2022年高考数学真题分类汇编专题04：导数解析版

ݔݔ2022年高考数学真题分类汇编专题04：导数【分析】由tan结合三角函数的性质可得c>b；构造函数cos൅ݔ，，൅，利用导一、单选题数可得b>a，即可得解.1．（2022·全国乙卷）函数数ऀcos൅数൅ݔ൅nisऀݔ在区间，的最小值、最大值分别为（）3．（2022·全国甲卷）当ݔ时，函数数ऀln൅取得最大值，则数ऀ（）A．，B．，ݔݔA．-1B．C．D．1C．，൅D．，൅【答案】B【答案】D【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】因为函数f(x)定义域为（0，+∞），所以依题可知，f(1)=-2，f'(1)=0，【解析】【解答】数ऀsin൅sin൅数൅ݔऀcos数൅ݔऀcos，又，由于数ऀ在区间数，ऀ和数，ऀ上数ऀሻ，即数ऀ单调递增；lnݔ൅则，解得，在区间数，ऀ上数ऀሻ，即数ऀ单调递减，所以൅，又数ऀ数ऀ，数ऀ൅，数ऀ数൅ݔ൅ऀݔ，由f'(x)>0，得0<x<1，由f'(x)<0，得x>1，所以数ऀ在区间，上的最小值为，最大值为൅.因此函数f(x)在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，ݔݔ故选：D则当x=1时取最大值，满足题意，即有ݔ൅．【分析】利用导数求得数ऀ的单调区间，从而判断出数ऀ在区间，上的最小值和最大值.故选：B.ݔݔݔ2．（2022·全国甲卷）已知，cos，sin，则（）【分析】根据题意可知f(1)=-2，f'(1)=0，列式即可解得a，b，再根据f'(x)即可解出．A．ሻሻB．ሻሻC．ሻሻD．ሻሻ4．（2022·新高考Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且【答案】A，则该正四棱锥体积的取值范围是（）【知识点】利用导数研究函数的单调性；单位圆与三角函数线㔠ݔ㔠ݔݔ．Aπݔ㔠，B．，C．，D．[18，27]【解析】【解答】解：因为tan，因为当，，sinx<x<tanx，【答案】Cݔݔ所以tanሻ，即ሻݔ，所以c>b；【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱ݔ设cos൅ݔ，，൅，台的体积；余弦定理的应用f'(x)=-sinx+x>0，所以f(x)在（0，+∞）单调递增，【解析】【解答】解：记正四棱锥高与侧棱夹角为θ，高为h，底面中心到各顶点的距离为m，ݔ൅ݔݔݔ则ሻ，所以cosሻ，则cos，，所以b>a，所以c>b>a，sincosݔ则l=6cosθ，m=l·sinθ=6sinθcosθ，tansincos，底，cos故选：Aݔݔ则正四棱锥的体积ݔsincos，底n令y=sinθcos2θ=sinθ(1-sin2θ)=x(1-x2)=-x3+x，x=sinθݔ，所以y'>0，，所以a-c>0，则y'=-3x2+1，故当ݔ，ऀ，y'<0，当数，，y'>0，所以a>c，则ݔݔ，综上可得，c<a<b，故选：Cݔ，댳䁡ݔ䁡댳ݔ【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，故该正四棱锥体积的取值范围是再运用作差法比较大小即可得解.，.二、多选题故选：C6．（2022·新高考Ⅱ卷）函数数ऀsin数൅ऀ数ሻሻऀ的图象以数，ऀ中心对称，则（）ݔ【分析】由题意正四棱锥的结构特征，结合余弦定理得cos，，进而求得正四棱锥的体积A．数ऀ在数，ऀ单调递减ݔ，令x=sinθ，构造函数y=sinθcos2θ=-x3+x，利用导数研究函数的单调性与最值，求得y的最值，ݔsincosݔݔB．