2022年高考数学真题分类汇编专题04：导数及答案

2022年高考数学真题分类汇编专题04：导数一、单选题1．（2022·全国乙卷）函数数cos൅数൅ݔ൅sinݔ在区间，的最小值、最大值分别为（）A．，B．，C．，൅D．，൅ݔݔݔ2．（2022·全国甲卷）已知，cos，sin，则（）A．൐൐B．൐൐C．൐൐D．൐൐3．（2022·全国甲卷）当ݔ时，函数数ln൅取得最大值，则数（）ݔݔA．-1B．C．D．14．（2022·新高考Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）ㄱݔㄱݔA．ݔㄱ，B．，C．，D．[18，27]5．（2022·新高考Ⅰ卷）设ͲݔݔͲݔ，，݊Ͳ，则（）A．൏൏B．൏൏C．൏൏D．൏൏二、多选题6．（2022·新高考Ⅱ卷）函数数sin数൅数൏൏的图象以数，中心对称，则（）A．数在数，单调递减ݔݔݔB．数在数，有2个极值点ݔݔC．直线是一条对称轴D．直线是一条切线7．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数数൅ݔ，则（）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线数的对称中心D．直线是曲线数的切线n8．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：数上，过点数，ݔ的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为ݔB．直线AB与C相切C．ㄠ〵ㄠ䁜൐ㄠD．〵䁜൐三、填空题9．（2022·新高考Ⅱ卷）写出曲线ln过坐标原点的切线方程：，．10．（2022·全国乙卷）已知ݔ且൐（数数函是别分和ݔ）的极小值点和极大值点．若ݔ൏，则a的取值范围是．11．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线数൅有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.12．（2022·上海）已知数为奇函数，当，ݔ线直于关数且，ln数，时ݔ对称，设数൅ݔ൅݊数mil݊则，、݊、、、、ݔ为次依解数正的ݔ݊四、解答题13．（2022·浙江）设函数数൅ln数൐．（Ⅰ）求数的单调区间；（Ⅱ）已知，，曲线数上不同的三点数ݔ数，ݔ，数，数，数，数处的切线都经过点数，．证明：ݔ（ⅰ）若൐，则൏数൏数ݔ；ݔݔ（ⅱ）若൏൏，ݔ൏൏，则൅൏൅൏．ݔ（注：Ͳݔㄱㄱ是自然对数的底数）14．（2022·新高考Ⅱ卷）已知函数数．（1）当ݔ时，讨论数的单调性；（2）当൐时，数൏ݔ，求a的取值范围；ݔݔݔ൅൅൅൐ln数݊൅ݔ（3）设݊，证明：．ݔ൅ݔ൅݊൅݊ݔ15．（2022·全国乙卷）已知函数数数൅ݔln．（1）当时，求数的最大值；（2）若数恰有一个零点，求a的取值范围．16．（2022·全国甲卷）已知函数数ln൅．n（1）若数，求a的取值范围；（2）证明：若数有两个零点ݔ൏ݔ则，，ݔ．17．（2022·全国甲卷）已知函数数，数൅，曲线数在点数，数处ݔݔ的切线也是曲线数的切线．（1）若ݔݔ，求a：（2）求a的取值范围．18．（2022·全国乙卷）已知函数数ln数ݔ൅൅.