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第一章 特殊平行四边形
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专题1.5特殊的平行四边形单元测试(培优卷) 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库(教师版)
专题1.5特殊的平行四边形单元测试(培优卷) 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库(教师版)
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初中数学9年级上册同步培优专题题库(北师大版)专题1.5特殊的平行四边形单元测试(培优卷)姓名:__________________班级:______________得分:_________________注意事项:本试卷满分120分,考试时间60分钟,试题共26题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020春•福州期末)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.下列结论不一定成立的是( )A.BD平分∠ADCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC【分析】利用菱形的性质邻边相等、对角线互相垂直且平分进而分析即可.【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴BD平分∠ADC,OA=OC,AC⊥BD,无法得出AC=BD,故选项B符合题意,选项A、C、D不符合题意,故选:B.2.(2020春•滨江区期末)在矩形ABCD中,E,P,G,H分别是边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合),对于任意矩形ABCD,下面四个结论中正确的是( )①存在无数个四边形EFGH是平行四边形.②存在无数个四边形EFGH是矩形.③存在且仅有一个四边形EFGH是菱形.④除非矩形ABCD为正方形,否则不存在四边形EFGH是正方形.A.①②B.①②③C.①②④D.①③④【分析】根据菱形的判定和性质,矩形的判定,正方形的判定,平行四边形的判定定理即可得到结论.第29页/共29页 【解析】①如图,∵四边形ABCD是矩形,连接AC,BD交于O,过点O直线EG和HF,分别交AB,BC,CD,AD于E,F,G,H,则四边形EFGH是平行四边形,故存在无数个四边形EFGH是平行四边形;故①正确;②如图,当EG=HF时,四边形EFGH是矩形,故存在无数个四边形EFGH是矩形;故正确;③如图,当EG⊥HF时,存在无数个四边形EFGH是菱形;故错误;④当四边形EFGH是正方形时,EH=HG,则△AEH≌△DHG,∴AE=HD,AH=GD,∵GD=BE,∴AB=AD,∴四边形ABCD是正方形,当四边形ABCD为正方形时,四边形EFGH是正方形,故正确;故选:C.3.(2020春•玄武区期末)下列说法正确的是( )A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.每一条对角线都平分一组对角的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】根据平行四边形的判定,菱形的判定,正方形的判定逐个判断即可.【解析】A、一组对边平行,另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形,故本选项不符合题意;B、对角线相等的平行四边形是矩形,故本选项不符合题意;第29页/共29页 C、∵在△ADB和△CDB中∠1=∠2BD=BD∠3=∠4,∴△ADB≌△CDB(ASA),∴AD=CD,AB=CB,同理△ACD≌△ACB,∴AB=AD,BC=DC,即AB=BC=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形,故本选项符合题意;D、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形,故本选项不符合题意;故选:C.4.(2020•宁夏)如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,点E、F分别是边CD、BC的中点,连接EF并延长与AB的延长线相交于点G,则EG=( )A.13B.10C.12D.5【分析】连接对角线BD,交AC于点O,证四边形BDEG是平行四边形,得EG=BD,利用勾股定理求出OD的长,BD=2OD,即可求出EG.