数ऀ在数，ऀ有2个极值点ݔݔ从而求得V的最值.ݔC．直线是一条对称轴5．（2022·新高考Ⅰ卷）设ͲݔͲݔ，，䁡Ͳ，则（）A．ሻሻB．ሻሻC．ሻሻD．ሻሻD．直线是一条切线【答案】C【答案】A,D【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，的单调性ݔ则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，【解析】【解答】由题意得：数ऀsin数൅ऀ，所以൅，，令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，即൅，，ݔ则ݔሻ，ݔݔ又ሻሻ，所以时，，故数ऀsin数൅ऀ．所以y≤0，对于A：当数，ऀ时，൅数，ऀ，由正弦函数sin图象知数ऀ在数，ऀ上ݔݔ所以lna≤lnb，是单调递减；所以b>a，ݔݔa-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，对于B：当数ݔ，ݔऀ时，൅数，ऀ，由正弦函数sin图象知数ऀ只有1个令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，极值点，由൅，解得，即为函数的唯一极值点；ݔݔݔݔ൅ݔݔ，൅ݔݔ对于C：当时，൅，数ऀ，直线不是对称轴；令k(x)=ݔݔ൅ݔ，ݔ对于D：由cos数൅ऀݔ得：cos数൅ऀ，2)ex>0，所以k'(x)=(1-2x-x所以k(x)>k(0)>0，解得൅൅或൅൅，，n从而得：或൅，，A．C的准线为ݔB．直线AB与C相切C．㤵㤠㤵䁜ሻ㤵D．㤠䁜ሻ所以函数数ऀ在点数，ऀ处的切线斜率为cosݔ，【答案】B,C,D切线方程为：数ऀ即．【知识点】导数的几何意义；平面向量数量积的运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的故答案为：AD关系2ݔ【分析】先根据已知条件求出的值，从而求得函数得解析式数ऀsin数൅ऀ，再根据三角函数的性【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p，所以抛物线C：x=y，故C的准线为，故A错误；质逐个判断各选项，即可得解．由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：ݔ，即ݔݔ7．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数数ऀ൅ݔ，则（）y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；A．f(x)有两个极值点过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，B．f(x)有三个零点联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，ݔC．点(0，1)是曲线数ऀ的对称中心则x1+x2=k，x1x2=1，且ሻ，D．直线是曲线数ऀ的切线2>4，则y2即k1+y2=k-2，y1y2=1，【答案】A,C此时㤵㤠㤵䁜൅൅ݔ൅൅ݔݔݔ【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用ݔ൅൅ݔ൅ݔݔሻ，又|OA|2=2，则㤵㤠㤵䁜ሻ㤵，故C正确；【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，㤠䁜㤠䁜ݔ൅ݔ൅൅൅൅ݔ൅，ݔ൅ݔ，ݔሻ，ݔݔݔ当ሻ或ሻ时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，又|BA|2=5，则㤠䁜ሻ，故D正确.