2022年高考数学真题分类汇编专题13：极坐标与参数方程，不等式选讲解析版

2022年高考数学真题分类汇编专题13：极坐标与参数方程，不等式选讲一、单选题1．（2022·浙江）已知a，b∈R，若对任意x∈R，a|x−b|+|x−4|−|2x−5|≥0，则（　　）A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥1，b≥3D．a≥1，b≤3【答案】D【知识点】绝对值不等式【解析】【解答】解：取x＝4，则不等式为a|4﹣b|﹣3≥0，显然a≠0，且b≠4，观察选项可知，只有选项D符合题意．故答案为：D【分析】绝对值不等式的解法：取特值，结合选项直接得出答案．二、解答题2．（2022·全国甲卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+t6y=t（t为参数），曲线C2的参数方程为x=−2+s6y=−s（s为参数）．（1）写出C1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．【答案】（1）解：因为x=2+t6，y=t，所以x=2+y26，即C1普通方程为y2=6x−2(y≥0)．（2）解：因为x=−2+s6，y=−s，所以6x=−2−y2，即C2的普通方程为y2=−6x−2(y≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C3的普通方程为2x−y=0．联立y2=6x−2(y≥0)2x−y=0，解得：x=12y=1或x=1y=2，即交点坐标为(12，1)，(1，2)；联立y2=−6x−2(y≤0)2x−y=0，解得：x=−12y=−1或x=−1y=−2，即交点坐标(−12，−1)，(−1，−2)．【知识点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程【解析】【分析】(1)消去参数t，即可得到C1的普通方程；(2)将曲线C2，C3的方程化成普通方程，联立求解即解出．3．（2022·全国乙卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cos2t，y=2sint（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π3)+m=0．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．【答案】（1）解：因l：ρsin(θ+π3)+m=0，所以12ρ⋅sinθ+32ρ⋅cosθ+m=0，又因为ρ⋅sinθ=y，ρ⋅cosθ=x，所以化简为12y+32x+m=0，整理得l的直角坐标方程：3x+y+2m=0（2）解：联立l与C的方程，即将x=3cos2t，y=2sint代入3x+y+2m=0中，可得3cos2t+2sint+2m=0，所以3(1−2sin2t)+2sint+2m=0，化简为−6sin2t+2sint+3+2m=0，要使l与C有公共点，则2m=6sin2t−2sint−3有解，令sint=a，则a∈[−1，1]，令f(a)=6a2−2a−3，(−1≤a≤1)，对称轴为a=16，开口向上，所以f(a)max=f(−1)=6+2−3=5，f(a)min=f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m≤5m的取值范围为−1912≤m≤52.【知识点】二次函数的性质；简单曲线的极坐标方程；参数的意义【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式转化即可；（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新元a的取值范围求解m的范围即可.4．（2022·全国甲卷）已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b=2c，则1a+1c≥3．【答案】（1）证明：由柯西不等式有[a2+b2+(2c)2](12+12+12)≥(a+b+2c)2，所以a+b+2c≤3，当且仅当a=b=2c=1时，取等号，所以a+b+2c≤3（2）证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，即0<a+4c≤3，所以1a+4c≥13，n由权方和不等式知1a+1c=12a+224c≥(1+2)2a+4c=9a+4c≥3，当且仅当1a=24c，即a=1，c=12时取等号，所以1a+1c≥3.【知识点】一般形式的柯西不等式【解析】【分析】（1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得0<a+4c≤3，即可得到1a+4c≥13，再根据权方和不等式即可得证.5．（2022·全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：（1）abc≤19；（2）ab+c+ba+c+ca+b≤12abc．【答案】（1）证明：因为a>0，b>0，c>0，则a32>0，b32>0，c32>0，所以a32+b32+c323≥3a32⋅b32⋅c32，即(abc)12≤13，所以abc≤19，当且仅当a32=b32=c32，即a=b=c=319时取等号．（2）证明：因为a>0，b>0，c>0，所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，a+b≥2ab，所以ab+c≤a2bc=a322abc，ba+c≤b2ac=b322abc，ca+b≤c2ab=c322abcab+c+ba+c+ca+b≤a322abc+b322abc+c322abc=a32+b32+c322abc=12abc当且仅当a=b=c时取等号．【知识点】基本不等式；不等式的证明【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．