（1）当ݔ时，求曲线数在点数，数处的切线方程；（2）若数在区间数ݔ，，数，൅各恰有一个零点，求a的取值范围．19．（2022·北京）已知函数数݊数ݔ൅．（Ⅰ）求曲线数在点数，数处的切线方程；（Ⅱ）设数数，讨论函数数在，൅上的单调性；（III）证明：对任意的，数，൅，有数൅൐数൅数．20．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数数和数݊有相同的最小值.（1）求a；（2）证明：存在直线，，其与两条曲线数和数共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．21．（2022·上海）已知数列݊，ݔ，݊的前n项和为݊.（1）若݊为等比数列，，求݊lim݊；（2）若݊为等差数列，公差为d，对任意݊，均满足݊݊，求d的取值范围.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】A,D7．【答案】A,Cn8．【答案】B,C,Dݔݔ9．【答案】；ݔ10．【答案】数，ݔe11．【答案】a＞0或a＜-412．【答案】2ݔ13．【答案】解：（Ⅰ）数故数的减区间为数，，增区间为数，൅.（Ⅱ）（ⅰ）因为过数，有三条不同的切线，设切点为数，数，ݔ，，，故数数数，故方程数数数有3个不同的根，ݔ该方程可整理为数数ln൅，ݔ设数数数ln൅，ݔݔݔ则数൅数൅数൅ݔ数数，当൏൏或൐时，数൏；当൏൏时，数൐，故数在数，，数，൅上为减函数，在数，上为增函数，因为数有3个不同的零点，故数൏且数൐，ݔݔ故数数ln൅൏且数数ln൅൐，整理得到：൏൅ݔ且൐൅ln数，ݔݔ此时数数ݔ൅൏ݔ数൅ln൅ln，设数ln，则数൏，故数为数，൅上的减函数，故数൏ln，ݔ故൏数൏数ݔ.（ⅱ）当൏൏时，同（ⅰ）中讨论可得：故数在数，，数，൅上为减函数，在数，上为增函数，n不妨设ݔ൏则，൏൏ݔ൏൏൏൏，因为数有3个不同的零点，故数൏且数൐，ݔݔ故数数ln൅൐且数数ln൅൏，整理得到：൅ݔ൏൏൅ln，因为ݔ൏故，൏൏ݔ൏൏൏൏，൅又数ݔ൅ln൅，൅设，数，ݔ程方则，ݔ൅ln൅即为：൅൅൅ln൅即为数൅ݔ൅൅ln൅，记ݔ，，，ݔ则ݔ൅数为，ݔ，ݔ൅൅ln൅有三个不同的根，ݔ设൐൐ݔ൏，ݔ，ݔݔݔ要证：൅൏൅൏，即证൅൏ݔ൅൏，ݔݔݔ即证：൏ݔ൅൏，ݔݔ即证：数ݔ数൅ݔ൅൅൏，数ݔ൅数ݔ即证：ݔ൅൏，数ݔ൅而数൅ݔ൅数且൅ݔln൅ݔ൅ݔݔ൅൅ln൅，故lnݔ数ݔ൅数ݔ数൅lnݔ，lnݔln故ݔ൅，ݔlnݔ൅数ݔ数lnݔ故即证：൏，ݔ数ݔ൅数ݔ即证：ݔ൅数ݔ数ln൅ݔ൅൐ݔ数൅ݔ൅数ݔ数lnݔ即证：൅൐，ݔ数൅ݔݔlnݔ记数，൐ݔ，则数数ln൐，ݔ数ݔݔݔ设数ln，则数ݔ൅൐即数൐，n故数在数ݔ，൅上为增函数，故数൐数，数൅ݔ൅数ݔ数lnݔ൅数ݔ൅数ݔ数lnݔ所以൅൐൅，ݔݔ数ݔ൅数ݔ数ݔ记数ln൅，൏൏ݔ，数൅ݔ数ݔ数൅数ݔ数൅则数൐൐，数൅ݔ൅数ݔ所以数在数，ݔ数൏数故，数函增为ݔ，数ݔ൅数ݔ数lnݔ൅数ݔ൅数ݔ数ݔ故ln൅൏即൅൐，数൅ݔݔ故原不等式得证.14．【答案】（1）解：解：ݔ数数ݔ数当数，时，数൏，数单调递减；当数，൅吋，数൐，数单调递增.