ሻሻ故选：BCD所以f(x)在，，，൅上单调递增，在，上单调递减，所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据又直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.ݔሻ所以f(x)只有一个零点，故B错误；三、填空题由f(x)+f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；9．（2022·新高考Ⅱ卷）写出曲线ln过坐标原点的切线方程：，．曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.ݔݔ【答案】；故选：AC【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：因为ln，当ሻ时ln，设切点为数ݔ，所以【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即，lnऀ，由可.ݔln以所，点原标坐过线切又，ऀ数ݔݔ数ऀ，解得，所以切线方程为ln，8．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：数ऀ上，过点数，ݔݔ直的ऀݔ所以切线方程为ݔ数ऀ，即；线交C于P，Q两点，则（）n当ሻ时ln数ऀ，设切点为数ݔeln以所为程方线切以所，ݔ以所，ݔݔ由，ऀऀݔ数nl，ݔሻe，解得eሻሻe，ݔݔݔݔln数ݔሻሻ以所，ݔሻሻ又程方线切以所，ݔ得解，ऀݔ数ऀݔ数nl以所，点原标坐过线切又，ऀݔ数ऀݔ，ݔݔeݔݔݔ为ݔ，数为围范的，述所上综；即，ऀ൅数ݔऀ.eݔݔ故答案为：【分析】由ݔ，数得可，点值大极和点值小极的eऀ数数函是别分，ݔऀ数，൅ऀ【分析】分ሻ和ሻ两种情况讨论，当ሻ时设切点为数，lnऀ，求出函数的导函数，即可求时，数ऀሻ，数ݔሻሻ和ݔሻ分再，ሻऀ数，时ऀ，ݔ两种情况讨论，方程ln出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求切线方程，当ሻ时同理求e的两个根为ݔ，，即函数ln与函数e的图象有两个不同的交点，构造函数解即可.数ऀln，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.10．（2022·全国乙卷）已知ݔ且ሻ（ऀ数数函是别分和ݔ）的极小值点11．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线数൅ऀ有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.和极大值点．若ݔሻ，则a的取值范围是．【答案】a＞0或a＜-4ݔ【答案】数e，ݔऀ【知识点】导数的几何意义；一元二次方程【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(xxx0，(x0+a)e0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)e0，【解析】【解答】解：可得切线方程为y-(xxx数ऀlne，0+a)e0=(x0+a+1)e0(x-x0)，又切线过原点，可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得൅(※)，因为ݔ，分别是函数数ऀe的极小值点和极大值点，又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.