【解析】连接BD,交AC于点O,如图:∵菱形ABCD的边长为13,点E、F分别是边CD、BC的中点,∴AB∥CD,AB=BC=CD=DA=13,EF∥BD,∵AC、BD是菱形的对角线,AC=24,∴AC⊥BD,AO=CO=12,OB=OD,又∵AB∥CD,EF∥BD,第29页/共29页 ∴DE∥BG,BD∥EG,∵DE∥BG,BD∥EG,∴四边形BDEG是平行四边形,∴BD=EG,在△COD中,∵OC⊥OD,CD=13,CO=12,∴OB=OD=132-122=5,∴BD=2OD=10,∴EG=BD=10;故选:B.5.(2020•鸡西)如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,23),将菱形绕点O旋转,当点A落在x轴上时,点C的对应点的坐标为( )A.(﹣2,﹣23)或(23,﹣2)B.(2,23)C.(﹣2,23)D.(﹣2,﹣23)或(2,23)【分析】依据菱形的性质即可得到菱形的边长为4,△AOB是等边三角形,再分两种情况进行讨论,依据OD=12CO=2,CD=23,即可得到点C的对应点的坐标.【解析】∵菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,23),∴AO=22+(23)2=4,OB=4,∴菱形的边长为4,△AOB是等边三角形,分两种情况讨论:如图所示,当点A在x轴正半轴上时,过C作CD⊥AO于D,则OD=12CO=2,CD=23,∴点C的坐标为(﹣2,﹣23);第29页/共29页 如图所示,当点A在x轴负半轴上时,过C作CD⊥AO于D,则OD=12CO=2,CD=23,∴点C的坐标为(2,23);综上所述,点C的对应点的坐标为(﹣2,﹣23)或(2,23),故选:D.6.(2020•广州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为( )A.485B.325C.245D.125【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12,再根据S△AOD=S△AOE+S△DOE,即可得到OE+EF的值.【解析】∵AB=6,BC=8,∴矩形ABCD的面积为48,AO=DO=12AC=5,∵对角线AC,BD交于点O,∴△AOD的面积为12,第29页/共29页 ∵EO⊥AO,EF⊥DO,∴S△AOD=S△AOE+S△DOE,即12=12AO×EO+12DO×EF,∴12=12×5×EO+12×5×EF,∴5(EO+EF)=24,∴EO+EF=245,故选:C.7.(2020•威海)如图,在▱ABCD中,对角线BD⊥AD,AB=10,AD=6,O为BD的中点,E为边AB上一点,直线EO交CD于点F,连结DE,BF.下列结论不成立的是( )A.四边形DEBF为平行四边形B.若AE=3.6,则四边形DEBF为矩形C.若AE=5,则四边形DEBF为菱形D.若AE=4.8,则四边形DEBF为正方形【分析】根据平行四边形的判定方法,矩形的判定方法,菱形的判定方法,正方形的判定方法解答即可.【解析】∵O为BD的中点,∴OB=OD,∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDO=∠EBO,∠DFO=∠OEB,∴△FDO≌△EBO(AAS),∴OE=OF,∴四边形DEBF为平行四边形,故A选项不符合题意,若AE=3.6,AD=6,第29页/共29页 ∴AEAD=3.66=35,又∵ADAB=610=35,∴AEAD=ADAB,∵∠DAE=∠BAD,∴△DAE∽△BAD,∴AED=∠ADB=90°.∴四边形DEBF为矩形.故B选项不符合题意,∵AB=10,AE=5,∴BE=5,又∵∠ADB=90°,∴DE=12AB=5,∴DE=BE,∴四边形DEBF为菱形.故C选项不符合题意,∵AE=3.6时,四边形DEBF为矩形,AE=5时,四边形DEBF为菱形,∴AE=4.8时,四边形DEBF不可能是正方形.故选项D符合题意.故选:D.8.(2020•雁塔区校级模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,DE⊥AC,垂足为E,若DE=1,CD=5,则BE=( )A.5B.22C.52D.10【分析】首先,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得斜边AB=2CD=25,利用三角形中位线定理求得BC=2DE=2;则在Rt△ABC中由勾股定理求得线段AC=4,最后,在Rt△BCE第29页/共29页 中,利用勾股定理来求线段BE的长度.【解析】如图,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,CD=5,∴AB=2CD=25.∵∠ACB=90°,DE⊥AC,∴DE∥BC.∵点D是斜边AB的中点,∴DE是△ABC的中位线,又∵DE=1,∴BC=2,∴AC=AB2-BC2=20-4=4.∴CE=12AC=2,∴在Rt△BCE中,BE=BC2+CE2=22+22=22.