第19章 一次函数的应用 练习

一次函数的应用1.某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元，销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元．（1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？（2）该商店计划一次购进两种型号的手机共110部，其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍．设购进B型手机n部，这110部手机的销售总利润为y元．①求y关于n的函数关系式；②该手机店购进A型、B型手机各多少部，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜100）元，且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．2.一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；（2）求出y与x之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部3.如图，某工厂D与A，B两地有公路、铁路相连，且A→C→D与B→E→D距离相等，BE=2CD，C→D→E的距离为120千米，A→C→D比C→D→E的距离远10千米．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，全部制成产品后（加工过程中有材料损耗），以每吨8000元把全部产品运到B地销售．已知公路运输费用为1.5元/吨•千米，铁路运输费用为1.2元/吨•千米，这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运输97200元．请回答下列问题：（1）设该工厂从A地购买了x吨原料，运往B地的产品为y吨，根据题意，完成表格的填空：（2）试确定x，y的值，并求出这批产品全部销售后所获得的利润（利润=售价﹣原料成本﹣运输费用）4.现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：（1）求这两种货车各用多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费 5.为增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市自1月1日起对市区民用水价格进行调整，实行阶梯式水价，调整后的收费价格如下表所示：（1）若小亮家1月份的用水量是7m3，直接写出小亮家1月份的电费；（2）若调价后每月支出的水费为y（元），每月的用水量为x（m3），求y与x之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；（3）若小亮家2、3月份共用水16m3（3月份用水量2月份），共缴费26元，问小亮家2、3月份的用水量各是多少？6.小颖到运动鞋店参加社会实践活动，鞋店经理让小颖帮助解决以下问题：运动鞋店准备购进甲乙两种运动鞋，甲种每双进价80元，售价120元；乙种每双进价60元，售价90元，计划购进两种运动鞋共100双，其中甲种运动鞋不少于65双．（1）若购进这100双运动鞋的费用不得超过7500元，则甲种运动鞋最多购进多少双？（2）在（1）条件下，该运动鞋店在6月19日“父亲节”当天对甲种运动鞋以每双优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种运动鞋价格不变，请写出总利润w与a的函数关系式，若甲种运动鞋每双优惠11元，那么该运动鞋店应如何进货才能获得最大利润？7.某服装店购进10套A服装和20套B服装的费用为2000元，20套A服装和10套B服装的费用为2200元．（1）求每套A服装和B服装的进价；（2）该商店计划一次购进两种款式的服装共100套，其中A款进货量不少于65套，进货费用不超过7500元，计划A每套售价120元，B每套售价90元，设购进A款x套，这100套的销售总利润为y元．①求y与x的函数关系式；②该商店购进A、B各多少套，才能使销售利润最大？（3）若实际进货时，厂家只对A款出厂价上调m（0＜m＜20）元，若商店保持A、B两种的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，直接设计出使这100套服装销售总利润最大的进货方案．8.为了迎接“五•一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元．（1）若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？（2）该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润（利润=售价﹣进价）不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a（0＜a＜20）元出售，乙种服装价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 一次函数的应用答案1.分析（1）设每部A型手机的销售利润为x元，每部B型手机的销售利润为y元，根据题意列出方程组求解；（2）①据题意得，y=﹣50n+16500，②利用不等式求出n的范围，又因为y=﹣50x+16500是减函数，所以n取37，y取最大值；（3）据题意得，y=150（110﹣n）+（100+m）n，即y=（m﹣50）n+16500，分三种情况讨论，①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小，②m=50时，m﹣50=0，y=16500，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．