2022年高考数学真题分类汇编专题12：统计与概率解析版

2022年高考数学真题分类汇编专题12：统计与概率一、单选题1．（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（　　）A．12种B．24种C．36种D．48种【答案】B【知识点】排列、组合的实际应用【解析】【解答】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式.故答案为：B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解.2．（2022·全国乙卷）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（　　）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C【知识点】茎叶图；众数、中位数、平均数【解析】【解答】对于A：甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，故A正确；对于B：乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625>8，故B正确；对于C：甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375<0.4，故C错误；对于D：乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316=0.8125>0.6，故D正确.故选：C【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案即可.3．（2022·全国甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（　　）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】解：对于A，讲座前中位数为70%+75%2>70%，所以A错；对于B，讲座后问卷答题的正确率只有1个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，所以B对；对于C，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%，所以D错.故选：B.【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.4．（2022·全国甲卷）n从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（　　）A．15B．13C．25D．23【答案】C【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：从6张卡片中无放回抽取2张，共有如下15种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，其中数字之积为4的倍数的有其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种情况，故概率为615=25.故选：C.【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.5．（2022·全国乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（　　）A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【知识点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p甲则p甲=2(1−p2)p1p3+2p2p1(1−p3)=2p1(p2+p3)−4p1p2p3记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙则p乙=2(1−p1)p2p3+2p1p2(1−p3)=2p2(p1+p3)−4p1p2p3记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙则p丙=2(1−p1)p3p2+2p1p3(1−p2)=2p3(p1+p2)−4p1p2p3则p甲−p乙=2p1(p2+p3)−4p1p2p3−[2p2(p1+p3)−4p1p2p3]=2(p1−p2)p3<0p乙−p丙=2p2(p1+p3)−4p1p2p3−[2p3(p1+p2)−4p1p2p3]=2(p2−p3)p1<0即p甲<p乙，p乙<p丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p丙.并对三者进行比较即可解决.6．（2022·北京）若(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=（　　）A．40B．41C．-40D．-41【答案】B【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】当x=1时，a0+a1+a2+a3+a4=1，当x=-1时，a0-a1+a2-a3+a4=81，两式相加得a0+a2+a4=41.故答案为：B【分析】令x=1和x=-1，所得两式相加即可求解.7．（2022·新高考Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（　　）A．16B．13C．12D．23【答案】D【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为P=1−721=23.故选：D【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.二、填空题8．（2022·浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)=　　，E(ξ)=　　．【答案】1635；127【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差n【解析】【解答】根据题意可得：ξ的取值可为1，2，3，4，又P（ξ=1）=C62C73=37，P（ξ=2）=C21C42+C22C41C73=1635，P（ξ=3）=C32C73=335，P（ξ=4）=C22C73=335，∴E（ξ）=1×37+2×1635+3×335+4×135＝127，故答案为：1635；127【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的数学期望定义即可求解．9．（2022·浙江）已知多项式(x+2)(x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2=　　，a1+a2+a3+a4+a5=　　．【答案】8；-2【知识点】二项式定理【解析】【解答】（x+2）（x﹣1)4＝x(x-1)4+2(x-1)4，∴a2＝C43(-1)3+2C42(-1)2=8；令x＝0，则a0＝2，令x＝1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5＝0，∴a1+a2+a3+a4+a5＝-2．故答案为：8，﹣2．【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以（x﹣1)4展开式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（x﹣1)4展开式中的二次项系数之和；分别给x辅助令x＝0，x＝1，即可求得a1+a2+a3+a4+a5的值．10．（2022·新高考Ⅱ卷）已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)=0.36，则P(X>2.5)=　　．【答案】0.14【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】因为X∼N(2，σ2)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5，因此P(X>2.5)=P(X>2)−P(2<X≤2.5)=0.5−0.36=0.14．故答案为：0.14【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解．11．（2022·全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为　　．【答案】635【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：从正方体的8个顶点中任取4个，有个结果n=C84=70，这个点在同一个平面的有m=6+6=12个，故所求概率P=mn=1275=635．故答案为：635．【分析】直接根据古典概型的概率公式即可求出．12．（2022·全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为　　．【答案】310【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】从5名同学中随机选3名的方法数为C53=10甲、乙都入选的方法数为C31=3，所以甲、乙都入选的概率P=310.故答案为：310【分析】根据古典概型计算即可.13．（2022·新高考Ⅰ卷）(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　(用数字作答).【答案】-28【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为Tr+1=C8rx8-ryrr=0，1，2，……，8，①当8-r=2，即r=6时，展开式中x2y6项为1×C86x2y6=28x2y6，②当8-r=3，即r=5时，展开式中x2y6项为-yx×C85x3y5=-56x2y6，则展开式中x2y6项为-28x2y6，故答案为：-28【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.14．（2022·上海）在(x3+1x)12的展开式中，含1x4项的系数为　　n【答案】66【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】解：由题意得(x3+1x)12的通项公式为Tr+1=C12rx312-rx-1r=C12rx36-4r(0≤r≤12，r∈N)令36-4r=-4，得r=10，则T11=C1210x-4=66x-4，则1x4项的系数为66.故答案为：66【分析】根据二项式定理直接求解即可.15．（2022·上海）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为　　【答案】17【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；计数原理的应用；排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：由题意知符合要求的四位数分成三类，①千位数为3或4的四位数，共有C21A33=12个；②千位数为2且百位数是3或4的四位数，共有C21A22=4个；③千位数为2且百位数是1的四位数，只有一个数：2143.