所以函数数ऀ在数，ݔ数在，减递上ऀ൅，数和ऀݔ，ऀ上递增，故答案为：a<-4或a>0.所以当数，ݔ数当，ሻऀ数，时ऀ൅，数ऀݔ，ऀ时，数ऀሻ，【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程൅有两不等实根，由若ሻݔ时，当ሻ时，lnሻ，eሻ，则此时数ऀሻ，与前面矛盾，△>0求解即可.故ሻݔ线直于关ऀ数且，lnऀ数，时ݔ，当，数函奇为ऀ数知已）海上·2022（．12，意题合符不ݔ对称，设若ሻሻݔ൅䁡数mil则，、䁡、、、、ݔ为次依解数正的ݔ൅ऀ数，，ݔ为根个两的eln程方则，时ݔ䁡ऀ䁡即方程lne的两个根为ݔ，，即函数ln与函数e的图象有两个不同的交点，令【答案】2【知识点】函数的图象与图象变化；极限及其运算数ऀln，则数ऀln，ሻሻݔ，【解析】【解答】解：因为数ऀ为奇函数，设过原点且与函数数ऀ的图象相切的直线的切点为数，lnऀ，所以数ऀ关于原点对称，则切线的斜率为数ऀln，故切线方程为lnln数ऀ，又数ऀ关于直线ݔ对称，则有lnln，解得ݔ，则函数数ऀ的周期为T=4(1-0)=4，lnݔ，当为因又ݔ时，数ऀln，则切线的斜率为lnlneln，作出函数数ऀ的图象，如图所示，因为函数ln与函数e的图象有两个不同的交点，nݔ数ऀ数ऀ，当ሻሻ或ሻ时，数ऀሻ；当ሻሻ时，数ऀሻ，故数ऀ在数，ऀ，数，൅ऀ上为减函数，在数，ऀ上为增函数，因为数ऀ有3个不同的零点，故数ऀሻ且数ऀሻ，ݔݔ故数ऀ数ऀln൅ሻ且数ऀ数ऀln൅ሻ，整理得到：ሻ൅ݔ且ሻ൅ln数ऀ，则由题意知，lim数䁡൅ݔ൅ऀln൅数ݔ൅ሻऀݔ数ݔऀ数时此.ऀ䁡ݔ൅䁡数mil即，2离距的间之线近渐条两邻相是义意何几的ऀ䁡ݔln，䁡䁡故答案为：2设数ऀ数ऀሻ，ln，则【分析】根据函数的图象与性质，结合极限的几何意义，运用数形结合思想求解即可.故数ऀ为数，൅ऀ上的减函数，故数ऀሻln，四、解答题ݔ13．（2022·浙江）设函数数ऀ൅ln数ሻऀ．故ሻ数ऀሻ数ݔऀ.（Ⅰ）求数ऀ的单调区间；（ⅱ）当ሻሻ时，同（ⅰ）中讨论可得：（Ⅱ）已知，，曲线数ऀ上不同的三点数ݔ数，ݔऀऀ，数，数ऀऀ，数，数ऀऀ处的切线都故数ऀ在数，ऀ，数，൅ऀ上为减函数，在数，ऀ上为增函数，经过点数，ऀ．证明：不妨设ݔሻ则，ሻሻݔሻሻሻሻ，因为数ऀ有3个不同的零点，故数ऀሻ且数ऀሻ，ݔ（ⅰ）若ሻ，则ሻ数ऀሻ数ݔऀ；ݔݔ故数ऀ数ऀln൅ሻ且数ऀ数ऀln൅ሻ，ݔݔ（ⅱ）若ሻሻ，ݔሻሻ，则൅ሻ൅ሻ．ݔ整理得到：൅ݔሻሻ൅ln，（注：Ͳݔ㔠㔠是自然对数的底数）ݔሻ故，ሻሻݔ为因ݔሻሻሻሻ，【答案】解：（Ⅰ）数ऀ൅又数ऀݔ൅ln൅，故数ऀ的减区间为数，ऀ，增区间为数，൅ऀ.൅设，数，ݔ程方则，ऀݔ൅ln൅即为：（Ⅱ）（ⅰ）因为过数，ऀ有三条不同的切线，设切点为数댳，数댳ऀऀ，댳ݔ，，，൅൅൅ln൅即为数൅ݔऀ൅൅ln൅，故数댳ऀ数댳ऀ数댳ऀ，故方程数ऀ记ݔ，，，数ऀ数ऀ有3个不同的根，ݔݔ该方程可整理为数ऀ数ऀln൅，则ݔ൅数为，ݔ，ݔऀ൅൅ln൅有三个不同的根，ݔݔ设数ऀ数ऀ数ऀln൅，设ሻሻݔሻ，ݔ，ݔݔ൅ݔሻ൅ݔݔݔሻ则数ऀ൅数൅ऀ数ऀ൅要证：，即证൅ሻݔ൅ሻ，ݔݔݔ即证：ሻݔ൅ሻ，nݔݔݔ即证：数ݔ数ሻऀ数，ሻऀ൅൅ݔ数ऀ൅ݔऀ.