2022年高考文数真题试卷（全国甲卷）及答案

2022年高考文数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，则（　　）A．B．C．D．2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（　　）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．若．则（　　）A．B．C．D．4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（　　）A．8B．12C．16D．20n5．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（　　）A．B．C．D．6．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（　　）A．B．C．D．7．函数在区间的图像大致为（　　）A．B．C．D．8．当时，函数取得最大值，则（　　）A．-1B．C．D．19．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（　　）A．B．AB与平面所成的角为C．D．与平面所成的角为10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和n，体积分别为和．若，则（　　）A．B．C．D．11．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（　　）A．B．C．D．12．已知，则（　　）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量．若，则　　．14．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为　　．15．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值　　．16．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，　　．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：　准点班次数未准点班次数A24020B21030附：，n0.1000.0500.0102.7063.8416.635（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？18．记为数列的前n项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值．19．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：cm）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．（1）证明：平面；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．（1）若，求a：（2）求a的取值范围．21．设抛物线的焦点为F，点，过的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．（1）求C的方程：（2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线n的参数方程为（s为参数）．（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．23．已知a，b，c均为正数，且，证明：（1）；（2）若，则．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】A13．【答案】或-0.7514．【答案】15．【答案】2（满足皆可）16．【答案】或17．【答案】（1）解：由表中数据可知，A共有班次240+20=260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，n则；则A家公司长途客车准点的概率为；B共有班次210+30=240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则.B家公司长途客车准点的概率为.（2）解：列联表　准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500=，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18．【答案】（1）已知，即①，当时，②，①-②得，，即，即，所以，且，所以是以1为公差的等差数列．（2）由（1）中可得，，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．n19．【答案】（1）证明：分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积．20．【答案】（1）解：由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；（2）解：，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，n令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：01-0+0-0+-1则的值域为，故的取值范围为.21．【答案】（1）解：抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；（2）解：设，直线，由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，n当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.22．【答案】（1）解：因为，，所以，即普通方程为．（2）解：因为，所以，即的普通方程为，由，即的普通方程为．联立，解得：或，即交点坐标为，；联立，解得：或，即交点坐标，．23．【答案】（1）证明：由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以（2）证明：因为，，，，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，n当且仅当，即，时取等号，所以.