沪科版（2022）九年级数学上册教案：21.4.1二次函数的应用（1）

21.4二次函数的应用第1课时二次函数的应用（1）【知识与技能】经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验.【过程与方法】经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应用的价值，通过观察、比较、推理、交流等过程，发展获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.【情感态度】通过动手实做及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力.【教学重点】会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题.【教学难点】从几何背景及实际情景中抽象出函数模型.一、情景导入，初步认知问题：某开发商计划开发一块三角形土地，它的底边长100米，高80米.开发商要沿着底边修一座底面是矩形的大楼，这座大楼地基的最大面积是多少？要解决这些实际问题，实际上也就是求面积最大的问题，在数学中也就是求最大值的问题.这节课我们看能否用已学过的数学知识来解决以上问题.【教学说明】通过几个实际情景设置悬念，引入新课.二、思考探究，获取新知探究：在第21.1节的问题中，要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？根据题意，可得，S=x(20-x)\n问题：①这是一个什么函数？②要求最大面积，就是求的最大值.③你会求S的最大值吗？将这个函数的表达式配方，得S=-(x-10)2+100(0＜x＜20)这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，如图，它的顶点坐标是（10,100），所以，当x=10时，函数取最大值，即S最大值=100（m2)此时，另一边长=20-10=10（m)答：当围成的矩形水面边长都为10m时,它的面积是最大为100m2.你能总结此类题目的解题步骤吗？【归纳结论】在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.其步骤为：第一步设自变量；第二步建立函数的解析式；第三步确定自变量的取值范围；第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）.【教学说明】由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值，因此首先和同学们一起复习二次函数最值的求法，对于一般式，要求掌握配方法的同时，也能利用基本结论，对于顶点式，要求能直接说出其最值及取得最值时自变量的值.三、运用新知，深化理解1.教材P37例2.\n2.求下列函数的最大值或最小值.（1）y=2x2-3x-5；（2）y=-x2-3x+4.【分析】由于函数y=2x2-3x-5和y=-x2-3x+4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.解：（1）二次函数y=2x2-3x-5中的二次项系数2＞0，因此抛物线y=2x2-3x-5有最低点，即函数有最小值.因为y=2x2-3x-5=2(x-)2-，所以当x=时，函数y=2x2-3x-5有最小值是-.（2）二次函数y=-x2-3x+4中的二次项系数-1＜0，因此抛物线y=-x2-3x+4有最高点，即函数有最大值.因为y=-x2-3x+4=-(x+)2+，所以当x=-时，函数y=-x2-3x+4有最大值是.3.要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?【分析】先写出函数关系式，再求出函数的最大值.解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，所以0＜x＜10.围成的花圃面积y与x的函数关系式是y＝x(20－2x)，即y＝－2x2＋20x.配方得y＝-2(x－5)2＋50所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50.因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20－2x＝10.所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大.\n4.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.如果设矩形的一边AB=xm，那么当x为多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？5.如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y.（1）用含y的代数式表示AE；（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值.\n解：（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此AE=AC-DF=8-y.（2）由DE∥BC，得，即，所以，y=8-2x，x的取值范围是0＜x＜4.（3）S=xy=x(8-2x)=-2x2+8x=-2(x-2)2+8所以，当x=2时，S有最大值8.【教学说明】应用所学知识解决实际问题，使学生明白数学来源于生活，适用于生活.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题21.4”中第1、2题.在教学中一定要注意学生易错地方：学生往往列出表达式后不根据背景写出自变量的范围；求最值时，只知代入顶点坐标公式，不考虑自变量范围.