故选:B.9.(2020•通辽)如图,AD是△ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断▱ADCE是菱形的是( )A.∠BAC=90°B.∠DAE=90°C.AB=ACD.AB=AE【分析】根据菱形的判定定理即可得到结论.【解析】添加∠BAC=90°时,∵AD是△ABC的中线,∴AD=12BC=CD,∴四边形ADCE是菱形,选项A正确;第29页/共29页 添加∠DAE=90°,∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形,选项B错误;添加AB=AC,可得到AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴四边形ADCE是平行四边形是矩形,选项C错误;添加AB=AE,∵四边形ADCE是平行四边形,∴AE=CD,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD=AE,∴AB=BD,故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形;故选:A.10.(2020春•沙坪坝区期末)如图,正方形ABCD中,AB=2,点E是对角线AC上一点,EF⊥AB于点F,连结DE,当∠ADE=22.5°时,EF的长是( )A.1B.22-2C.2-1D.14【分析】证明∠CDE=∠CED=67.5°,则CD=CE=2,计算AC的长,得AE=2-2,证明△AFE是等腰直角三角形,可得EF的长.【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD=BC=2,∠B=∠ADC=90°,∠BAC=∠CAD=45°,∴AC=2AB=2,∵∠ADE=22.5°,∴∠CDE=90°﹣22.5°=67.5°,∵∠CED=∠CAD+∠ADE=45°+22.5°=67.5°,∴∠CDE=∠CED,第29页/共29页 ∴CD=CE=2,∴AE=2-2,∵EF⊥AB,∴∠AFE=90°,∴△AFE是等腰直角三角形,∴EF=AE2=2-1,故选:C.二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上11.(2020•菏泽)如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=12,点P在对角线BD上,且BP=BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为 317 .【分析】根据矩形的性质可得BD=13,再根据BP=BA可得DQ=DP=8,所以得CQ=3,在Rt△BCQ中,根据勾股定理即可得BQ的长.【解析】∵矩形ABCD中,AB=5,AD=12,∠BAD=∠BCD=90°,∴BD=AB2+AD2=13,∵BP=BA=5,∴PD=BD﹣BP=8,∵BA=BP,∴∠BAP=∠BPA=∠DPQ,∵AB∥CD,∴∠BAP=∠DQP,∴∠DPQ=∠DQP,∴DQ=DP=8,∴CQ=DQ﹣CD=DQ﹣AB=8﹣5=3,∴在Rt△BCQ中,根据勾股定理,得BQ=BC2+CQ2=153=317.第29页/共29页 故答案为:317.12.(2020•岳阳)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∠A=20°,则∠BCD= 70 °.【分析】根据直角三角形两锐角互余求得∠B=70°,然后根据直角三角形斜边上中线定理得出CD=BD,求出∠BCD=∠B即可.【解析】在Rt△ABC中,∠A=20°,则∠B=70°,∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,∴BD=CD=AD,∴∠BCD=∠B=70°,故答案为70.13.(2020•红桥区三模)如图,正方形ABCD的边长为6,E是边AB边一点,G是AD延长线上一点,BE=DG,连接EG,CF⊥EG交EG于点H,交AD于点F,连接CE,BH,若BH=42,则EG的长等于 45 .【分析】首先连接CG,首先证明△CGD≌△CEB,得到△GCE是等腰直角三角形;过点H作AB、BC的垂线,垂足分别为点M、N,进而证明△HEM≌△HCN,得到四边形MBNH为正方形,由此求出HN、AG、AE的长度;最后利用勾股定理可得EG的长.【解析】连接CG,∵四边形ABCD是正方形,第29页/共29页 ∴CB=CD,∠CBE=∠ADC=90°,在△CGD与△CEB中,BE=DG∠EBC=∠GDC=90°BC=CD,∴△CGD≌△CEB(SAS),∴CG=CE,∠GCD=∠ECB,∴∠GCE=90°,即△GCE是等腰直角三角形.又∵CH⊥GE,∴CH=EH=GH.过点H作AB、BC的垂线,垂足分别为点M、N,则∠MHN=90°,又∵∠EHC=90°,∴∠1=∠2,在△HEM与△HCN中,∠EMH=∠HNC=90°∠1=∠2EH=CH,∴△HEM≌△HCN(AAS).