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2022年高考文数真题试卷(全国甲卷)(附答案)
2022年高考文数真题试卷(全国甲卷)(附答案)
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2022年高考文数真题试卷(全国甲卷)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合,则( )A.B.C.D.2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:则( )A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.若.则( )A.B.C.D.4.如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为( )A.8B.12C.16D.20n5.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则的最小值是( )A.B.C.D.6.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )A.B.C.D.7.函数在区间的图像大致为( )A.B.C.D.8.当时,函数取得最大值,则( )A.-1B.C.D.19.在长方体中,已知与平面和平面所成的角均为,则( )A.B.AB与平面所成的角为C.D.与平面所成的角为10.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为,侧面积分别为和n,体积分别为和.若,则( )A.B.C.D.11.已知椭圆的离心率为,分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若,则C的方程为( )A.B.C.D.12.已知,则( )A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量.若,则 .14.设点M在直线上,点和均在上,则的方程为 .15.记双曲线的离心率为e,写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 .16.已知中,点D在边BC上,.当取得最小值时, .三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。17.甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:准点班次数未准点班次数A24020B21030附:,n0.1000.0500.0102.7063.8416.635(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?18.记为数列的前n项和.已知.(1)证明:是等差数列;(2)若成等比数列,求的最小值.19.小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面是边长为8(单位:cm)的正方形,均为正三角形,且它们所在的平面都与平面垂直.(1)证明:平面;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).20.已知函数,曲线在点处的切线也是曲线的切线.(1)若,求a:(2)求a的取值范围.21.设抛物线的焦点为F,点,过的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,.(1)求C的方程:(2)设直线与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为.当取得最大值时,求直线AB的方程.四、选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(t为参数),曲线的参数方n程为(s为参数).(1)写出的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,求与交点的直角坐标,及与交点的直角坐标.23.已知a,b,c均为正数,且,证明:(1);(2)若,则.答案解析部分1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】B12.【答案】A13.【答案】或-0.7514.【答案】15.【答案】2(满足皆可)16.【答案】或17.【答案】(1)解:由表中数据可知,A共有班次240+20=260次,准点班次有240次,设A家公司长途客车准点事件为M,n则;则A家公司长途客车准点的概率为;B共有班次210+30=240次,准点班次有210次,设B家公司长途客车准点事件为N,则.B家公司长途客车准点的概率为.(2)解:列联表准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500=,根据临界值表可知,有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18.【答案】(1)已知,即①,当时,②,①-②得,,即,即,所以,且,所以是以1为公差的等差数列.(2)由(1)中可得,,,,又,,成等比数列,所以,即,解得,所以,所以,所以,当或时.n19.【答案】(1)证明:分别取的中点,连接,因为为全等的正三角形,所以,,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,同理可得平面,根据线面垂直的性质定理可知,而,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)解:分别取中点,由(1)知,且,同理有,,,,由平面知识可知,,,,所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍.因为,,点到平面的距离即为点到直线的距离,,所以该几何体的体积.20.【答案】(1)解:由题意知,,,,则在点处的切线方程为,即,设该切线与切于点,,则,解得,则,解得;(2)解:,则在点处的切线方程为,整理得,设该切线与切于点,,则,则切线方程为,整理得,则,整理得,令,则,令,解得或,n令,解得或,则变化时,的变化情况如下表:01-0+0-0+-1则的值域为,故的取值范围为.21.【答案】(1)解:抛物线的准线为,当与x轴垂直时,点M的横坐标为p,此时,所以,所以抛物线C的方程为;(2)解:设,直线,由可得,,由斜率公式可得,,直线,代入抛物线方程可得,,所以,同理可得,所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,所以,若要使最大,则,设,则,n当且仅当即时,等号成立,所以当最大时,,设直线,代入抛物线方程可得,,所以,所以直线.22.【答案】(1)解:因为,,所以,即普通方程为.(2)解:因为,所以,即的普通方程为,由,即的普通方程为.联立,解得:或,即交点坐标为,;联立,解得:或,即交点坐标,.23.【答案】(1)证明:由柯西不等式有,所以,当且仅当时,取等号,所以(2)证明:因为,,,,由(1)得,即,所以,由权方和不等式知,n当且仅当,即,时取等号,所以.
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