（2）令数数൅ݔ൅ݔ数数数对恒成立又数൅数令数数数൅数൅数൅则数ݔݔ数数数①若数ݔ൐，即൐，数limlim൐൅൅所以൐，使得当数，时，有数൐数൐数单调递增数൐数，矛盾②若数ݔ数nl൅൅数，时ݔ即，ݔ൅ݔݔݔݔ൅ln数ݔ൅൅数在，൅上单调递减，数数，符合题意.ݔ综上所述，实数a的取值范围足.ݔݔ（3）证明：取，则൐，总有൅ݔ൏成立，ݔ令，则൐ݔ，，ln，ݔ故ln൏ݔ൐的意任对൏ln即ݔ恒成立.n݊൅ݔ൅݊ݔ݊所以对任意的݊，有ln൏，݊݊݊൅ݔݔ整理得到：ln数݊൅ݔln݊൏，݊൅݊ݔݔݔ൅൅൅൐lnlnݔ൅݊数ln൅൅lnln൅ݔln݊故ݔ൅ݔ൅݊൅݊ln数݊൅ݔ，故不等式成立.ݔ15．【答案】（1）解：当时，数lnݔݔݔ댳数x（0，1）1（1，+∞）f’（x）+0-f（x）↗↘∴数的最大值=f（1）=-1-ln1=-1（2）解：数定义域为（0，+∞）ݔݔ൅ݔ൅数ݔ൅ݔ댳数൅数ݔ数ݔ根据（1）得：a=0时，f（x）max=-1＜0，∴f（x）无零点当a＜0时，∀x＞0，ax-1＜0，又x2＞0x（0，1）1（1，+∞）f’（x）+0-f（x）↗↘∴∀x＞0，f（x）≤f（1）=a-1＜0，∴f（x）无零点ݔ当a＞0时，数数数ݔݔ①当0＜a＜1时，＞1x（0，1）1ݔݔݔ（1，）（，+∞）f’（x）+0-0+f（x）↗↘↗ݔ∴∀x∈（0，]，f（x）≤f（1）=a-1＜0，又limf（x）=+∞，∴f（x）恰有一个零点൅n数ݔ②当a=1时，댳数，∴f（x）在（0，+∞）上递增，由f（1）=a-1=0可得，f（x）恰有一个零点ݔ③当a＞1时，∈（0，1]x（0，ݔ（ݔ）ݔ，1）1（1，+∞）f’（x）+0-0+f（x）↗↘↗ݔ∴∀x∈[，+∞），f（x）≥f（1）=a-1＞0，又limf（x）=-∞，∴f（x）恰有一个零点综上所得a取值范围为数，൅16．【答案】（1）解：由题意得，函数f(x)的定义域为，൅，ݔݔݔݔݔݔݔ댳൅ݔ൅ݔ൅ݔݔ，令f'(x)=0，得x=1，当x∈（0，1），f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈（1，+∞），f'(x)>0，f(x)单调递增，若f(x)≥0，则e+1-a≥0，即a≤e+1，所以a的取值范围为（-∞，e+1）（2）证明：由题知，数一个零点小于1，一个零点大于1不妨设ݔ൏ݔ൏ݔ要证ݔ证即，ݔ൏ݔ൏ݔݔ因为ݔ数证即，ݔ，数，ݔ൐数ݔ因为数ݔ数，即证数൐数ݔݔ即证ln൅ln൐，数ݔ，൅ݔݔݔ即证ln数൐ݔݔݔ下面证明൐ݔ时，൐，ln数൏nݔ设数，൐ݔ，ݔݔݔݔݔݔݔݔݔ则数数数൅数数ݔ数ݔݔݔݔݔ数ݔ数数ݔݔݔ设数数൐ݔ，数数൐ݔ所以数൐数ݔ，而൏ݔ所以൐，所以数൐所以数在数ݔ，൅单调递增ݔ即数൐数ݔ，所以൐ݔݔ令数ln数，൐ݔݔ数ݔݔݔݔ数数ݔ൅൏所以数在数ݔ，൅单调递减ݔݔ即数൏数ݔ，所以ln数൏；ݔݔݔ综上，ln数൐，所以ݔ൏ݔ17．【答案】（1）解：由题意知，数ݔݔ数，ݔ数，ݔ数ݔݔ，则数在点数ݔ൅数为程方线切的处，ݔ，即൅，设该切线与数切于点数，数，数，则数，解得ݔݔ数则，ݔ൅൅，解得；（2）解：数ݔ，则数在点数，数处的切线方程为数数ݔݔݔݔݔݔ数得理整，数ݔ，ݔݔݔ设该切线与数切于点数，数，数，则数，则切线方程为数൅数，整理得൅，ݔ则ݔݔݔ得理整，ݔ，数൅൅ݔݔݔݔݔݔ令数ݔ数ݔ൅数数则，ݔ，令数൐，൅ݔ解得൏൏或൐ݔ，n令ݔ൏൏或ݔ，则变化时，数൏，解得൏数，数的变化情况如下表：ݔݔݔ数，数，0数，ݔ数1ݔ，൅数-0+0-0+ݔ数-1则数的值域为ݔ为围范值取的故，൅，ݔ，൅.18．