2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式解析版

2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式所以maxൌݔൌ䁪.一、单选题故选：C，【分析】作出可行域，数形结合即可得解.1．（2022·浙江）若实数x，y满足约束条件㘮‴，则ൌ㘮ݔ‴的最大值是（）3．（2022·全国甲卷）设全集ൌ集，，，，，，集合ൌ集，，ൌ集ݔ㘮ൌ，‴，则ൌ（）A．20B．18C．13D．6【答案】BA．集，B．集，C．集，D．集，【知识点】简单线性规划【答案】D，【知识点】并集及其运算；补集及其运算；一元二次方程【解析】【解答】根据约束条件㘮‴，画出可行域，【解析】【解答】解：由题意得，ൌ集ݔ㘮ൌൌ，，所以A∪B={-1，1，2，3}，‴，所以ൌ，.故选：D【分析】先求解方程求出集合B，再由集合的并集、补集运算即可得解.4．（2022·全国甲卷）已知ൌ，ൌ，ൌ䁪，则（）A．൐൐B．൐൐C．൐൐D．൐൐【答案】A【知识点】指数函数单调性的应用；指数式与对数式的互化；换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点t【解析】【解答】解：由9m=10可得ൌlogൌ൐，t可知过点（，）时取到最大值18.而tt݃t㘮tൌt݃ൌt，故答案为：B所以t൐t，tt【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．即m>lg11，㘮‴，所以a=10m-11>10lg11-11=0．2．（2022·全国乙卷）若x，y满足约束条件㘮‴ݔ，则ൌ‴的最大值是（）‴，又t䁪t݃t䁪㘮tൌt䁪݃t，A．B．4C．8D．12所以t൐t，t䁪t【答案】C即log89>m，【知识点】简单线性规划所以ൌ䁪݃䁪log䁪ൌ．【解析】【解答】由题意作出可行域（阴影部分所示），目标函数ൌ‴转化为‴ൌ，综上，a>0>b．上下平移直线‴ൌ，可知当直线过点ݔ，时，直线截距最小，z最大，故选：An【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m>lg11，【答案】Dlog89>m，然后由指数函数的单调性即可解出．【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法5．（2022·新高考Ⅰ卷）设ൌͲͲ【解析】【解答】解：由题意得，ൌ集݃ͳ，ൌ集，ൌ，ൌ݊Ͳ，则（），则=集݃ͳ，A．݃݃B．݃݃C．݃݃D．݃݃故选：D【答案】C【分析】先由不等式的解法求得集合M，N，再根据交集的运算求得答案.【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小7．（2022·浙江学考）不等式ݔ݃的解集是（）【解析】【解答】解：令a=xex，ൌ，c=-ln(1-x)，A．，ݔ．Bݔ，则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，C．，ݔ，．Dݔ，㘮令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，【答案】A则‴̵ൌൌ݃，【知识点】一元二次不等式的解法所以y≤0，【解析】【解答】ݔ，为集解以所，ݔ݃݃得解，݃ݔ݃ݔ。所以lna≤lnb，故答案为：A所以b>a，a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，进而得出不等式ݔ݃的解集。令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，‴㘮组8．（2022·浙江学考）不等式组表示的平面区域是（）㘮㘮‴㘮݃‴̵ൌ㘮ൌ，令k(x)=㘮，所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，A．B．所以k(x)>k(0)>0，所以y'>0，所以a-c>0，所以a>c，综上可得，c<a<b，C．D．故选：C【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，【答案】B再运用作差法比较大小即可得解.【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域6．（2022·新高考Ⅰ卷）若集合ൌ集݃ݔ，ൌ集，则=（）【解析】【解答】画出直线‴㘮组ൌ，经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入，可得组A．集݃B．集݃成立，所以‴㘮组表示的区域为直线‴㘮组ൌ及直线右下方；画出直线㘮‴㘮ൌ，经C．集݃ͳD．集݃ͳn过二、三、四象限，对应图中的虚线，代入，可得݃不成立，所以㘮‴㘮݃表示的区域为直对于B，因为൐൐൐，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得㘮൐㘮，故B正确；对于C，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad<bc，故C错误；线㘮‴㘮ൌ及直线左下方，所以对应的平面区域为B.