∴HM=HN,∵∠HMB=∠ABC=∠BNH=90°,∴四边形MBNH为正方形,∵BH=42,∴BN=HN=4,∵HM∥AG,EH=GH,∴AG=2HM=2HN=8,∴DG=BE=AG﹣AD=8﹣6=2,∴AE=6﹣2=4,在Rt△AEG中,EG=AE2+AG2=42+82=45.故答案为:45.14.(2020春•肥东县期末)如图,正方形ABCD中,点E在边BC上,∠BAE=n°.如果在边AB,CD上分别找一点F,G,使FG=AE,FG与AE相交于点O,那么∠GOE的大小等于 90°或(90﹣第29页/共29页 2n)° .【分析】过G作GH⊥AB于点H,根据HL证明Rt△ABE≌Rt△GHF,分两种情况:①当AF>BF时,进而证明∠FAO+∠AFO=90°便可;②当AF<BF时,进而证明∠FAO+∠AFO=90°+2n便可求得结果.【解析】过G作GH⊥AB于点H,则∠AHG=∠FHG=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠D=90°,∴四边形AHGD是矩形,∴AD=HG,∴AB=HG,在Rt△ABE和Rt△GHF中,AE=GFAB=GH,∴Rt△ABE≌Rt△GHF(HL),∴∠BAE=∠HGF,∵∠HGF+∠HFG=90°,①当AF>BF时,如图1,∴∠FAO+∠AFO=90°,∴∠AOF=90°,∴∠GOE=∠AOF=90°,第29页/共29页 ②当AF<BF时,如图2,∴∠FAO+∠HFG=90°,∵∠BAE=n°,∴∠HFG=90°﹣n°,∴∠GOE=∠AOF=∠HFG=∠OAF=(90﹣2n)°,故答案为90°或(90﹣2n)°.15.(2020春•中山市期末)如图,在菱形ABCD中,∠C=60°,E、F分别是AB、AD的中点,若EF=5,则菱形ABCD的周长为 40 .【分析】由三角形的中位线定理,求出BD=10,根据菱形的性质及∠A=60°,得△ABD为等边三角形,从而求出菱形ABCD的边长,再乘以4即可得出菱形ABCD的周长.【解析】∵E、F分别是AB、AD的中点,∴EF=12BD,∵EF=5,∴BD=10,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD,∵∠A=60°,∴△ABD为等边三角形,∴AB=BD=10,∴菱形ABCD的周长=4×10=40,第29页/共29页 故答案为:40.16.(2020春•成都期末)如图,点C为线段AB的中点,以BC为边作正方形BCDE,点F、点G分别在边DE、DC上,且满足DF=DG,连接BF,连接AG并延长交BF于点H,连接DH.以下结论:①△ACG≌△BEF;②HD=HG;③AH⊥BF;④∠DHG=45°.其中正确的有 ①③④ (填序号).【分析】由“SAS”可证△ACG≌△BEF,可得判定①;由全等三角形的性质可得∠A=∠EBF,∠AGC=∠BFE,由余角的性质可得∠AHB=90°,可判断③;过点D作DN⊥BF于N,DM⊥AH于H,由“AAS”可证△DHN≌△DHM,可得∠DHM=∠DHN=45°,可判断④,若若DH=DG,可求∠A=22.5°,由点F、点G分别在边DE、DC上,则∠A不是定值,可判断②,即可求解.【解析】∵点C为线段AB的中点,∴AC=BC,∵四边形BCDE是正方形,∴DE=DC=BC=BE=AC,∠E=∠DCB=90°,又∵DF=DG,∴CG=EF,又∵∠E=∠ACG=90°,∴△ACG≌△BEF(SAS),故①正确,∴∠A=∠EBF,∠AGC=∠BFE,∵∠EBF+∠FBC=90°,∴∠A+∠FBC=90°,∴∠AHB=90°,∴AH⊥BF;故③正确,第29页/共29页 过点D作DN⊥BF于N,DM⊥AH于H,∵∠AGC=∠BFE,∴∠DGM=∠NFD,又∵∠DNF=∠DMG=90°,DF=DG,∴△DHN≌△DHM(AAS),∴∠DHM=∠DHN,又∵∠AHF=90°,∴∠DHG=45°,故④正确;若DH=DG,∠DHG=45°,∴∠HDG=∠HGD=67.5°,∴∠A=22.5°,∵点F、点G分别在边DE、DC上,∴∠A不是定值,∴DH与HG不一定相等,故②错误.故答案为:①③④.17.(2020春•彭州市期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点A作AE⊥BD于点E,已知∠EAD=3∠BAE,则∠EOA= 45 °.【分析】根据矩形的性质得出∠BAD=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,求出OA=OB,求出∠OAB=∠ABO,求出∠ABO即可.