解：（1）设每部A型手机的销售利润为x元，每部B型手机的销售利润为y元，根据题意，得：，解得：，答：每部A型手机的销售利润为150元，每部B型手机的销售利润为100元；（2）①设购进B型手机n部，则购进A型手机（110﹣n）部，则y=150（110﹣n）+100n=﹣50n+16500，其中，110﹣n≤2n，即n≥36，∴y关于n的函数关系式为y=﹣50n+16500（n≥36）；②∵﹣50＜0，∴y随n的增大而减小，∵n≥36，且n为整数，∴当n=37时，y取得最大值，最大值为﹣50×37+16500=14650（元），答：购进A型手机73部、B型手机37部时，才能使销售总利润最大；（3）根据题意，得：y=150（110﹣n）+（100+m）n=（m﹣50）n+16500，其中，36≤n≤80，①当30＜m＜50时，y随n的增大而减小，∴当n=37时，y取得最大值，即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大；②当m=50时，m﹣50=0，y=16500，即商店购进B型电脑数量满足36≤n≤80的整数时，均获得最大利润；③当50＜m＜100时，y随n的增大而增大，∴当n=80时，y取得最大值，即购进A型手机30部、B型手机80部时销售总利润最大．2.解：（1）60﹣x﹣y；（2）由题意，得900x+1200y+1100（60﹣x﹣y）=61000，整理得y=2x﹣50．（3）①由题意，得P=1200x+1600y+1300（60﹣x﹣y）﹣61000﹣1500，P=1200x+1600y+78000﹣1300x﹣1300y﹣61000﹣1500，P=﹣100x+300y+15500，P=﹣100x+300（2x﹣50）+15500，整理得P=500x+500．②购进C型手机部数为：60﹣x﹣y=110﹣3x．根据题意列不等式组，得，解得29≤x≤34．∴x范围为29≤x≤34，且x为整数．∵P是x的一次函数，k=500＞0，∴P随x的增大而增大．∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元．此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部3.解：（1）根据题意，得，解得CD=10，BE=20．则AC=120，DE=110．（2）根据题意，得，解得：．因此，这批产品全部销售后获得的利润为：300×8000﹣400×1000﹣15000﹣97200=1887800（元）． 4.解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18﹣x）辆，根据题意得16x+10（18﹣x）=228，解得x=8，∴18﹣x=18﹣8=10．答：大货车用8辆，小货车用10辆；（2）w=720a+800（8﹣a）+500（9﹣a）+650[10﹣（9﹣a）]=70a+11550，∴w=70a+11550（0≤a≤8且为整数）；（3）由16a+10（9﹣a）≥120，解得a≥5．又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且为整数．∵w=70a+11550，且70＞0，所以w随a的增大而增大，∴当a=5时，w最小，最小值为w=70×5+11550=11900．答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元．5.解：（1）小亮家1月份的电费=5×1+（7﹣5）×2=9（元）；（2）当0＜x≤5时，y=x；当5＜x≤8时，y=1×5+2（x﹣5）=5+2x﹣10=2x﹣5；当x＞8时，y=1×5+2×（8﹣5）+4（x﹣8）=5+6+4x﹣32=4x﹣21；∴y=．（2）设2月份用水am3，3月份用水（16﹣a）m3，∵3月份用水高于2月份用水量，∴16﹣a＞a，∴a＜8，当0＜x≤5时，16﹣a＞11，根据题意得：a+4（16﹣a）﹣21=26，解得：a=＞5，舍去；当5＜x≤8时，8≤16﹣a＜11，根据题意得：2a﹣5+4（16﹣a）﹣21=26，解得：a=6，∴a=6，16﹣a=10．∴该用户2月份用水6m3，3月份用水10m36.解：（1）设购进甲种运动鞋x双，由题意可知：80x+60（100﹣x）≤7500，解得：x≤75．答：甲种运动鞋最多购进75双．（2）因为甲种运动鞋不少于65双，所以65≤x≤75，总利润w=（120﹣80﹣a）x+（90﹣60）（100﹣x）=（10﹣a）x+3000，∵当10＜a＜20时，10﹣a＜0，w随x的增大而减少，∴当x=65时，w有最大值，此时运动鞋店应购进甲种运动鞋65双，乙种运动鞋35双．7.解：（1）设每套A服装的进价为a元，B服装的进价为b元，依题意得：，解得：．答：每套A服装的进价为80元，B服装的进价为60元；（2）①∵购进A款服装x套，则购进B款服装（100﹣x）套，∵进货费用不超过7500元，∴80x+60（100﹣x）≤7500，∴x≤75，∵A款进货量不少于65套，∴65≤x≤75，∴y=（120﹣80）x+（90﹣60）（100﹣x）=0x+3000（65≤x≤75，且x为正整数）．②∵在y=30x+3000中，k=10＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=75时，y取最大值，此时100﹣x=25．故商店购进75套A服装和25套B服装才能使销售利润最大；（3）由已知得：y=（120﹣80﹣m）x+（90﹣60）（100﹣x）=（10﹣m）x+3000，当m＜10时，10﹣m＞0，则购进75套A服装和25套B服装销售利润最大；当m=10时，10﹣m=0，则A、B两种服装随意搭配（65≤A种服装≤75），销售利润一样多；当m＞10时，10﹣m∠0，则购进商店购进65套A服装和35套B服装才能使销售利润最大． 8.解：（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200﹣x）件，根据题意得：180x+150（200﹣x）=32400，解得：x=80，200﹣x=200﹣80=120（件），则购进甲、乙两种服装80件、120件；（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200﹣y）件，根据题意得：，解得：70≤y≤80，又∵y是正整数，∴共有11种方案；（3）设总利润为W元，W=（140﹣a）y+130（200﹣y）即w=（10﹣a）y+26000．①当0＜a＜10时，10﹣a＞0，W随y增大而增大，∴当y=80时，W有最大值，即此时购进甲种服装80件，乙种服装120件；②当a=10时，利润是26000元不符合题意；③当10＜a＜20时，10﹣a＜0，W随y增大而减小．当y=70时，W有最大值，即此时购进甲种服装70件，乙种服装130件．