根据分类加法计数原理得所求四位数的个数为12+4+1=17故答案为：17【分析】根据分类加法计数原理与根据分步加法计数原理，结合排列组合求解即可.三、解答题16．（2022·新高考Ⅱ卷）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20，70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40，50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）【答案】（1）解：平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9（岁）（2）解：设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20，70）}，则P(A)=1−P(A)=1−(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1−0.11=0.89（3）设B={任选一人年龄位于区间[40，50)}，C={任选一人患这种族病}，则由条件概率公式，得P(C∣B)=P(BC)P(B)=0.1%×0.023×1016%=0.001×0.230.16=0.0014375≈0.0014【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20，70）}，根据对立事件的概率公式P(A)=1−P(A)即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．17．（2022·全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【答案】（1）解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.（2）解：依题可知，X的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16，P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44，P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.即X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；n（2）依题可知，X的可能取值为0，10，20，30，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．18．（2022·全国甲卷）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：　准点班次数未准点班次数A24020B21030附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，P(K2⩾k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？【答案】（1）解：由表中数据可知，A共有班次240+20=260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则P(M)=240260=1213；则A家公司长途客车准点的概率为1213；B共有班次210+30=240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则P(N)=210240=78.B家公司长途客车准点的概率为78.（2）解：列联表　准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=500×(240×30−210×20)2260×240×450×50≈3.205>2.706，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算K2，再利用临界值表比较即可得结论.19．（2022·全国乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得i=110xi2=0.038，i=110yi2=1.6158，i=110xiyi=0.2474．附：相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2，1.896≈1.377．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．【答案】（1）解：样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x=0.610=0.06样本中10棵这种树木的材积量的平均值y=3.910=0.39据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2，平均一棵的材积量为0.39m3（2）解：r=i=110(xi−x)(yi−y)i=110(xi−x)2i=110(yi−y)2=i=110xiyi−10xy(i=110xi2−10x2)(i=110yi2−10y2)=0.2474−10×0.06×0.39(0.038−10×0.062)(1.6158−10×0.392)=0.01340.0001896≈0.01340.01377≈0.97则r≈0.97（3）解：设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.060.39=186Y，解之得Y=1209m3．则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3n【知识点】众数、中位数、平均数；相关系数【解析】【分析】（1）计算出样本中10棵这种树木根部横截面积的平均值及10棵这种树木材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）根据相关系数公式计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．20．（2022·北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】（I）由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A：比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有：9.80，9.70，9.55，9.54四个，所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P（A）=0.4；（II）X所有可能取值为0，1，2，3甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P（A）=0.4乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B，则P（B）=0.5丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则P（C）=0.5P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4P(X=2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1X0123P0.150.40.350.1E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4（III）甲的平均数：(9.80+9.70+9.55+9.54+9.48+9.42+9.40+9.35+9.30+9.25)×0.1=9.479乙的平均数：(9.78+9.56+9.51+9.36+9.32+9.23)÷6=9.457丙的平均数：(9.85+9.65+9.20+9.16)×0.25=9.465甲的方差：S2=[(9.8-9.479)2+⋯+(9.25-9.479)2]÷10=0.172乙的方差：S2=[(9.78-9.457)2+⋯+(9.23-9.457)2]÷6=0.0329丙的方差：S2=[(9.85-9.465)2+⋯+(9.16-9.465)2]÷4=0.086在校运动会铅球比赛中，乙获得冠军的概率估计值最大.【知识点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式计算即可；（2）由题意X的可能取值为0，1，2，3，先分别求得甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率，再分别求取X取值的相应概率，由此得分布列和数学期望；（3）根据甲、乙、丙的比赛成绩的平均值和方差即可判断.21．（2022·新高考Ⅰ卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：　不够良好良好病例组4060对照组1090附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.0500.0100.001K3.8416.63510.828（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B∣A)P(B∣A)与P(B∣A)P(B∣A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明：R=P(A∣B)P(A∣B)⋅P(A∣B)P(A∣B)；(ii)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A∣B)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.【答案】（1）K2=200×(40×90−10×60)2100×100×50×150=24>6.625所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.n（2）用局部估计总体(i)R=P(B∣A)P(B∣A)÷P(B∣A)P(B∣A)=P(B∣A)⋅P(B∣A)P(B∣A)⋅P(B∣A)=P(AB)P(A)⋅P(BA)P(A)P(BA)P(A)⋅P(BA)P(A)=P(AB)⋅P(BA)P(BA)⋅P(BA)=P(AB)P(B)⋅P(BA)P(B)P(BA)P(B)⋅P(BA)P(B)=P(A∣B)⋅P(A∣B)P(A∣B)⋅P(A∣B)(ii)P(A∣B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=40100， P(A∣B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=90100P(A∣B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=60100， P(A∣B)=P(AB)P(B)=n(AB)n(B)=10100R=40×9060×10=6故R的估计值为6【知识点】独立性检验的应用；条件概率与独立事件【解析】【分析】（1）代入数据，求得K2，再对出表格，即可得结论；（2）(ⅰ)根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；(ⅱ)由条件概率的计算公式分别求得P(A∣B)，P(A∣B)，P(A∣B)， P(A∣B)，再代入R，求解即可.