【解析】∵四边形ABCD是矩形,第29页/共29页 ∴∠BAD=90°,∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE=14×90°=22.5°,∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°,∴∠ABO=180°﹣∠AEB﹣∠BAE=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABO=67.5°,∴∠EOA=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,故答案为:45.18.(2020春•肇源县期末)如图,菱形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD边上的动点,BE=AF,∠BAD=120°,则下列结论:①△BEC≌△AFC;②△ECF为等边三角形;③∠AGE=∠AFC;其中正确结论的序号有 ①②③ .【分析】①可证明△BEC≌△AFC(SAS),正确;②由△BEC≌△AFC,得CE=CF,∠BCE=∠ACF,由∠BCE+∠ECA=∠BCA=60°,得∠ACF+∠ECA=60,所以△CEF是等边三角形,正确;③因为∠AGE=∠CAF+∠AFG=60°+∠AFG,∠AFC=∠CFG+∠AFG=60°+∠AFG,所以∠AGE=∠AFC,故③正确.【解析】①∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=BC=CD,∠BAC=∠CAD,∵∠BAD=120°,∴∠BAC=∠CAD=60°,∴△ABC和△ACD都是等边三角形,∴∠B=∠CAD=60°,BC=AC,第29页/共29页 ∵BE=AF,∴△BEC≌△AFC(SAS),故①正确;②∵△BEC≌△AFC,∴CE=CF,∠BCE=∠ACF,∵∠BCE+∠ECA=∠BCA=60°,∴∠ACF+∠ECA=60,∴△CEF是等边三角形,故②正确;③∵∠AGE=∠CAF+∠AFG=60°+∠AFG;∠AFC=∠CFG+∠AFG=60°+∠AFG,∴∠AGE=∠AFC,故③正确正确.故答案为:①②③.三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(2020春•翠屏区期末)如图,在菱形ABCD中,AB=AC=2,对角线AC、BD相交于点O.(1)求∠ABC的大小;(2)求菱形ABCD的面积(结果保留根号).【分析】(1)证△ABC是等边三角形,即可得出结果;(2)由菱形的性质得BD⊥AC,OA=OC=12AC=2,S菱形ABCD=2S△ABC,由勾股定理得OB=3,即可得出结果.【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,第29页/共29页 ∴AB=BC,∵AB=AC=2,∴AB=BC=AC=2,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°;(2)∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,OA=OC=12AC=2,S菱形ABCD=2S△ABC,在Rt△AOB中,由勾股定理得:OB=AB2-OA2=22-12=3,∴S菱形ABCD=2S△ABC=2×12×2×3=23.20.(2020春•海淀区校级期末)如图,在矩形ABCD中,点E在BC边上,且DE=AD,过点A作AF∥DE交CB的延长线于点F.(1)求证:四边形AFED是菱形;(2)若AB=1,CF=2.①求AD的长;②AE、FD交于点O,连接OC,求OC的长.【分析】(1)由矩形的性质可得AD∥BC,∠C=90°,由菱形的判定可证四边形AFED是菱形;(2)①由菱形的性质可得AD=DE=EF,利用勾股定理可求AD的长;②由勾股定理可求DF的长,由菱形的性质可得DO=FO,由直角三角形的性质可求解.【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°,AB=CD,又∵AF∥DE,∴四边形AFED是平行四边形,又∵AD=DE,∴四边形AFED是菱形;(2)①∵四边形AFED是菱形;第29页/共29页 ∴AD=DE=EF,∵DE2=CD2+CE2,∴DE2=1+(2﹣DE)2,∴DE=54,∴AD=54;②如图,∵∠DCF=90°,AB=CD=1,CF=2,∴DF=CD2+CF2=1+4=5,∵四边形AFED是菱形,∴DO=FO,又∵∠DCF=90°,∴CO=12DF=52.21.(2020春•包河区期末)菱形ABCD中,AD=6,AE⊥BC,垂足为E,F为AB边中点,DF⊥EF.(1)直接写出结果:EF= 3 ;(2)求证:∠ADF=∠EDF;(3)求DE的长.【分析】(1)根据直角三角形的性质即可求解;(2)延长EF交DA于G,根据AAS可证△AGF≌△BEF,根据全等三角形的性质可得GF=EF,再根据等腰三角形的性质即可求解;(3)可设BE=x,则AG=x,可得DE=DG=6+x,再根据勾股定理可求BE,进一步得到DE.