沪科版（2022）九年级数学上册教案：21.2.1二次函数y=ax²的图象和性质

21.2二次函数的图象和性质1.二次函数y=ax2的图象和性质【知识与技能】1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=-x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.【过程与方法】经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.【情感态度】培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.【教学重点】会画y=ax2的图象，理解其性质.【教学难点】结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.一、情景导入，初步认知一次函数y=kx+b和反比例函数（k≠0）图象是什么形状？有哪些性质呢？那么二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.二、思考探究，获取新知1.试着画出y=x2的图象.\n【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程.2.观察二次函数y=x2的图象，回答下列问题.（1）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？（3）当x＜0时，随着x的增大，函数y如何变化？当x＞0时呢？【归纳结论】二次函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称，过坐标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线叫做抛物线.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.3.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2和y=2x2的图象.解：（1）列表.（2）描点、连线.4.探究.（1）观察二次函数y=x2和y=2x2的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象有最高点还是有最低点？图象何时上升、何时下降？（2）你能根据函数y=x2和y=2x2的图象的共同特点，总结出二次函数y=ax2(a＞0)的性质吗？\n【归纳结论】二次函数y=ax2(a＞0)的图象及性质为：5.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2、y=-x2和y=-2x2的图象.仿照上面的表格，总结出y=ax2(a＜0)的性质.6.对比函数y=x2和y=-x2、y=x2和y=-x2、y=2x2和y=-2x2的图象，指出它们的相同与不同之处.7.思考：（1）a＞0与a＜0时，函数y=ax2的图象有什么不同？（2）|a|的大小对函数y=ax2的图象的开口大小有什么影响？（3）二次函数的图象是什么形状？【归纳结论】1.抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点；2.a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；3.a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下.顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.【教学说明】让学生自己去观察分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.\n三、运用新知，深化理解1.已知函数y=(m-2)xm2-7是二次函数，且开口向下，则m=-3.【分析】它是二次函数，所以m2-7=2,得m=±3,且开口向下，所以m-2＜0,得m＜2.即：m=-3.2.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上.【分析】（1）把a的值求出即可；（2）把B的坐标代入，等式成立则是在此抛物线上，否则不在.解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2中得：a=-2.∴解析式为：y=-2x2（2）把（-1，-4）代入y=-2x2中等式不成立，∴点B（-1，-4）不在此抛物线上.3.已知y=(k+2)是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大.（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴.解：（1）由题意，得解得k=2.（2）二次函数为y=4x2，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴.4.已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2.（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.【分析】此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内.解：（1）由题意，得S=C2(C＞0).列表：\n描点、连线，图象如图：（2）根据图象得S=1cm2时，正方形的周长是4cm.（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2.【教学说明】学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，教师更正、强调.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题21.2”中第1、2题.本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣.教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识.整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣.