁠17．已知O为坐标原点，过抛物线：䁠䁠o൐的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象【答案】B,C,D【知识点】导数的几何意义；平面向量数量积的运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的限，点o，，若，则（）关系A．直线的斜率为䁠ٚB．ܱܱ2【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p，所以抛物线C：x=y，故C的准线为，故A错误；C．൐ܱD．ܱܱ【答案】A,C,D由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；【解析】【解答】对于A：易得o，，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，䁠䁠联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，ٚ䁫标为䁠，代入抛物线可得䁠䁠䁠，则oٚ䁠䁠ٚ，䁠䁠，䁠，直线的斜率为䁠䁠则x1+x2=k，x1x2=1，且䁫൐，A符合题意；2>4，则y2即k1+y2=k-2，y1y2=1，对于B：由斜率为䁠ٚ可得直线的方程为，联立抛物线方程得䁠䁠，设此时ܱܱ䁜䁠䁠䁠䁠䁠䁠䁠ٚ䁠ٚ䁠䁠䁠䁠o，，则ٚo得线物抛入代，ٚٚٚ䁠，解得，则o䁫䁠൐，又|OA|2=2，则ܱܱ䁜൐ܱ䁠，故C正确；䁠ٚ，则䁠䁠䁠䁠ٚ，，䁜䁜，䁠，䁠䁠䁠䁠䁫䁠൐，ٚ又|BA|2=5，则䁜൐䁠，故D正确.则ܱo䁠o䁠ܱ，B不符合题意；䁠故选：BCD䁠对于C：由抛物线定义知：൐䁠ܱ，C符合题意；䁠ٚٚٚٚ䁠对于D：ܱܱo，䁠o，䁠o，则ܱ为钝角，【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据n直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.21．已知向量o，，o，．若，则．19．已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα),P2(cosβ，-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),则（）【答案】或-0.75A．|ܱ=ܱB．=䁠䁠【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系C．ܱܱ=ܱܱ䁠D．ܱܱܱ䁠ܱ【答案】A,C【解析】【解答】由题意知：，解得.【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦公式；两角和与差故答案为：.的正弦公式【解析】【解答】解：ܱcos䁠sin䁠，ܱ䁠cos䁠sin䁠，故A正确；【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.因为cos䁠sin䁠䁠䁠cos，䁠cos䁠sin䁠䁠䁠cos，故B错误；22．已知向量ǡǡ䁠，则．因为ܱܱcossincos，【答案】䁠【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算ܱܱ䁠coscossinsincos，䁠䁠䁠䁠【解析】【解答】解：由题意得，即䁠䁠所以ܱܱܱܱ䁠故C正确；，因为ܱܱcossincos，则䁠ܱ䁠ܱcos，sincos，sincoscossinsincos故答案为：䁠䁠，【分析】根据向量的运算法则直接求解即可.所以D错误23．o䁠ǡ，o䁠ǡ，oǡ，则o；．故答案为：AC.【答案】0；3【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角三、填空题【解析】【解答】解：由题意得ǡ，则，䁠䁠20．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则o䁠．故答案为：0，3【答案】11【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的运算24．已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若，则λ=.【解析】【解答】解：由题意得cos，【答案】所以䁠䁠䁠䁠䁠．【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示故答案为：11．【解析】【解答】因为=(2,5),=(λ,4)，且，则䁠－＝，则＝。