专题4.6利用相似三角形测高 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题题库（教师版）

初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题4.6利用相似三角形测高姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•宛城区一模）如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（　　）A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则由相似三角形（△AOB∽△DOC），根据平行线分线段成比例可得ABCD=OEOF，代入计算即可解答．【解析】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，∵练习本中的横格线都平行，∴△AOB∽△DOC，∴ABCD=OEOF，即4CD=23，∴CD＝6cm．故选：C．第21页/共21页 2．（2020•新宾县四模）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（　　）A．67B．3037C．127D．6037【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．【解析】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC=12•AB•BC=12•AC•BP，∴BP=AB⋅BCAC=3×45=125．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC=BQBP．设DE＝x，则有：x5=125-x125，解得x=6037，故选：D．3．（2020•天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　）第21页/共21页 A．17.5mB．17mC．16.5mD．18m【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC=BECD，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴1.214=1.5DC，解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，故选：A．4．（2019秋•南岸区期末）如图，在一块斜边长60cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若CD：CB＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（　　）A．202.5cm2B．320cm2C．400cm2D．405cm2【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解析】∵四边形CDEF为正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，第21页/共21页 ∵CD：CB＝1：3，∴EFBC=AEAB=AFAC=13，设AF＝x，则AC＝3x，EF＝CF＝2x，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即602＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝45，∴AC＝125，BC＝245，∴剩余部分的面积=12×245×125-85×85=400（cm2），故选：C．5．（2019秋•鹿城区校级月考）如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（　　）A．4mB．245mC．5mD．163m【分析】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【解析】∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∴BHHC=ABCD=812=23，（相似三角形对应高的比等于相似比），∵MH∥AB，∴△MCH∽△ACB，∴MHAB=CHBC=35，∴MH8=35，解得MH=245．第21页/共21页 故选：B．6．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（　　）A．60mmB．16013mmC．20mmD．24013mm【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【解析】如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PM，∴PMBC=AKAD，第21页/共21页 ∴3k120=80-2k80，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．7．（2019秋•永春县期中）我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走810步后正好看到树木，则正方形城池的边长为（　　）步．A．360B．270C．180D．90【分析】设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE=12x，证明Rt△BEA∽Rt△EDC，利用相似比得到4012x=12x810，然后利用比例性质求出x即可．【解析】如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE=12x，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴ABEC=AECD，即4012x=12x810，∴x＝360，即正方形城池的边长为360步．故选：A．8．（2020•成都模拟）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10m，AOBO=DOCO=23，则容器的内径是（　　）第21页/共21页 A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm【分析】首先连接AD、BC，然后判定△AOD∽△BOC，根据相似三角形的性质可得ADCB=AOBO=23，进而可得答案．【解析】连接AD、BC，∵AOBO=DOCO=23，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴ADCB=AOBO=23，∵A，D两个端点之间的距离为10m，∴BC＝15m，故选：C．9．（2020春•武邑县校级月考）如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（　　）第21页/共21页 A．5mB．6mC．125mD．4m【分析】先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高．【解析】作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴BCEF=AMAN，∵AM＝0.7m，AN＝25m，BC＝0.14m，∴EF=BC×ANAM=0.14×250.7=5（m）．故选：A．10．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（　　）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解析】设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，第21页/共21页 ∴EFBC=AFAC=13，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝25，∴AC＝65，BC＝125，∴剩余部分的面积=12×125×65-45×45=100（cm2），故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2017秋•嘉兴期末）某公司门口的栏杆如图，AB＝1.2m，BC＝15m．要使栏杆C端从栏杆水平位置上升到垂直距离（CE）5m处，栏杆A应下降的垂直距离（AD）为　0.4　m．【分析】证明∴△BAD∽△BCE，然后利用相似比计算AD的长．【解析】∵AD∥CE，∴△BAD∽△BCE，∴AD：CE＝BA：BC，即AD：5＝1.2：15，解得AD＝0.4（m）．故答案为0.4．12．（2020•衡阳模拟）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为　100cm2　．【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解析】设AF＝x，则AC＝3x，第21页/共21页 ∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AFAC=13，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝25，∴AC＝65，BC＝125，∴剩余部分的面积=12×125×65-45×45=100（cm2），故答案为：100cm2．13．（2020•晋安区一模）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为　8.8　m．【分析】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解析】根据题意得：△ABM∽△CDM，∴AB：CD＝BM：DM，∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，∴1.6：CD＝2：11，解得：CD＝8.8m，故答案为：8.8．第21页/共21页 14．（2019秋•山西期末）太原市某学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕定点O旋转到DC位置，已知栏杆AB的长为3.5m，OA的长为3m，C点到AB的距离为0.3m．支柱OE的高为0.5m，则栏杆D端离地面的距离为　2.3m　．