高考数学三轮复习必做的数列综合题

‎2011高考数学三轮复习必做的数列综合题 <br />‎1.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.‎ <br />‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ <br />‎(Ⅱ)设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有 2；‎ <br />‎(Ⅲ) 正数数列中，.求数列中的最大项. ‎ <br />‎（Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立 <br />‎∴ （n ≥ 2）② ‎ <br />‎①--②得 <br />‎∴‎ <br />‎ 均为正数，∴ （n ≥ 2） ‎ <br />‎∴数列是公差为1的等差数列 ‎ <br />又n=1时，， 解得=1‎ <br />‎∴.() ‎ <br />‎（Ⅱ）证明： 对任意实数和任意正整数n，总有≤. ‎ <br />‎∴‎ <br />‎ ‎ <br />‎(Ⅲ)解：由已知 ， ‎ <br />‎ ‎ <br />‎ 易得　‎ <br />‎ 猜想 n≥2 时，是递减数列. ‎ <br />令 <br /> <br />‎ 当 <br />‎∴在内为单调递减函数.‎ <br />由.‎ <br />‎∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.‎ <br />又 , ∴数列中的最大项为. ‎ <br /> <br />‎2．设f1(x)=，定义fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =（n∈N*）.‎ <br />‎(1) 求数列｛an｝的通项公式；‎ <br />‎(2) 若，Qn=（n∈N*），试比较9T2n与 <br />Qn的大小，并说明理由.‎ <br />解：（1） f1(0)=2，a1==，fn+1(0)= f1［fn(0)］=, ‎ <br />‎∴an+1==== -= -an. ‎ <br />‎∴数列｛an｝是首项为,公比为-的等比数列，∴an=()n-1. ‎ <br />‎（2） T2 n = a1+2a 2+3a 3+&hellip;+(2n-1)a 2 n-1+2na 2 n，‎ <br />‎∴T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+&hellip;+(-)(2n-1)a2 n－1+2na2 n <br />‎= a 2+2a 3+&hellip;+(2n－1)a2 n－na2 n.‎ <br />两式相减，得T2 n= a1+a2+a 3+&hellip;+a2 n+na2 n. ‎ <br />‎∴T2n =+n×(-)2n-1=-(-)2n+(-)2n-1.‎ <br />T2n =-(-)2n+(-)2n-1=(1-). ‎ <br />‎∴9T2n=1-.‎ <br />又Qn=1-， ‎ <br />当n=1时，22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n＜Q n； ‎ <br /> <br />当n=2时，22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n＜Qn； ‎ <br />当n≥3时，，‎ <br />‎∴9T2 n＞Q n. ‎ <br /> <br />‎3． 设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n∈N*).‎ <br />‎ （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；‎ <br />‎ （2）设bn=2nf(n)，Sn为{bn}的前n项和，求Sn；‎ <br />‎ （3）记，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值 <br />范围.‎ <br />‎（1）f(1)=3‎ <br />‎ f(2)=6‎ <br />‎ 当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个 <br />‎ ∴f(n)=3n <br />‎ （2）由题意知:bn=3n&middot;2n <br />‎ Sn=3&middot;21+6&middot;22+9&middot;23+&hellip;+3(n－1)&middot;2n－1+3n&middot;2n <br />‎ ∴2Sn=3&middot;22+6&middot;23+&hellip;+3(n－1)&middot;2n+3n&middot;2n+1‎ <br />‎∴－Sn=3&middot;21+3&middot;22+3&middot;23+&hellip;3&middot;2n－3n&middot;2n+1‎ <br />‎ =3（2+22+&hellip;+2n）－3n&middot;2n+1‎ <br />‎ =3&middot;‎ <br />‎ =3(2n+1－2)－3nn+1‎ <br />‎∴－Sn=(3－3n)2n+1－6‎ <br />Sn=6+(3n－3)2n+1‎ <br />‎ （3）‎ <br /> <br />‎ ‎ <br />‎ ∴T1&lt;T2=T3&gt;T4&gt;&hellip;&gt;Tn <br />‎ 故Tn的最大值是T2=T3=‎ <br />‎ ∴m≥。‎ <br /> <br />‎4．已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，&middot;.‎ <br />‎（1）求数列的前项和；‎ <br />‎（2）若对一切都有，求的取值范围.‎ <br />解：（1） ，∴‎ <br />当时，.‎ <br />当≥2时，=，∴ ‎ <br />此时&middot;&middot;=&middot;，‎ <br />‎∴&hellip;&hellip;=&hellip;&hellip;+‎ <br />设&hellip;&hellip;+，‎ <br />‎∴&hellip;&hellip;，‎ <br />‎∴‎ <br />‎∴&middot;　　&hellip;&hellip;6分 <br />‎（2）由可得 <br /> <br />‎①当时，由，可得 <br />‎ ∴对一切都成立，‎ <br />‎∴此时的解为.　‎ <br />‎②当时，由 可得 <br />‎≥∴对一切都成立，‎ <br />‎∴此时的解为.‎ <br />由①，②可知 <br />对一切，都有的的取值范围是或.　&hellip;&hellip;14分 <br />‎5、已知函数（）。‎ <br />‎（Ⅰ）若且，则称为的实不动点，求的实不动点；‎ <br />‎（II）在数列中，，（），求数列的通项公式。‎ <br />解：（Ⅰ）由及得 <br />或（舍去），‎ <br />所以或，即的实不动点为或；‎ <br />‎（II）由条件得，从而有 <br />‎，‎ <br />由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有 <br />‎（）。‎ <br />‎6、已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为．‎ <br />‎⑴求证：点的...