数ݔऀݔ൅数ऀݔ即证：ݔ，数，设，点零的同不个三有൅lnऀ数ऀ数ऀ数）ⅱ（，ሻ൅ݔऀ，则数ऀ转数ݔ൅ऀ而数൅ݔሻݔ且，，ݔ，ݔ点零的同不个三在，根的同不个三有൅ln൅൅ऀݔ൅数为化，൅ln൅൅ऀݔ൅数且൅ݔln൅ݔ൅ݔऀݔሻ，推导lnݔݔऀݔ൅数ऀݔ数lnݔ故lnݔ数ऀݔ൅数ऀݔ数൅lnݔऀ，出要证明结论，只需证明ሻ数，由此能证明൅ሻ൅ሻ．ݔऀ൅ݔݔlnݔln故ݔ൅，ݔ൅ݔऀ14．（2022·新高考Ⅱ卷）已知函数数ऀ．lnݔ数lnݔऀ数故即证：ሻ，ݔ当）1（ऀ൅ݔ数ݔ时，讨论数ऀ的单调性；数ݔ即证：ݔሻऀ数，时ሻ当）2（ऀݔ൅数ऀݔ数nlऀ൅ݔ，求a的取值范围；൅ሻݔݔݔݔ൅൅൅ሻln数䁡൅ݔऀ（3）设䁡，证明：．数൅ݔ൅ݔऀݔ൅数ऀݔ数nlऀݔ൅䁡൅䁡即证：൅ሻ，ݔ数ऀ数ݔ：解：解）1（】案答【ݔऀ数ऀ数൅ݔݔnlऀݔ记数ऀ，ሻݔ，则数ऀ数lnऀሻ，ݔ数ݔऀ当数，ऀ时，数ऀሻ，数ऀ单调递减；ݔݔ设数ऀln，则数ऀݔ൅ሻ即数ऀሻ，当数，൅ऀ吋，数ऀሻ，数ऀ单调递增.故数ऀ在数ݔ൅ݔ൅ऀ数ऀ数令）2（，ऀ数ሻऀ数故，数函增为上ऀ൅，ݔ数ऀ所以数൅ݔ൅数ऀݔ数൅nlऀݔ൅数ሻऀݔ൅数ऀݔ数൅nlऀݔऀ，数ऀ数ऀ对恒成立ݔݔ又数ऀ൅数ऀ数ݔ൅数ऀݔ数ऀݔऀ记数ऀln൅，ሻሻݔ，数൅ݔऀ令数ऀ数ऀ数ऀ൅数൅ऀ数൅ऀ数ݔऀ数൅ऀ数ݔऀ数൅ऀ则数ऀ数൅ݔऀ数则，ሻऀݔ൅数ሻऀݔݔ数ऀ数ऀ数ऀ所以数ऀ在数，ݔऀ为增函数，故数ऀሻ数ݔऀ，①若数ऀݔሻ，即ሻ，数ऀlimlimሻ൅൅故ln൅数ݔ൅数ऀݔ数nlऀݔ൅数即ሻऀݔ൅数ऀݔ数ऀݔऀ所以ሻ，使得当数，ऀ时，有数ऀ数൅ݔऀݔ൅ሻ，ሻ数ऀሻ数ऀ单调递增数ऀሻ数ऀ，故原不等式得证.矛盾【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程ݔ൅ݔ数nl൅ݔݔऀ②若数ऀݔ数nl൅൅ऀ数，时即，ݔ൅ऀݔ【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数数ऀ，利用导数的性质即可求得函数的单调区间；ݔݔ൅（Ⅱ）（i）因为过数，ऀ有三条不同的切线，设切点为数댳，数댳ऀऀ，댳ݔ，，，故数ऀ数ऀ数ऀ数ऀ在，൅ऀ上单调递减，数ऀ数ऀ，符合题意.ݔݔ有3个不同的根，整理为数ऀ数ऀln൅，令数ऀ数ऀ数ऀln൅，ݔ综上所述，实数a的取值范围足.由题意得到函数g（x）有三个不同的零点，利用导数求得极值，故数ऀሻ且数ऀሻ，ሻ൅ݔݔ且ݔ（3）证明：取，则ሻ，总有൅ݔሻ成立，ሻ൅ln数ऀ，设数ऀln利用导数性质能证明数ऀሻln，所以ሻݔ令，则ሻݔ，，ln，n故lnሻݔሻ的意任对ݔሻln即ݔ恒成立.f’（x）+0-䁡൅ݔ൅䁡ݔ䁡f（x）↗↘所以对任意的䁡，有lnሻ，䁡䁡䁡൅ݔ∴∀x＞0，f（x）≤f（1）=a-1＜0，∴f（x）无零点ݔ整理得到：ln数䁡൅ݔऀln䁡ሻ，䁡൅䁡ݔ当a＞0时，数ऀ数ऀ数ݔऀݔݔݔ൅൅൅ሻlnlnݔ൅lnln൅൅ln数䁡൅ݔऀln䁡故ݔ䁡൅䁡൅ݔ൅ݔ①当0＜a＜1时，＞1ln数䁡൅ݔऀ，故不等式成立.x（0，1）1（1，ݔ（ݔ）ݔ，+∞）【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性f’（x）+0-0+【解析】【分析】（1）求出数ऀ，讨论其符号后可得数ऀ的单调性.f（x）↗↘↗（2）设数ऀ൅ݔ数ऀ，求出数ऀ，令数ऀ数ऀ，先讨论ሻݔ时题设中的不等式不成立，再ݔ∴∀x∈（0，]，f（x）≤f（1）=a-1＜0，ݔ就ሻ结合放缩法讨论数ऀ符号，最后就结合放缩法讨论数ऀ的范围后可得参数的取值范围.又limf（x）=+∞，∴f（x）恰有一个零点൅ݔݔ（3）由（2）可得lnሻ对任意的ሻݔ数成恒䁡的意任对ሻ䁡nlऀݔ൅䁡数nl得可而从，立成恒ݔऀ䁡൅䁡②当a=1时，数ऀ，立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.