2021年九年级数学上册第二章直角三角形的边角关系达标测试题（鲁教版五四制）

第二章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为(　　)A．3B.C.D.2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tAnB＝，BC＝2，则AC等于(　　)A．3B．4C．4D．63．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为(　　)A.B.C.D．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的长是(　　)A．3B．6C．8D．95．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B两点之间距离的有(　　)A．1组　B．2组　C．3组　D．4组12 6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC的值为(　　)A.B.C.D.7．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于(　　)A.B.C.D.8．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为(　　)A．100mB．50mC．50mD.m9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为(　　)A．30°B．50°C．60°或120°D．30°或150°10．如图，某海监船以20nmilE/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1h到达B处，测得岛屿P12 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2h到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为(　　)A．40nmileB．60nmileC．20nmileD．40nmile二、填空题(每题3分，共24分)11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinB＝________．12．计算：－|－2＋tan45°|＋(－1.41)0＝________.13．如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为________m(结果保留根号)．14．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.15．已知锐角A的正弦sinA是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sinA＝________．16．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.12 17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________．18．若一次函数的图象经过点(tan45°，tan60°)和(－cos60°，－6tan30°)，则此一次函数的表达式为________．三、解答题(19，20题每题12分，其余每题14分，共66分)19．计算：(1)(2cos45°－sin60°)＋；(2)sin60°·cos60°－tan30°·tan60°＋sin245°＋cos245°.20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.(1)已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；12 (2)已知a＝3，∠A＝45°，求∠B，b，c.21．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝.(1)求边AC的长；(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．22．如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶12 2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．23．小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图①)，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm(参考数据：sin12 61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan28.1°≈0.534)．(1)求证：AC∥BD.(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(结果精确到0.1°)．(3)小红的连衣裙穿在衣架上的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．12 答案一、1.A2．A　点拨：由tanB＝知AC＝BC·tanB＝2×＝3.3．B4．B　点拨：因为AD＝CD，所以∠DAC＝∠DCA.又因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB.所以∠DCA＝∠ACB.在Rt△ACB中，AC＝BC·cos∠BCA＝10×＝8，则AB＝＝6.5．C　点拨：对于①，可由AB＝BC·tan∠ACB求出A，B两点间的距离；对于②，由BC＝，BD＝，BD－BC＝CD，可求出AB的长；对于③，易知△DEF∽△DBA，则＝，可求出AB的长；对于④无法求得AB的长，故有①②③共3组，故选C.6．A7．B　点拨：如图，连接BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4.又BC＝5，CD＝3，∴CD2＋BD2＝BC2.∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.∴tanC＝＝.8．A9．D　点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sinA＝，∴∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin(180°－∠BAC)＝，∴180°－∠BAC＝30°.∴∠BAC＝150°.10．D　点拨：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意得BC＝2AB，∴PB＝BC，12 ∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C＋∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2PA，∵PA＝AB·tan60°，∴PC＝2×20×＝40(nmile)．二、11.12．2＋　点拨：原式＝3－|－2＋|＋1＝4－2＋＝2＋.13．10　14.　15.16.　点拨：如图，过A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D＝x，则B′D＝x，BC＝2x，BD＝3x.所以tan∠A′BC′＝＝＝.17.　点拨：由题意知BD′＝BD＝2.在Rt△ABD′中，tan∠BAD′＝＝＝.18．y＝2x－　点拨：tan45°＝1，tan60°＝，－cos60°＝－，－6tan30°＝－2.设y＝kx＋b的图象经过点(1，)，，则用待定系数法可求出k＝2，b＝－.三、19.解：(1)原式＝×＋＝2－＋＝2.(2)原式＝×－×＋＋＝－1＋＋＝.20．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4.(2)∠B＝45°，b＝3，c＝6.21．解：(1)如图，过A作AE⊥BC，交BC于点E.在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC－BE＝5－4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC＝＝.12 (2)如图，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点F.∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF＝，∵tan∠DBF＝＝，∴DF＝，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD＝＝，∴AD＝5－＝，则＝.22．解：由题意得BG＝3.2m，MN＝EF＝3.2＋2＝5.2(m)，ME＝NF＝BC＝6m．在Rt△DEF中，易知＝，∴FD＝2EF＝2×5.2＝10.4(m)．在Rt△HMN中，＝，∴HN＝2.5MN＝13(m)．∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(m)．∴加高后的坝底HD的长为29.4m.23．(1)证明：方法一　∵AB，CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝(180°－∠AOC)．同理∠OBD＝∠ODB＝(180°－∠BOD)．∴∠OAC＝∠OBD.∴AC∥BD.方法二　∵AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，∴OB＝OD＝85cm.12 ∴＝＝.又∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD.∴∠OAC＝∠OBD.∴AC∥BD.(2)解：在△OEF中，OE＝OF＝34cm，EF＝32cm.如图，作OM⊥EF于点M，则EM＝16cm.∴cos∠OEF＝＝≈0.471.∴∠OEF≈61.9°.(3)解：方法一　小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．理由如下：如图，过A作AH⊥BD于点H.在Rt△OEM中，OM＝＝＝30(cm)．易证∠ABD＝∠OEM.∵∠OME＝∠AHB＝90°，∴△OEM∽△ABH.∴＝.∴AH＝＝＝120(cm)．∵小红的连衣裙挂在晒衣架上的总长度122cm大于晒衣架的高度120cm，∴小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．方法二　小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．理由如下：易得∠ABD＝∠OEF≈61.9°.如图，过点A作AH⊥BD于点H.12 在Rt△ABH中，∵sin∠ABD＝，∴AH＝AB·sin∠ABD≈136×sin61.9°≈136×0.882≈120(cm)．∵小红的连衣裙挂在晒衣架上的总长度大于晒衣架的高度，∴小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．解题策略：这是一道几何应用题，体现了新课标理念：数学来源于生活，并服务于生活．背景情境的设置具有普遍性和公平性．涉及的知识点有：平行线的判定、等腰三角形的性质、三角形相似、锐角三角函数等．题目设置由易到难，体现了对数学建模的考查，以及由理论到实践的原则，比较全面地考查了对几何基础知识的掌握情况和对知识的应用能力．题目新颖，综合性强．12