【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴DGCH=ODOC，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴DG0.3=30.5，∴DG＝1.8m，∵OE＝0.5m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.5＝2.3m．故答案是：2.3m．15．（2019秋•西城区期末）在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.5米，则这个学校教学楼的高度为　15　米．第21页/共21页 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质进而得出教学楼的高度．【解析】由镜面反射原理可得，∠1＝∠2，△ACB∽△ADE，故ACAD=BCDE，则110=1.5ED，解得：ED＝15（m），即这个学校教学楼的高度为15米．故答案为：15．16．（2020春•沙坪坝区校级期末）我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示．若此时眼睛到食指距离l约为63cm，食指AB长约为7cm，旗杆CD高度为28米，则对方与我军距离d约为　252　米．第21页/共21页 【分析】将实际问题转化为三角形相似问题求解进而得出答案．【解析】63cm＝0.63m，AB＝7cm＝0.07m，∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO，∴ABCD=0.63d，即0.0728=0.63d，d＝252（m），故答案为：252．17．（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为　7　米．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴ACBD=AEBE，第21页/共21页 ∴AC1=1.40.2，∴AC＝7（米），故答案为：7．18．（2020•温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为　152　米，BC为　202　米．【分析】根据已知条件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），于是得到AB＝AN﹣BN＝152（米）；过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，根据矩形的性质得到PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】∵AE⊥l，BF⊥l，∵∠ANE＝45°，∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，∴AE＝EN，BF＝FN，∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），∴AN＝252，BN＝102，∴AB＝AN﹣BN＝152（米）；过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，∴AE∥CH，∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，第21页/共21页 ∴PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，∴△AEF∽△CHM，∴CHHM=AEEF=2515=53，∴设MH＝3x，CH＝5x，∴CQ＝5x﹣10，BQ＝FH＝3x+2，∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，∴∠ABP+∠PAB＝∠ABP+∠CBQ＝90°，∴∠PAB＝∠CBQ，∴△APB∽△BQC，∴APBQ=PBCQ，∴153x+2=155x-10，∴x＝6，∴BQ＝CQ＝20，∴BC＝202，故答案为：152，202．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•雁塔区校级模拟）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看一到位于A第21页/共21页 处的树木（即点D在直线AC上）．【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得CK100=10015，然后利用比例性质可求出CK的长．【解析】DH＝100，DK＝100，AH＝15，∵AH∥DK，∴∠CDK＝∠A，而∠CKD＝∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴CKDH=DKAH，即CK100=10015，∴CK=20003．答：出南门20003步恰好看一到位于A处的树木．20．（2020春•莱州市期末）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝30cm，测得AM＝10m，边DF离地面的高度DM＝1.5m，求树高AB．第21页/共21页 【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【解析】∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BCEF=CDDE，∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，∴BC0.3=100.4，∴BC＝7.5米，∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米，∴树高为9米．21．（2020•山西一模）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．【分析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合CDAB=DNBN求得大树的高．【解析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，第21页/共21页 ∴△CND∽△ANB，∴CDAB=DNBN．同理，△EMF∽△AMB，∴EFAB=FMBM．∵EF＝CD，∴DNBN=FMBM，即1.1x=1.5x+2.4．解得x＝6.6，∵CDAB=DNBN，∴1.6AB=1.16.6．解得AB＝9.6．答：大树AB的高度为9.6米．22．（2019春•西湖区校级月考）如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面AC＝1.5m，CD＝8m，求树高．【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【解析】∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB∴DEDC=EFCB，∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，∴0.48=0.2BC，∴CB＝4（m），第21页/共21页 ∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．答：树高为5.5米．23．（2019秋•绥德县期末）如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（AB）的高度：将一根3米高的标杆（CD）竖直放在某一位置，有一名同学站在F处与标杆底端（D）、旗杆底端（B）成一条直线，此时他看到标杆顶端C与旗杆顶端A重合，另外一名同学测得站立（EF）的同学离标杆（CD）3米，离旗杆（AB）30米．如果站立（EF）的同学的眼睛距地面1.6米，过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G（EF∥AB，CD∥AB，EH∥FB），求旗杆AB的高度．【分析】过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G得出△EGC∽△EHA，进而求出AH的长，进而求出AB的长．【解析】过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G．由题意可得，四边形EFDG、GDHB都是矩形，AB∥CD∥EF．∴△ECG∽△EAH．∴AHCG=EHEG．由题意可得：EG＝FD＝3m，EH＝BF＝30m，CG＝CD﹣GD＝CD﹣EF＝3﹣1.6＝1.4（m）．∴AH1.4=303，∴AH＝14（米），∴AB＝AH+HB＝14+1.6＝15.6（米）．答：旗杆的高度为15.6米．第21页/共21页 24．（2012•茂南区校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？【分析】（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ=12CP×CQ求解；（2）在Rt△CPQ中，由（1）可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；（3）应分两种情况，当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据CPCA=CQCB，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据CPCB=CQCA，可求出时间t．【解析】（1）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S=12×(20-4t)×2t=20t-4t2cm2；（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，由勾股定理得PQ=CP2+CQ2=82+62=10cm；第21页/共21页 （3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，CPCA=CQCB，即20-4t20=2t15，解得t＝3；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，CPCB=CQCA，即20-4t15=2t20，解得t=4011．因此t＝3或t=4011时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．第21页/共21页