2022年高考数学真题分类汇编专题09：解三角形解析版

2022年高考数学真题分类汇编专题09：解三角形一、填空题1．（2022·浙江）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S=14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a=2，b=3，c=2，则该三角形的面积S=　　．【答案】234【知识点】秦九韶算法；三角形中的几何计算【解析】【解答】解法一：三角形的三边a=2，b=3，c=2代入公式得S=14[8−(4+2−32)2]=234解法二：三角形的三边a=2，b=3，c=2，代入余弦定理得cosA=543，则sinA=2343，则面积S=12bcsinA=234.【分析】直接由秦九韶计算可得面积．2．（2022·全国甲卷）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD=　　．【答案】3−1或−1+3【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，则在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m，在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m，所以AC2AB2=4m2+4-4mm2+4+2m=4m2+4+2m-121+mm2+4+2m=4-12m+1+3m+1≥4-122m+1×3m+1=4-23，当且仅当m+1=3m+1即m=3-1时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，m=3-1，即BD=3−1.故答案为：3−1.【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出AC2AB2后，结合基本不等式即可得解.3．（2022·浙江学考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，则b=　　.【答案】6【知识点】正弦定理【解析】【解答】因为a=2，A=45°，B=60°，asinA=bsinB，所以b=a⋅sinBsinA=2×3222=6.故答案为：6。【分析】利用已知条件结合正弦定理，进而得出b的值。4．（2022·上海）在△ABC中，∠A=π3，AB=2，AC=3，则△ABC的外接圆半径为　　【答案】213【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用【解析】【解答】解：设AB=c，AC=b，BC=a，则c=2，b=3，则由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得a2=22+32-2×2×3×cosπ3=7∴a=7则由正弦定理得2R=asinA=732=2213，则R=213故答案为：213【分析】根据余弦定理与正弦定理求解即可.二、解答题5．（2022·浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=5c，cosC=35．（Ⅰ）求sinA的值；n（Ⅱ）若b=11，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）由于cosC=35，sinC>0，则sinC=45.由正弦定理可知4sinA=5sinC，则sinA=55.（Ⅱ）因为sinC=45>sinA=55，则A<C<π2.故b=acosC+ccosA=35a+255c=115a=11，则a=5，△ABC的面积S=12absinC=22.【知识点】正弦定理；余弦定理【解析】【分析】（Ⅰ）由cosC=35，易知sinC>0，再根据同角三角函数基本关系求出sinC，最后由正弦定理可求得sinA；（Ⅱ）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可．6．（2022·新高考Ⅱ卷）记△ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1−S2+S3=32，sinB=13．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC=23，求b．【答案】（1）解：∵边长为a的正三角形的面积为34a2，∴S1−S2+S3=34(a2−b2+c2)=32，即accosB=1，由sinB=13得：cosB=223，∴ac=1cosB=324故S△ABC=12acsinB=12×324×13=28.（2）解：由正弦定理得：b2sin2B=asinA⋅csinC=acsinAsinC=32423=94，故b=32sinB=12.【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用【解析】【分析】（1）先表示出S1，S2，S3，再由S1−S2+S3=32求得(a2−b2+c2)=2，结合余弦定理及平方关系求得ac，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得b2sin2B=acsinAsinC，即可求解.7．（2022·全国乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）若A=2B，求C；（2）证明：2a2=b2+c2.【答案】（1）解：∵sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)且A=2B∴sinCsinB=sinBsin(C−A)∵sinB＞0∴sinC=sin(C−A)∴C=C-A（舍）或C+（C-A）=π即：2C-A=π又∵A+B+C=π，A=2B∴C=5π8（2）证明：由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，12(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．8．（2022·全国乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）证明：2a2=b2+c2；（2）若a=5，cosA=2531，求△ABC的周长．【答案】（1）证明：因为sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，所以sinCsinAcosB−sinCsinBcosA=sinBsinCcosA−sinBsinAcosC，所以ac⋅a2+c2−b22ac−2bc⋅b2+c2−a22bc=−ab⋅a2+b2−c22ab，n即a2+c2−b22−(b2+c2−a2)=−a2+b2−c22，所以2a2=b2+c2；（2）解：因为a=5，cosA=2531，由（1）得b2+c2=50，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，则50−5031bc=25，所以bc=312，故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81，所以b+c=9，所以△ABC的周长为a+b+c=14.【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得b+c，即可得解.9．（2022·北京）在△ABC中，sin2C=3sinC．（I）求∠C：（II）若b=6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长．【答案】（I）sin2C=3sinC，根据正弦的二倍角公式可得2sinCcosC=3sinC，可得cosC=32，所以∠C=π6；（II）∵SΔABC=63，∴12absinC=63，a=43，由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，得c=23，所以△ABC周长为63+6.【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用【解析】【分析】（1）根据正弦的二倍角公式化简求值即可；（2）根据三角形面积公式求得a=43，再由余弦定理求得c=23，即可得△ABC周长.10．（2022·新高考Ⅰ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.（1）若C=2π3，求B；（2）求a2+b2c2的最小值.【答案】（1）因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，所以cosAcosB=sinB+sinAsinB，所以cos(A+B)=sinB，又因为cos(A+B)=sinB⇒sinB=cos(π−C)=cosπ3=12，C=2π3>π2，所以B<π2，故B=π6.（2）因为sinB=cos(π−C)=sin(C−π2)所以B=C−π2所以sinA=sin(B+C)=sin(2C−π2)=−cos2C由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC⇒a2+b2=c2+2abcosC所以a2+b2c2=c2+2abcosCc2=1+2abcosCc2=1+2sinAsinBcosCsin2C=1+2sinAsinBcosCsin2C=1+2cos2Ccos2Csin2C=1+2(1−2sin2C)(1−sin2C)sin2C=1+2(2sin2C+1sin2C−3)≥1+2(22−3)=42−5当且仅当2sin2C=1sin2C，即sin2C=22时取得等号，综上，a2+b2c2的最小值为42−5.【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得cos(A+B)=sinB，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得sinB=12，可得B；（2）由诱导公式求得B=C−π2，sinA=−cos2C，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得a2+b2c2=1+2(2sin2C+1sin2C−3)，并利用基本不等式求最值即可.