∴f（x）在（0，+∞）上递增，ݔ15．（2022·全国乙卷）已知函数数ऀ数൅ݔऀln．由f（1）=a-1=0可得，f（x）恰有一个零点（1）当时，求数ऀ的最大值；③当a＞1时，ݔ∈（0，1]（2）若数ऀ恰有一个零点，求a的取值范围．xݔݔݔ1（1，+∞）（0，）（，1）ݔ【答案】（1）解：当时，数ऀlnf’（x）+0-0+ݔݔݔ数ऀf（x）↗↘↗x（0，1）1（1，+∞）ݔ∴∀x∈[，+∞），f（x）≥f（1）=a-1＞0，f’（x）+0-又limf（x）=-∞，∴f（x）恰有一个零点f（x）↗↘综上所得a取值范围为数，൅ऀ∴数ऀ的最大值=f（1）=-1-ln1=-1（2）解：数ऀ定义域为（0，+∞）【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点ݔݔ൅ऀݔ൅数ݔ൅ݔ【解析】【分析】（1）将代入，再对函数求导利用导数判断函数的单调性，从而求其最大值；数ऀ൅数ݔऀ数ݔऀ数ݔऀ数ݔऀ（2）求导得数ऀ，分a=0、a＜0及a＞0三种情况讨论函数的单调性，求得函数的极值，即根据（1）得：a=0时，f（x）max=-1＜0，∴f（x）无零点当a＜0时，∀x＞0，ax-1＜0，又x2＞0可得解.x（0，1）1（1，+∞）16．（2022·全国甲卷）已知函数数ऀln൅．（1）若数ऀ，求a的取值范围；nݔ数ݔݔݔݔऀ（2）证明：若数ऀ有两个零点ݔ数ऀ数．ݔሻݔ则，，ݔ൅ऀሻ【答案】（1）解：由题意得，函数f(x)的定义域为，൅，所以数ऀ在数ݔ，൅ऀ单调递减ݔݔݔݔݔݔݔݔݔ൅ݔ数ሻऀ数即，ݔ൅ݔ൅ݔݔऀ，所以ln数ऀሻ；令f'(x)=0，得x=1，综上，ݔݔݔln数ऀሻ，所以ݔሻݔ当x∈（0，1），f'(x)<0，f(x)单调递减，【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用当x∈（1，+∞），f'(x)>0，f(x)单调递增，【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；若f(x)≥0，则e+1-a≥0，即a≤e+1，ݔݔݔ（2）由化归思想，将原问题转化要证明ln数ऀሻ恒成立问题，构造函数数ऀ所以a的取值范围为（-∞，e+1）ݔ（2）证明：由题知，数ऀ一个零点小于1，一个零点大于1，再利用导数研究函数的单调性与最值即可得证.不妨设ݔ数，ݔ数点在ऀ数线曲，൅ऀ数，ऀ数数函知已）卷甲国全·2022（．17ሻݔሻݔऀऀ处的切线也ݔ要证ݔ证即，ݔሻݔሻ是曲线数ऀ的切线．因为ݔݔ若）1（ऀݔ数ሻऀ数证即，ऀݔ，数ݔ，求a：ݔ，ݔ（2）求a的取值范围．ݔ因为数ݔऀ数ऀ，即证数ऀሻ数ऀ【答案】（1）解：由题意知，数ݔऀݔ数，ݔऀ数，ऀݔ数ݔऀݔ，则数ऀݔݔ即证ln൅lnሻ，数ݔ，൅ऀ在点数ݔ൅数为程方线切的处ऀ，ݔऀ，ݔݔݔ即证ln数ऀሻ即൅，设该切线与数ऀ切于点数，数ऀऀ，数ऀ，则数ऀ，解得ݔ，ݔݔݔ下面证明ሻݔऀݔ数则ሻऀ数ln，ሻ，时ݔ൅൅，解得；ݔ设数ऀ，ሻݔ数，ݔ数点在ऀ数则，ݔऀ数：解）2（，ݔऀऀ处的切线方程ݔ数得理整，ऀݔ数ऀݔ数ऀݔ数为ݔݔݔݔݔݔݔݔݔऀ，则数ऀ数ऀ数൅数ऀऀ数ݔݔݔݔऀݔ数ऀݔݔݔݔݔ设该切线与数ऀ切于点数，数ऀऀ，数ऀ，则数ऀ，则切线方程为数൅ऀ数ݔऀ数ऀ数ऀ数ऀ，整理得൅，ݔݔݔ设数ऀ数ሻݔऀ，数ऀ数ऀሻݔ则ݔݔݔ得理整，ݔ，ݔ数ऀ൅所以数ऀሻ数ݔݔݔݔݔ൅ݔሻ而，ऀݔ所以ݔ则，ݔऀ数令ݔሻ，所以数ऀሻ൅数ऀ数൅ݔऀ数ݔऀ，令数ऀሻ，解得ሻ所以数ऀ在数ݔሻ或ሻ增递调单ऀ൅，ݔ，令ݔሻሻ或ݔ，则变化时，ݔ数ऀሻ，解得ሻ数ऀ，数ऀ的变化情况如下表：即数ऀሻ数ݔऀ，所以ሻݔݔݔݔ数1ऀݔ，数0ऀ，数ऀ，数ݔݔ，൅ऀ令数ऀln数ऀ，ሻݔn数ऀ-0+0-0+3°若ሻݔ数ऀݔ-1①当数，൅ऀ，则数ऀሻ，所以数ऀ在数，൅ऀ上单调递增数ऀݔ数，ሻ൅ݔऀሻ则数ऀ的值域为ݔ为围范值取的故，ऀ൅，ݔ，൅ऀ.