第29页/共29页 【解析】(1)∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∵AD=6,F为AB边中点,∴EF=12AB=12AD=3.故答案为:3;(2)延长EF交DA于G,∵AD∥BC,∴∠G=∠FEB,∠GAB=∠B,∵AF=BF,∴△AGF≌△BEF(AAS),∴GF=EF,∵DF⊥EF,∴DG=DE,∴∠ADF=∠EDF;(3)设BE=x,则AG=x,则DE=DG=6+x,∵AE2=AB2﹣BE2=62﹣x2,AE2=DE2﹣AD2=(x+6)2﹣62,∴62﹣x2=(x+6)2﹣62,解得x=﹣3±33,∴BE=﹣3+33,∴DE═﹣3+33+6═3+33.22.(2020春•海州区期末)平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在CD上,CF=AE,连接BF,AF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若AF平分∠BAD,且AE=2,DE=4,求矩形BFDE的面积.第29页/共29页 【分析】(1)根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定.(2)首先证明AD=DF,求出AD即可解决问题.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴DF∥BE,∵CF=AE,∴DF=BE,∴四边形BFDE是平行四边形,∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四边形BFDE是矩形.(2)解:∵AB∥CD,∴∠BAF=∠AFD,∵AF平分∠BAD,∴∠DAF=∠AFD,∴AD=DF,在Rt△ADE中,∵AE=2,DE=4,∴AD=AE2+DE2=22+42=25,∴DF=25,∴矩形BFDE的面积=DF×DE=25×4=85.23.(2020春•迁西县期末)如图,△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G,H、I分别是BG、CG的中点.(1) EF 是△ABC的中位线,EF与BC位置关系是 EF∥BC 、数量关系是 EF=12BC ; HI 是△GBC的中位线,HI与BC位置关系是 HI∥BC 、数量关系是 HI=12BC ;(2)求证:四边形EFHI是平行四边形;(3)当AD与BC满足条件 AD⊥BC 时,四边形EFHI是矩形.(直接写出结论)当AD与BC第29页/共29页 满足条件 BC=23AD 时,四边形EFHI是菱形.(直接写出结论)【分析】(1)证出EF、HI分别是△ABC、△BCG的中位线,根据三角形中位线定理即可得出答案;(2)由三角形中位线定理可得EF∥HI且EF=HI.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论;(3)由三角形中位线定理得出FH∥AD,再证出EF⊥FH,即可得出四边形EFHI是矩形;根据三角形重心定理得出AG=23AD,证出AG=BC,由三角形中位线定理和添加条件得出FH=EF,即可得出四边形EFHI是菱形.【解答】(1)解:∵BE、CF是△ABC的中线,∴AE=CE,AF=BF,∴EF是△ABC的中位线,∴EF∥BC,EF=12BC,∵H、I分别是BG、CG的中点,∴HI是△GBC的中位线,∴HI∥BC,HI=12BC,故答案为:EF,EF∥BC、EF=12BC;HI,HI∥BC、HI=12BC;(2)证明:由(1)得:EF∥BC,EF=12BC,HI∥BC,HI=12BC,∴EF∥HI,EF=HI,∴四边形EFHI是平行四边形;(3)当AD与BC满足条件AD⊥BC时,四边形EFHI是矩形;理由如下:同(1)得:FH是△ABG的中位线,∴FH∥AG,FH=12AG,∴FH∥AD,第29页/共29页 ∵EF∥BC,AD⊥BC,∴EF⊥FH,∴∠EFH=90°,∵四边形EFHI是平行四边形,∴四边形EFHI是矩形;当AD与BC满足条件BC=23AD时,四边形EFHI是菱形;理由如下:∵△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G,∴AG=23AD,∵BC=23AD,∴AG=BC,∵FH=12AG,EF=12BC,∴FH=EF,又∵四边形EFHI是平行四边形,∴四边形EFHI是菱形;故答案为:AD⊥BC,BC=23AD.24.(2020春•嘉定区期末)已知平行四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,且CA=CB,延长BC至点E,使CE=BC,连接DE.(1)当AC⊥BD时,求证:BE=2CD;(2)当∠ACB=90°时,求证:四边形ACED是正方形.【分析】(1)根据已知条件得到四边形ABCD是菱形.求得BC=CD.得到BE=2BC,于是得到结论;(2)根据平行四边形的性质得到AD=BC,AD∥BE,求得AD=CE,AD∥CE,推出平行四边形ACED是矩形,根据正方形的判定定理即可得到结论.