2022年人教版九年级数学上册导学案：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、导学1.导入课题:如果一个方程的两根之和为1，两根之积为-2，你能说出这个方程吗？今天我们进一步学习一元二次方程根与系数的关系.2.学习目标:知道一元二次方程的根与系数的关系.3.学习重、难点:重点：一元二次方程根与系数的关系.难点：能应用一元二次方程根与系数的关系解决问题.4.自学指导：(1)自学内容：教材第15页到第16页的内容.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：独立探究一元二次方程根与系数的关系.(4)探究提纲：①已知方程x2+px+q=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2=-p，x1x2=q.你是怎么得到的？若方程两根分别为x1，x2.则方程可表示为(x-x1)(x-x2)=0.化简,得x2-(x1+x2)x+x1x2=0.∴x1+x2=-p,x1x2=q.③独立完成例4，说说运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和与两根之积时应注意什么？①把方程化为一般形式，明确二次项系数、一次项系数和常数项的值；②方程必须有实数根.④不解方程，求下列方程两根的和与积.x2-3x=15；3x2+2=1-4x；x1+x2=3，x1+x2=-，x1x2=-15x1x2=5x2-1=4x2+x；2x2-x+2=3x+1.x1+x2=1，x1+x2=2，x1x2=-1x1x2=二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：了解学生探究两个方程的根与系数的关系的方式和易错点.(2)差异指导：指导学生通过比较的方式探究方程x2+px+q=0根与系数的关系,通过直接计算的方式探究方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系.对学习有困难的学生予以指导，并帮他们分析根与系数之间的关系.2.生助生：同桌之间可以互动、研讨.四、强化1.若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则x1+x2=-p,x1x2=q.2.方程ax2+bx+c=0中，在a≠0，b2-4ac≥0的条件下，x1+x2=－,x1x2=.3.运用一元二次方程根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意：(1)先把方程化成一般形式，明确方程的二次项系数，一次项系数和常数项的值，然后直接代入关系式.(2)确定方程的各项系数时一定要包括其符号.(3)只有在一元二次方程有实根的前提下，才能使用根与系数的关系.如果所给一元二次方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？说说运用一元二次方程根与系数的关系时应注意的问题.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习方法、效果及不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)通过从熟知的解法解一元二次方程的过程中探究根与系数的关系，并发现可用求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、发展和出现的过程以及知识的应用.(2)教学过程从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想.(3)教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同学们学习的兴趣.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+，x2=1-，则p=-2，q=-1.2.(10分)已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是-，k＝-7.3.(40分)求下列方程的两根x1，x2的和与积：(1)x2－3x+2=0；(2)5x2+x－5=0；解：x1+x2=3解：x1+x2=-x1x2=2x1x2=-1(3)x2+x=5x+6；(4)7x2－5=x+8.解：方程化为x2-4x-6=0解：方程化为7x2-x-13=0x1+x2=4x1+x2=x1x2=-6x1x2=-4.(10分)已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.解：设其中一个数为x,则另一个数为(8-x).根据题意，得x(8-x)=9.75,整理，得x2-8x+9.75=0.解得x1=6.5,x2=1.5.当x=6.5时，8-x=1.5;当x=1.5时，8-x=6.5,∴这两个数是6.5和1.5.二、综合应用(20分)5.(20分)x1，x2是方程x2－5x－7=0的两根，不解方程求下列各式的值：三、拓展延伸(10分)6.(10分)已知关于x的方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根之和等于两根之积，求m的值.解：设方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根为x1，x2.∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.根据题意得m2=2m+3，解得m1=3,m2=-1.当m=3时，原方程为x2-9x+9=0,b2-4ac=45>0.方程有实数根.当m=-1时，原方程为x2-x+1=0,b2-4ac=-3<0.方程无实数根，此m值舍去.∴m的值为3.