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用所以存在数，ݔऀ，使得数ऀ，即数ऀ【解析】【分析】（1）先由f(x)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函当数，ऀ，数ऀሻ，数ऀ单调递减数值求出a即可；当数，൅ऀ，数ऀሻ，数ऀ单调递增（2）设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a，构造函数，求所以导求出函数值域，即可求得a的取值范围.18．（2022·全国乙卷）已知函数数ऀln数ݔ൅ऀ൅.当数，ऀ，数ऀሻ数ऀ（1）当ݔ时，求曲线数ऀ在点数，数ऀऀ处的切线方程；当൅，数ऀ൅（2）若数ऀ在区间数ݔ，ऀ，数，൅ऀ各恰有一个零点，求a的取值范围．所以数ऀ在数，൅ऀ上有唯一零点【答案】（1）解：数ऀ的定义域为数ݔ，൅ऀ又数，ऀ没有零点，即数ऀ在数，൅ऀ上有唯一零点，数ऀ，所以切点为数，ऀݔݔ当ݔ数൅ऀ数，ऀ，ݔ数当②以所，ऀ数，൅൅ݔऀ数൅ऀ൅ݔ数nlऀ数，时ݔऀ切线斜率为2设数ऀ数ऀ所以曲线数ऀ在点数，数ऀऀ处的切线方程为数ऀሻ所以数ऀ在数ݔ，ऀ单调递增（2）解：数ऀln数ݔ൅ऀ൅ݔݔऀ数，ሻ൅ऀݔ数ऀݔ数൅ऀݔ数ݔሻ数ऀ൅ݔ数൅ݔ൅ऀ所以存在䁡数ݔ，ऀ，使得数䁡ऀ设数ऀ൅数ݔऀ当数ݔ，䁡ऀ，数ऀሻ，数ऀ单调递减1°若ሻ，当数ݔ数൅ऀ数，ऀ，ݔऀሻ，即数ऀሻ当数䁡，ऀ，数ऀሻ，数ऀ单调递增，数ऀሻ数ऀݔ൅ሻ所以数ऀ在数ݔ，ऀ上单调递增，数ऀሻ数ऀݔ又数ݔऀሻ故数ऀ在数ݔ，ऀ上没有零点，不合题意所以存在数ݔ，䁡ऀ，使得数ऀ，即数ऀ2°若ݔ，当数，൅ऀ，则数ऀሻ当数ݔ，ऀ，数ऀ单调递增，当数，ऀ，数ऀ单调递减所以数ऀ在数，൅ऀ上单调递增所以数ऀሻ数ऀݔ൅，即数ऀሻ有ݔ，数ऀ所以数ऀ在数，൅ऀ上单调递增，数ऀሻ数ऀ而数ऀ，所以当数，ऀ，数ऀሻ故数ऀ在数，൅ऀ上没有零点，不合题意n所以数ऀ在数ݔ，ऀ上有唯一零点，数，ऀ上无零点据直线的点斜式方程即可求切线方程；ݔݔ（2）由（1）知数ऀln数ݔ൅ऀ൅，利用放缩法可得ln数ݔ൅ऀ൅ሻlnݔ൅即数ऀ在数ݔ数൅ݔऀ൅ݔ数൅ݔ点零一唯有上ऀ，ݔ൅ऀݔ൅ሻ，即可判断数ऀ的单调性；所以ሻݔ数意题合符，ݔ൅ऀ所以若数ऀ在区间数ݔ，数为围范值取的求，点零个一有恰各ऀ൅，数，ऀ，ݔऀ（3）不妨设，由拉格朗日中值定理可得数൅ऀ数ऀ数ऀ，数ऀ数ऀ数ऀ，即数൅ऀ数൅ऀ【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点数ऀ数ऀ，数ऀ数ऀ数ऀ，由（2）的结论，得数ऀሻ数ऀ，即数൅ऀ数ऀሻ数ऀ数ऀ数ऀ，【解析】【分析】（1）先求切点，再求导计算斜率，最后根据直线的点斜式方程即可得切线方程；即可证明.（2）求导，对a分类讨论，对分数ݔ，ऀ，数，൅ऀ两部分研究.20．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数数ऀ和数ऀ䁡有相同的最小值.（1）求a；19．（2022·北京）已知函数数ऀ䁡数ݔ൅ऀ．