对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac<bd，故D错误.故答案为：B故答案为：B【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，从而找出不等式组表示的平面区域。二、多选题9．（2022·浙江学考）若log݃log㘮对任意，㘮恒成立，则的取值范围11．（2022·新高考Ⅱ卷）对任意x，y，㘮‴‴ൌ，则（）是（）A．㘮‴B．㘮‴C．㘮‴D．㘮‴【答案】B,CA．，㘮B．，C．，㘮D．，组组【知识点】基本不等式【答案】A【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】根据㘮㘮（，R），㘮‴‴ൌ可变形为，㘮‴ൌ‴【解析】【解答】由log݃log㘮，可得loglog݃log㘮，所㘮‴，解得㘮‴，当且仅当ൌ‴ൌ时，㘮‴ൌ，当且仅当ൌ‴ൌ时，㘮以log݃log㘮，因为函数‴ൌlog在，㘮上单调递增，所以݃㘮‴ൌ，所以A不符合题意，B符合题意；݃在，㘮上恒成立，令ൌ൐，则݃在，㘮上恒成立，令‴ൌ㘮‴‴ൌ可变形为㘮‴，解得㘮‴，当且仅当ൌ‴ൌ时取等㘮㘮㘮‴ൌ‴号，所以C符合题意；㘮ൌݔݔൌ‴则，ݔൌ，当且仅当ൌ，即ൌlog时，㘮㘮组㘮㘮组㘮组‴‴因为㘮‴‴ൌ变形可得㘮‴ൌ，设ൌcos，‴ൌsin，所以ൌcos㘮ݔ取等号，所以൐。sin，‴ൌsin，因此㘮‴ൌcos㘮组sin㘮sincosൌ㘮sincos㘮故答案为：Aݔൌ㘮sin，，所以当ൌ，‴ൌ时满足等式，但是㘮‴不成立，所以D不ͳ符合题意．【分析】由log݃log㘮，可得log݃log㘮，再利用函数‴ൌlog故答案为：BC在，㘮上单调递增，所以݃㘮㘮݃在，㘮上恒成立，令ൌ൐【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项．ൌ三、填空题，则㘮݃在，㘮上恒成立，令‴ൌ㘮㘮ݔ㘮组，再利用均值不等式求最值的方䁩12．（2022·全国甲卷）已知䁩中，点D在边BC上，ܦൌ，ܦൌ，䁩ܦൌܦ．当取得法得出‴ൌݔ的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数的取值范围。㘮㘮组最小值时，ܦൌ．10．（2022·上海）已知൐൐൐，下列选项中正确的是（）【答案】或㘮A．㘮൐㘮B．㘮൐㘮C．൐D．൐【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用【答案】B【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d<b+c，故A错误；n【分析】根据分式不等式的解法直接求解即可.四、解答题15．（2022·全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且㘮㘮ൌ，证明：（1）；（2）㘮㘮．㘮㘮㘮则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m，【答案】（1）证明：因为൐，൐，൐，则൐，൐，൐，在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m，所以㘮㘮，䁩ൌݔൌݔݔൌ㘮㘮ݔ㘮ݔൌݔݔ㘮ݔ，所以㘮ݔ㘮㘮ݔ㘮㘮㘮㘮即，所以，当且仅当ൌൌ，即ൌൌൌ时取等号．㘮㘮（2）证明：因为൐，൐，൐，当且仅当㘮ൌ即ൌ时，等号成立，㘮所以㘮，㘮，㘮，䁩所以当取最小值时，ൌ，即BD=.所以ൌ，ൌ，ൌ㘮㘮㘮故答案为：.㘮㘮䁩㘮㘮㘮㘮ൌൌ【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.㘮㘮㘮13．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线‴ൌ㘮有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.当且仅当ൌൌ时取等号．【答案】a＞0或a＜-4【知识点】基本不等式；不等式的证明【知识点】导数的几何意义；一元二次方程【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(xxx0，(x0+a)e0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)e0，（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，已知知݊16．（2022·新高考Ⅰ卷）记䁩的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ൌͲ㘮知݊㘮已知可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得㘮ൌ(※)，（1）若䁩ൌ，求B；2又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a+4a>0，得a<-4或a>0.