人教版八年级数学上册《12-3 角的平分线的性质（第2课时）》教学课件PPT初二优秀公开课

人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质（第2课时）导入新知我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？素养目标3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.1.理解角平分线判定定理.探究新知知识点1角平分线的判定叙述角平分线的性质定理.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.回几何语言描述：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.顾∴PD=PE.不必再证全等旧A知P到OA的距离PDDCP是角平分线上的点POP到OB的距离PE.EB探究新知想一想交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？AD角平分线的性质：C角的平分线上的点到角的两边的距离相等.P几何语言：OEB∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.这个结论正确猜想:吗？角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．探究新知猜想证明已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB.AD∴∠PDO=∠PEO=90°，在Rt△PDO和Rt△PEO中，POOP=OP（公共边），PD=PE（已知），E∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.B∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.∴点P在∠AOB的平分线上.探究新知u判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.u应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相A等.Du定理的作用：判断点是否在角平分线上.Cu应用格式：POB∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.E∴点P在∠AOB的平分线上.探究新知素养考点角平分线的判定的应用例如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？O解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm，D即为所求.DSC方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.巩固练习如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3cm，当PD＝_3___cm时，点P在∠AOB的平分线上．3如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则点P是∠ABC的平分线与∠BCD的平分线的交点．探究新知知识点2三角形的内角平分线分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？发现：三角形的三条角平分线相交于一点.探究新知分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？你能证明这个结论吗？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.探究新知证明结论已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，ABC，CA，垂足分别为D，E，F.NDFPM∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.BCE即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.探究新知想一想点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ADFPNM点P在∠A的平分线上.BCE结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.巩固练习如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.BB(1)求点O到△ABC三边的距离和.EPP过点O作ON⊥BC,OE⊥AB,垂ON足分别为点N，点E.C由题意得，ON+OE+OM=12.AADMC巩固练习如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.解：连接OC.BSSSSABCAOCBOCAOBE111PABOEBCONABOMO222N1OM(ABBCOM)2ADMC143264.2探究新知归纳总结存在角平分线1.应用角平分线性质：条件涉及距离问题距离12.联系角平分线性质：面积sch2周长探究新知素养考点利用三角形的内角平分线的性质求值例如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(A)A．110°B．120°C．130°D．140°解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，1所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，12∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，2∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.探究新知方法点拨由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．探究新知角的平分线的性质角的平分线的判定归CC图形纳PP总结OP平分∠AOBPD=PE已知PD⊥OA于DPD⊥OA于D条件PE⊥OB于EPE⊥OB于E结论PD=PEOP平分∠AOB巩固练习到三角形三边距离相等的点是(C)A．三边垂直平分线的交点B．三条高所在直线的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300m，则工厂的位置在哪里？解：作小河与公路夹角的角平分线BM，在BM上截取BP＝1.5cm，则点P即为所求的工厂的位置连接中考如图，已知，BE＝CF，BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF，CE交于点D.求证：AD平分∠BAC.证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE＝DF.∴AD平分∠BAC.课堂检测基础巩固题1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P.AM小区CPONB课堂检测2.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，A((∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．34P又∵PE∥AB，(1(∴∠1＝∠3．2BEDFC同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．课堂检测能力提升题如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．E证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.GC∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.MF又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，ABHD∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.课堂检测拓广探索题如图，直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处?画出它的位置.l1l3l2课堂检测P2l1P1P4P3l3l2课堂小结角的内部到角两边距离相等的点在内容这个角的平分线上角平分线作用判断一个点是否在角的平分线上的判定定理结论三角形的角平分线相交于内部一点课后作业教材作业从课后习题中选取作业内容自主安排配套练习册练习谢谢观看ThankYou!