【答案】（1）解：数的定义域为数ݔ，൅当ݔ数nl数，时ݔ൅൅，数，所以切点为ݔݔ数，数ݔ൅൅，数，所以切线斜率为2所以曲线数在点数，数处的切线方程为（2）解：数ln数ݔ൅൅ݔ数൅ݔ数ݔ数൅ݔ数൅ݔ൅设数൅数ݔ1°若൐，当数ݔ数൅数，，ݔ൐，即数൐所以数在数ݔ，上单调递增，数൏数故数在数ݔ，上没有零点，不合题意2°若ݔ，当数，൅，则数൐所以数在数，൅上单调递增所以数൐数ݔ൅，即数൐所以数在数，൅上单调递增，数൐数故数在数，൅上没有零点，不合题意3°若൏ݔ①当数，൅，则数൐，所以数在数，൅上单调递增数ݔ数，൏൅ݔ൐所以存在数，ݔ，使得数，即数n当数，，数൏，数单调递减当数，൅，数൐，数单调递增所以当数，，数൏数当൅，数൅所以数在数，൅上有唯一零点又数，没有零点，即数在数，൅上有唯一零点②当数ݔ数൅数，，ݔ设数数数൐所以数在数ݔ，单调递增ݔ数ݔ数，൏൅ݔ൐所以存在݊数ݔ，，使得数݊当数ݔ，݊，数൏，数单调递减当数݊，，数൐，数单调递增，数൏数ݔ൅൏ݔ又数ݔ൐所以存在数ݔ，݊，使得数，即数当数ݔ，，数单调递增，当数，，数单调递减有ݔ，数而数，所以当数，，数൐所以数在数ݔ，上有唯一零点，数，上无零点即数在数ݔ，上有唯一零点所以൏ݔ，符合题意所以若数在区间数ݔ，数为围范值取的求，点零个一有恰各൅，数，，ݔn19．【答案】（Ⅰ）ݔ数ݔ，又数，数ln数ݔ൅൅，则ݔ൅故所求切线方程为ݔ（Ⅱ）数ln数ݔ൅൅，ݔ数൅ݔ൅ݔݔ൅又൐，ln数ݔ൅൅൐lnݔ൅൐ݔ数൅ݔ数൅ݔ൅故数൐对，൅成立，数在，൅上单调递增（III）证明：不妨设，数൅数由拉格朗日中值定理可得：数数൅其中，൅，即数൅数数数数数，其中数，，即数数数由数在，൅上单调递增，故数൐数∴数൅数൐数数数∴数൅൐数൅数证毕20．【答案】（1）因为数，所以数，若，则数൐恒成立，所以数在数，൅上单调递增，无最小值，不满足；若൐，令f’（x）＞0⇒x＞lna，令f’（x）＜0⇒x＜lna，所以数min数lnln，ݔ因为数ln，定义域൐，所以数，所以ݔݔ，数൐൐，数൏൏൏ݔݔ所以数min数ݔln，ݔݔ依题有lnݔln，即ln，൅ݔݔ൅ݔ令数ln数൐，则数൐恒成立൅ݔ൅数ݔ所以数在数，൅上单调递增，又因为数ݔ，ݔln有唯一解ݔ，൅ݔ综上，ݔn（2）由(1)易知数在数，上单调递减，在数，൅上单调递增，数在数，ݔ上单调递减，在数ݔ，൅上单调递增，存在直线，其与两条曲线数和数共有三个不同的交点，设三个不同交点的横坐标分别为ݔ设妨不，，，ݔ൏൏，显然有ݔ൏൏൏ݔ൏，则肯定有数ݔ数数数，注意数，数的结构，易知数ln数，所以有数ln数，所以有数ݔ由而，nl数ݔ൏，ln൏，数在数，上单调递减，知ݔln，同理ln，所以ݔ൅ln൅，又由数数ln൅ln，故ݔ൅，所以存在直线，其与两条曲线数和数共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.21．【答案】（1）设等比数列的公比为q，则由题意得a1=2，ݔ则ݔ݊ݔݔ则݊ݔݔ݊ݔ则lim݊limݔ݊݊݊（2）由题意得݊൅݊ݔ洠݊൅洠݊݊݊则(3-2n)d≤1当n=1时，d≤1；ݔ当n≥2时，洠恒成立；݊ݔ∵ݔ，݊∴d≥0综上洠，ݔ