㘮故答案为：a<-4或a>0.（2）求的最小值.【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程㘮ൌ有两不等实根，由cossinsincossin【答案】（1）因为ൌൌൌ，㘮sin㘮coscoscos△>0求解即可.所以coscosൌsin㘮sinsin，14．（2022·上海）不等式݃的解集为所以cos㘮ൌsin，【答案】，又因为cos㘮ൌsinsinൌcos䁩ൌcosൌ，【知识点】一元二次不等式的解法；其他不等式的解法䁩ൌ൐，所以݃，故ൌ.ͳ【解析】【解答】解：由题意得݃等价于x(x-1)<0，解得0<x<1，故所求解集为，.（2）因为sinൌcos䁩ൌsin䁩故答案为：，.n所以ൌ䁩所以sinൌsin㘮䁩ൌsin䁩ൌcos䁩由余弦定理ൌ㘮cos䁩㘮ൌ㘮cos䁩㘮㘮cos䁩cos䁩所以ൌൌ㘮sinsincos䁩ൌ㘮sin䁩sinsincos䁩ൌ㘮sin䁩cos䁩cos䁩则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；ൌ㘮sin䁩（2）设∠ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)，sin䁩sin䁩ൌ㘮组组组sin䁩则䁞ܦൌtan㘮组已ൌݔtan㘮tanൌ㘮sin䁩㘮sin䁩当且仅当tanൌtan，即tanൌ时，等号成立，㘮ൌݔ组即当ൌ组tanൌ组时，最大面积为ݔͲ组组组组ݔ当且仅当sin䁩ൌ，即sin䁩ൌ时取得等号，sin䁩【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义㘮综上，的最小值为ݔ组.【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.弦定理的应用18．（2022·上海）已知函数，甲变化：；乙变化：㘮，൐.【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得cos㘮ൌsin，再由诱导公式，结合（1）若ൌ，ൌ，经甲变化得到t，求方程tൌ的解；三角形的内角和性质，得sinൌ，可得B；（2）若ൌ，经乙变化得到，求不等式的解集；㘮（3）若在，上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到（2）由诱导公式求得ൌ䁩，sinൌcos䁩，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得ൌ㘮；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意൐，总存在sin䁩㘮，并利用基本不等式求最值即可.sin䁩ൌ成立，求证：在R上单调递增.17．（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D【答案】（1）由题意得g(x)=f(x)-f(x-1)=2x-2x-1=2x-1，作为保护区域，已知ൌm，ܦൌ组m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D则由g(x)=2得2x-1=2，解得x=2；相切.（2）由题意得h(x)=|2tx+t2|，如图所示（1）若∠ADEൌ，求EF的长；（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）【答案】（1）如图，作DH⊥EF，n㘮൐∴㘮൐对t>0都成立，൐则f(x)在R上单调递增.【知识点】函数单调性的判断与证明；有理数指数幂的化简求值；一元二次不等式的解法；绝对值不等式【解析】【分析】(1)根据函数的新定义，结合对数方程的解法求解即可；(2)根据函数的新定义，运用数形结合思想，结合不等式的解法求解即可；(3)根据函数的新定义，结合函数的单调性，以及绝对值不等式的性质求解即可.①当时，h(x)≤f(x)恒成立；②当൐时，h(x)=2tx+t2，则由h(x)≤f(x)得2tx+t2≤x2，解得或㘮，综上可得或㘮，故解集为：，㘮，㘮（3）由题意得h1(x)=|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|，h2(x)=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|，∵x∈R时，h1(x)=h2(x)恒成立∴|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|……①∵t>0且在，上单调递增∴x-t<x<0则根据|a-b|≥|a|-|b|(当且仅当ab≥0且|a|≥|b|时等号成立)得f(x-t)<f(x)∴f(x)-f(x-t)>0㘮则由①得㘮ൌ൐∴f(x+t)-f(x)>0即f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)>0