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,第29页/共29页 又∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.∴BC=CD.又∵CE=BC,∴BE=2BC,∴BE=2CD;(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BE,又∵CE=BC,∴AD=CE,AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形.∵∠ACB=90°,∴平行四边形ACED是矩形,又∵CA=CB,∴CA=CE,∴矩形ACED是正方形.25.(2020春•巴南区期末)如图,在长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,6),点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动一周,设点P移动的时间为t.(1)写出点B的坐标;(2)在移动过程中,当点P到x轴的距离为5时,求点P移动的时间;(3)当三角形OBP的面积为8时,直接写出点P的坐标.【分析】(1)由矩形的性质可得AB=OC=6,BC=OA=4,可求点B坐标;(2)由点P到x轴的距离为5得出点P运动的路程,从而得出答案.第29页/共29页 (3)分点P在OC上,在BC上,在AB上,在AO上四种情况讨论,由三角形的面积公式可求点P坐标;【解析】(1)∵A点的坐标为(4,0),C点的坐标为(0,6),∴OA=4,OC=6,∵四边形ABCO是矩形,∴AB=OC=6,BC=OA=4,∴点B(4,6);(2)当点P到x轴的距离为5时,OP=5或OC+CB+BP=11,∴点P移动的时间为52s或112s.(3)如图,①当点P在OC上时,S△OBP=12•OP1×4=8,∴OP1=4,∴点P(0,4);②当点P在BC上,S△OBP=12BP2×6=8,∴BP2=83,∴CP2=4-83=43,∴点P(43,6);③当点P在AB上,S△OBP=12BP3×4=8,∴BP3=4,第29页/共29页 ∴AP3=2,∴点P(4,2);④当点P在AO上,S△OBP=12OP4×6=8,∴OP4=83,∴点P(83,0).综上,点P的坐标为(0,4)或(43,6)或(4,2)或(83,0).26.(2020春•拱墅区期末)如图1,在正方形ABCD中,点E在边CD上(不与点C,D重合),AE交对角线BD于点G,GF⊥AE交BC于点F.(1)求证:AG=FG.(2)若AB=10,BF=4,求BG的长.(3)如图2,连接AF,EF,若AF=AE,求正方形ABCD与△CEF的面积之比.【分析】(1)由“SAS”可证△ABG≌△CBG,可得AG=CG,∠BAG=∠BCG,由四边形内角和定理可证∠BCG=∠GFC,可得GC=GF=AG;(2)过点G作GH⊥BC于H,利用勾股定理可求GH的长,即可求解;(3)在AB上截取BF=BN,连接NF,由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△ADE,可得∠BAF=∠DAE=22.5°,BF=DE,可得FC=2BF,即可求解.【解答】证明:(1)连接GC,第29页/共29页 ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,∠ABD=∠CBD=45°,又∵BG=BG,∴△ABG≌△CBG(SAS),∴AG=CG,∠BAG=∠BCG,∵∠ABC+∠BAG+∠AGF+∠BFG=360°,且∠ABC=∠AGF=90°,∴∠BAG+∠BFG=180°,∴∠BCG+∠BFG=180°,∵∠BFG+∠GFC=180°,∴∠BCG=∠GFC,∴GC=GF,∴AG=FG;(2)如图2,过点G作GH⊥BC于H,∵AB=10,BF=4,∴AF2=AB2+BF2=AG2+GF2,∴GF2=58,∵∠DBC=45°,GH⊥BC,∴BH=GH,BG=2GH,∵GF2=GH2+FH2,∴58=GH2+(GH﹣4)2,∴GH=7,(负值舍去),∴BG=72;(3)如图,在AB上截取BF=BN,连接NF,第29页/共29页 ∵AG=GF,AG⊥GF,∴∠EAF=45°,∵AE=AF,AB=AD,∴Rt△ABF≌Rt△ADE(HL),∴∠BAF=∠DAE=22.5°,BF=DE,∴CF=CE,∵BF=BN,∠ABC=90°,∴NF=2BF,∠BNF=∠BFN=45°,∴∠BAF=∠AFN=22.5°,∴AN=NF=2BF,∵AB=BC,∴BN+AN=BF+FC,∴FC=2BF,∴BC=(2+1)BF,∴正方形ABCD与△CEF的面积之比=BC2:12FC2=3+22.第29页/共29页
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