（2）证明：存在直线，，其与两条曲线数ऀ和数ऀ共有三个不同的交点，并且从左到（Ⅰ）求曲线数ऀ在点数，数ऀऀ处的切线方程；右的三个交点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）设数ऀ数ऀ，讨论函数数ऀ在，൅ऀ上的单调性；【答案】（1）因为数ऀ，所以数ऀ，（III）证明：对任意的，数，൅ऀ，有数൅ऀሻ数ऀ൅数ऀ．若，则数ऀሻ恒成立，【答案】（Ⅰ）ݔऀ数ݔ，又数ऀ，所以数ऀ在数，൅ऀ上单调递增，无最小值，不满足；数ऀln数ݔ൅ऀ൅，则ݔ൅故所求切线方程为若ሻ，令f’（x）＞0⇒x＞lna，令f’（x）＜0⇒x＜lna，（Ⅱ）数ऀln数ݔ൅ऀ൅ݔ，所以数ऀmin数lnऀln，ݔ数൅ݔ൅ऀݔݔݔ൅因为数ऀln，定义域ሻ，所以数ऀ，又ሻ，ln数ݔ൅ऀ൅ሻlnݔ൅ሻݔ数ऀ൅ݔ数൅ݔ൅ऀ所以ݔݔ，数ऀሻሻ，数ऀሻሻሻ故数ऀሻ对，൅ऀ成立，数ऀ在，൅ऀ上单调递增ݔݔ（III）证明：不妨设，所以数ऀmin数ऀݔln，数൅ऀ数ऀݔݔ由拉格朗日中值定理可得：数ऀ依题有lnݔln，即ln，数൅ऀ൅ݔݔ൅ऀ数ݔሻ恒成立其中，൅，即数൅ऀ数ऀ数ऀ令数ऀln数ሻऀ，则൅ݔ൅数ݔऀ数ऀ数ऀ所以数ऀ在数，൅ऀ上单调递增，又因为数ݔऀ，数ऀ，其中数，ऀ，即数ऀ数ऀ数ऀݔ由数ऀ在，൅ऀ上单调递增，故数ऀሻ数ऀln有唯一解ݔ，൅ݔ∴数൅ऀ数ऀሻ数ऀ数ऀ数ऀ综上，ݔ∴数൅ऀሻ数ऀ൅数ऀ证毕（2）由(1)易知数ऀ在数，ऀ上单调递减，在数，൅ऀ上单调递增，数ऀ在数，ݔऀ上单调递减，【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明在数ݔ，൅ऀ上单调递增，【解析】【分析】（1）对函数数ऀ䁡数ݔ൅ऀ൅ݔ数nlऀ数得导求ऀ൅ݔ，分别计算数ऀ，数ऀ，根ݔ൅存在直线，其与两条曲线数ऀ和数ऀ共有三个不同的交点，nݔ设三个不同交点的横坐标分别为ݔ䁡∵，ሻሻݔ设妨不，，，ݔ，ऀ显然有ݔሻሻሻݔሻ，∴d≥0则肯定有数ݔ，洠上综，ऀ数ऀ数ऀ数ऀݔ注意数ऀ，数ऀ的结构，易知数lnऀ数ऀ，【知识点】极限及其运算；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列与不等式的综合所以有数lnऀ数ऀ，所以有数ݔ由而，ऀnl数ऀݔሻ，lnሻ，数ऀ在数，ऀ上单调递减，【解析】【分析】（1）根据等比数列的前n项和公式，结合极限求解即可；（2）根据等差数列的前n项和公式，结合不等式的解法求解即可.知ݔln，同理ln，所以ݔ൅ln൅，又由数ऀ数ऀln൅ln，故ݔ൅，所以存在直线，其与两条曲线数ऀ和数ऀ共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；等差数列【解析】【分析】（1）对a分，ሻ两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得数ऀminݔݔln，同理可得数ऀminݔ൅lnऀ数数函造构，式列意题据根，lnݔ，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，易得ݔሻሻሻݔሻ，同时根据数lnऀ数ऀ，可得ݔ证可算运数对由再，൅ln൅ݔ得而从，ln，lnݔ൅，结论得证.21．（2022·上海）已知数列䁡，ݔ，䁡的前n项和为䁡.（1）若䁡为等比数列，，求䁡lim䁡；（2）若䁡为等差数列，公差为d，对任意䁡，均满足䁡䁡，求d的取值范围.【答案】（1）设等比数列的公比为q，则由题意得a1=2，ݔ则ݔ䁡ݔݔ则䁡ݔݔ䁡ݔ则lim䁡limݔ䁡䁡䁡（2）由题意得䁡൅䁡ݔ洠䁡൅洠䁡䁡䁡则(3-2n)d≤1当n=1时，d≤1；ݔ当n≥2时，洠恒成立；䁡