【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。【分析】先根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得答案．n25．若向量，满足||＝3，|－|＝5，⋅＝1，则||＝．【解析】【解答】解：设BE=x，，䁠【答案】䁠∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB【知识点】向量的模；向量的线性运算性质及几何意义∴∠BDE=30°，BD=2x，DE=，DC=1-2x䁠䁠䁠∵DF//AB【解析】【解答】解：由得䁠䁠䁠䁠∴△DFC为边长为1-2x的等边三角形，DE⊥DF即9-2×1+=25䁠∴䁠ܦ䁠ܦܦ䁠䁠䁠cos䁠䁠解得䁠∴䁠ܦ故答案为：䁠【分析】根据向量的运算法则求解即可.∵ܦܦܦܦܦܦܦ䁠ܦ26．已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，䁫，若a⊥c，则k=。䁠䁠䁠䁠䁠【答案】【知识点】平面向量的坐标运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系则当时，ܦܦܦ取得最小值为䁠【解析】【解答】解：䁫ǡ䁫ǡ䁫ǡ，故答案为：1，䁠由得【分析】根据向量的数量积及向量的求模公式，再结合二次函数的最值问题求解即可.䁫，解得䁫29．设向量oǡǡoǡ䁠，若，则.故答案为：【答案】5【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.【知识点】数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系27．已知向量=（1，3），b=（3，4），若（-λ）⊥，则λ=。【解析】【解答】由可得，【答案】又因为oǡǡoǡ䁠，【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系所以ooo䁠，即，【解析】【解答】因为oǡǡoǡǡ－oǡǡo－，所以o－＝，故答案为：5.所以oǡoǡ＝＝，【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.故答案为：30．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=.䁠【分析】先计算出－的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。【答案】䁠28．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，ܦ且交AB于点E．ܦ且交AC【知识点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系于点F，则䁠ܦ的值为；oܦܦܦ的最小值为．䁠【解析】【解答】由题意可得：cos，䁠【答案】1；䁠由向量垂直的充分必要条件可得：o䁫，【知识点】二次函数在闭区间上的最值；向量的模；平面向量数量积的运算n䁠䁠䁠即：䁫䁫，解得：䁫.ܦoǡ，ܦ䁫oǡ，䁠䁠䁠䁠䁠䁠故答案为：䁠．ܦܦ䁫ooo䁠䁠䁠o䁠䁠，䁠䁠䁠䁠䁠䁠【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.所以，当䁠时，ܦܦ䁫取得最小值.䁠31．设ǡ为单位向量，且，则.故答案为：；.ٚ䁠【答案】【分析】可得ܦ䁠，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点B为坐标原点，所在【知识点】向量的模；向量数乘的运算及其几何意义直线为x轴建立平面直角坐标系，设点oǡ，则点䁫oǡ（其中），得出ܦܦ䁫关于【解析】【解答】因为ǡ为单位向量，所以的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得ܦܦ䁫的最小值.所以o䁠䁠䁠䁠䁠䁠33．在△ABC中，，，，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若解得：䁠o（m为常数），则CD的长度是．所以o䁠䁠䁠䁠䁠故答案为：【答案】【分析】整理已知可得：o䁠，再利用ǡ为单位向量即可求得䁠，对变【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；数量积表示两个向量的夹角；余弦定理【解析】【解答】∵ǡܦǡ三点共线，形可得：䁠䁠䁠，问题得解.∴可设ܦo൐，32．如图，在四边形ܦ中，ٚ，ǡٚ，且ܦǡܦ，则实数䁠∵o，䁠的值为，若ǡ䁫是线段上的动点，且䁫，则ܦܦ䁫的最小值为．