高考第二轮复习理数专题二十三 不等式选讲

2017 年高考第二轮复习： <br />（理数）专题二十三 不等式选讲 <br />1．(2015&middot;山东，5，易)不等式|x－1|－|x－5|&lt;2 的解集是(　　) <br />A．(－∞，4) B．(－∞，1) C．(1，4) D．(1，5) <br />1．A　由|x－1|－|x－5|&lt;2 <br />⇒{x &lt; 1， <br />－（x－1）＋（x－5） &lt; 2 <br />或{1 ≤ x &lt; 5， <br />x－1＋（x－5） &lt; 2 <br />或{x ≥ 5， <br />x－1－（x－5） &lt; 2 <br />⇒x&lt;1 或 1≤x&lt;4 或∅⇒x&lt;4.故选 A. <br />2．(2012&middot;陕西，15A，易)若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的取 <br />值范围是________． <br />2．【解析】　方法一：不等式|x－a|＋|x－1|≤3 表示数轴上的点 x 到点 a 和点 1 的 <br />距离之和小于等于 3. <br />因为数轴上的点 x 到点 a 和点 1 的距离之和最小时，即点 x 在点 a 和点 1 之间时， <br />此时距离之和为|a－1|， <br />要使不等式|x－a|＋|x－1|≤3 有解，则|a－1|≤3， <br />解得－2≤a≤4. <br />方法二：因为存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立， <br />所以(|x－a|＋|x－1|)min≤3. <br />又|x－a|＋|x－1|≥|x－a－(x－1)|＝|a－1|， <br />所以|a－1|≤3， <br />解得－2≤a≤4. <br />【答案】　[－2，4] <br />3．(2016&middot;课标Ⅰ，24，10 分，中)已知函数 f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. <br />(1)画出 y＝f(x)的图象； <br />(2)求不等式|f(x)|&gt;1 的解集． <br />3．解：(1)f(x)＝{x－4，x ≤ －1， <br />3x－2，－1 &lt; x ≤ <br />3 <br />2 <br />， <br />－x＋4，x &gt; <br />3 <br />2. <br />y＝f(x)的图象如图所示． <br />(2)由 f(x)的表达式及图象， <br />当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； <br />当 f(x)＝－1 时，可得 x＝1 <br />3 <br />或 x＝5， <br />故 f(x)&gt;1 的解集为{x|1&lt;x&lt;3}； <br />f(x)&lt;－1 的解集为{x|x &lt; <br />1 <br />3 <br />或x &gt; 5}. <br />所以|f(x)|&gt;1 的解集为{x|x &lt; <br />1 <br />3 <br />或1 &lt; x &lt; 3或x &gt; 5}. <br />4．(2016&middot;课标Ⅲ，24，10 分，中)已知函数 f(x)＝|2x－a|＋a. <br />(1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集； <br />(2)设函数 g(x)＝|2x－1|.当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3，求 a 的取值范围． <br />4．解：(1)当 a＝2 时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6 得－1≤x≤3.因此 <br />f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤3}． <br />(2)当 x∈R 时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a. <br />所以当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3 等价于|1－a|＋a≥3. <br />当 a≤1 时，上式等价于 1－a＋a≥3，无解． <br />当 a&gt;1 时，上式等价于 a－1＋a≥3，解得 a≥2.所以 a 的取值范围是[2，＋∞)． <br />5．(2015&middot;江苏，21D，10 分，易)解不等式 x＋|2x＋3|≥2. <br />5．解：原不等式可化为{x &lt; －3 <br />2 <br />， <br />－x－3 ≥ 2 <br />或{x ≥ －3 <br />2 <br />， <br />3x＋3 ≥ 2. <br />解得 x≤－5 或 x≥－1 <br />3. <br />综上，原不等式的解集是{x|x≤－5 或 x≥－1 <br />3}． <br />6．(2014&middot;课标Ⅱ，24，10 分，中)设函数 f(x)＝|x＋1 <br />a|＋|x－a|(a&gt;0)． <br />(1)证明：f(x)≥2； <br />(2)若 f(3)&lt;5，求 a 的取值范围． <br />6．解：(1)证明：由 a&gt;0，得 f(x)＝|x＋1 <br />a|＋|x－a|≥|x＋1 <br />a <br />－（x－a）| <br />＝1 <br />a <br />＋a≥2， <br />所以 f(x)≥2. <br />(2)f(3)＝|3＋1 <br />a|＋|3－a|. <br />当 a&gt;3 时，f(3)＝a＋1 <br />a <br />， <br />由 f(3)&lt;5 得 3&lt;a&lt;5＋ 21 <br />2 . <br />当 0&lt;a≤3 时，f(3)＝6－a＋1 <br />a <br />， <br />由 f(3)&lt;5 得 1＋ 5 <br />2 &lt;a≤3. <br />综上，a 的取值范围是(1＋ 5 <br />2 <br />，5＋ 21 <br />2 ). <br />7．(2013&middot;福建，21(3)，7 分，中)设不等式|x－2|&lt;a(a∈N*)的解集为 A，且3 <br />2 <br />∈A，1 <br />2 <br />∉A. <br />(1)求 a 的值； <br />(2)求函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值． <br />7．解：(1)因为3 <br />2 <br />∈A，且1 <br />2∉A， <br />所以|3 <br />2 <br />－2|&lt;a，且|1 <br />2 <br />－2|≥a， <br />解得1 <br />2&lt;a≤3 <br />2. <br />又因为 a∈N*，所以 a＝1. <br />(2)因为 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， <br />当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2 时取到等号，所以 f(x)的最小值为 3. <br />8．(2012&middot;辽宁，24，10 分，中)已知 f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式 f(x)≤3 的解集 <br />为{x|－2≤x≤1}． <br />(1)求 a 的值； <br />(2)若|f（x）－2f(x <br />2 )|≤k 恒成立，求 k 的取值范围． <br />8．解：(1)由|ax＋1|≤3 得，－4≤ax≤2. <br />又 f(x)≤3 的解集为{x|－2≤x≤1}， <br />所以当 a≤0 时，不合题意． <br />当 a&gt;0 时，－4 <br />a≤x≤2 <br />a <br />，得 a＝2. <br />(2)记 h(x)＝f(x)－2f (x...