o∴ܦo䁠，即ܦ䁠，【答案】；ٚ䁠若且，则ǡܦǡ三点共线，䁠【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的o运算∴䁠，即䁠，【解析】【解答】ܦ，ܦ，ܦ䁠，∵，∴ܦ，ܦcos䁠∵,,，，∴，ٚo䁠䁠设ܦ，ܦ，则ܦ，ܦ.解得，ٚܦ䁠ܦ䁠䁠ܦ䁠ܦ䁠䁠o䁠∴根据余弦定理可得cos，coso，䁠ܦܦٚܦܦ䁠ٚo以点B为坐标原点，所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，∵coscoso，ٚo，ٚǡ,o䁠∴，解得，ٚٚo∵ǡٚ，∴的坐标为oǡ,䁠䁠∴ܦ的长度为.∵又∵ܦ,则ܦoǡ，设oǡ，则䁫oǡ（其中），ٚ䁠䁠当时，，ǡܦ重合，此时ܦ的长度为，䁠n当时，，ǡܦ重合，此时䁠，不合题意，舍去.根据等式左右两边对应相等，从而求出的值，进而得：䁠䁠故答案为：0或.【分析】利用共线定理结合平行四边形法则和已知条件，用平面向量基本定理求出的值，进而求出的值。【分析】根据题设条件可设ܦo൐，结合o与ǡܦǡ三点共线，可求得，䁠䁠䁠再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.36．在椭圆䁠上任意一点，䁜与关于轴对称，若有䁠，则与䁠䁜的34．已知正方形ܦ的边长为2，点P满足夹角范围为．o，则ܦ；ܦ．䁠【答案】；-1【答案】cosǡ【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】以点A为坐标原点，、ܦ所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，【解析】【解答】解：设oǡ，则䁜点䁜oǡ，则点oǡ、o䁠ǡ、o䁠ǡ䁠、ܦoǡ䁠，椭圆䁠䁠的焦点坐标为o䁠ǡ，o䁠ǡ，䁠䁠o䁠o䁠ǡ䁠o䁠ǡ䁠o䁠ǡ，䁠，则点o䁠ǡ，ܦo䁠ǡ，oǡ，䁠䁠䁠，因此，ܦo䁠䁠䁠，ܦo䁠o.结合䁠䁠䁠故答案为：；-1.可得：䁠ǡ䁠【分析】以点A为坐标原点，、ܦ所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标，利故与䁠䁜的夹角满足：用平面向量数量积的坐标运算可求得ܦ以及ܦ的值.䁠䁜䁠䁠䁠䁠䁠cosǡ，䁠䁜o䁠䁠䁠䁠35．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点ܱ.若ܱٚ，䁠䁠䁠䁠䁠则的值是.故cosǡ【答案】故答案为：cosǡ【知识点】向量在几何中的应用【分析】设oǡ，利用点与点关于轴对称，则䁜点坐标为䁜oǡ，【解析】【解答】ܱ在ܦ上，ܱ与ܦ共线，再利用椭圆的标准方程求出焦点坐标，再利用数量积的坐标表示和数量积的取值范围，用数量积表示向量的夹设ܱ角，从而求出求出向量与䁠䁜的夹角范围。ܦoǡ37．在四边形ܦ中，ܦǡ䁠ǡܦǡ，点在线段的延长线上，且，䁠ǡ䁠ǡǡ则ܦ.又D是BC的中点，䁠ܦǡܦ䁠䁠ǡ【答案】-1ٚ,ܱٚܦoǡ【知识点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】∵ܦ,䁠,ܦٚܦoǡ，点在线段的延长线上，ٚooǡ䁠䁠作n∴，【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系∴在中，䁠，【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得oٚǡ∴ܦoܦ解得m=8.ܦ故答案为8.cosܦcosٚ【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.䁠䁠䁠䁠䁠ٚ故答案为：-1【分析】本题考查向量加法的三角形法则，向量内积，需注意向量内积所成的夹角，必须共用一起点所成的角才可以。38．已知向量o䁠ǡ䁠ǡoǡٚ，则cosǡ൐.䁠【答案】【知识点】数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】解：∵o䁠ǡ䁠ǡoǡٚ䁠o䁠∴，ٚ，䁠䁠，，䁠∴cosǡ，䁠故答案为：.【分析】由已知可得䁠o䁠ٚ，䁠䁠，，代入向量的夹角公式即可得结果.39．已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a-b，则cos<a，c>=。䁠【答案】【知识点】数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】解：∵，，∴䁠o䁠䁠，展开整理可得，䁠又∵o䁠䁠䁠䁠，∴cosǡ，䁠故答案为：.【分析】由已知䁠o䁠䁠，展开整理可得，再求出䁠，代入向量的夹角公式即可.40．已知向量=（-4.3），=（6，m），且，则m=.【答案】8