沪科版（2022）九年级数学上册教案：21.5.3反比例函数的应用

第3课时反比例函数的应用【知识与技能】1.综合运用一次函数、反比例函数的知识解决有关问题.2.掌握反比例函数中比例系数k的几何意义.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.一、情景导入，初步认知1.正比例函数有哪些性质？2.一次函数有哪些性质？3.二次函数有哪些性质？4.反比例函数有哪些性质？【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究，获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P（-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为,其中，k1,k2是常数，且均不为0.\n由于这两个函数的图象交于P（-3,4），则P（-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式.函数图象如下图：【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数的图象上取两点P（1，6），Q（6，1），过点Ｐ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1=；过点Ｑ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2=；S1与S2有什么关系？为什么？【归纳结论】反比例函数（k≠0）中比例系数k的几何意义：过双曲线（k≠0）上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.三、运用新知，深化理解\n1.已知如图，A是反比例函数的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABC的面积是3，则k的值是（C）A.3B.-3C.6D.-6【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|.解：根据题意可知：S△AOB＝|k|＝3，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k＝6.故选C.2.反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（A）A.B.2C.3D.1【分析】分别过B、A作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论.解：分别过B、A作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥\ny轴，点C为垂足.∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=，∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-=.故选A.3.已知直线y＝x＋b经过点A(3,0)，并与双曲线y=kx的交点为B(－2，m)和C，求k、b的值.解：点A(3,0)在直线y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝－3.一次函数的解析式为：y＝x－3.又因为点B(－2，m)也在直线y＝x－3上，所以m＝－2－3＝－5，即B(－2,－5).而点B(－2,－5)又在反比例函数上，所以k＝-2×(-5)＝10.4.已知反比例函数的图象与一次函数y＝k2x－1的图象交于A(2,1).(1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.【分析】（1）因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值.（2）把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A′是否在这两个函数图象上.解：(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2.1＝2k2－1，k2＝1.所以反比例函数的解析式为：；一次函数解析式为：y＝x－1.\n（2）点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(－2,－1).把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y==-1，所以点A′在反比例函数图象上.把A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝-2－1＝-3，所以点A′不在一次函数图象上.5.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的的图象上.(1)求a的值.(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象.(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围.(4)如果P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小.【分析】(1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值.(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象.(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题.解：(1)反比例函数的图象过点B(a,－3a)，-3a=-，a＝±1，因为a＜0，所以a＝－1.B(－1,3).（2）又因为一次函数图象过点A(0,1)和点B(-1,3).即：一次函数的解析式为y＝－2x＋1.一次函数的图象为：\n(3)从图象上可知，当一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的值为：－1≤x≤1.(4)从图象可知，y随x的增大而减小，又m＋1＞m，所以y1＞y2.或解：当x1＝m时，y1＝-2m＋1；当x2＝m＋1时，y2＝-2×(m＋1)＋1＝-2m－1所以y1－y2＝(－2m＋1)－(－2m－1)＝2＞0，即y1＞y2.6.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点.(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围.【分析】(1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式.\n(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.解：(1)观察图象可知，反比例函数的图象过点A(－2,1)，m＝－2×1＝－2.所以反比例函数的解析式为：.又点B(1,a)也在反比例函数图象上，a=.即B(1,－2).因为一次函数图象过点A、B.所以一次函数解析式为：y＝－x－1.(2)观察图象可知，当x＜－2或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数值.【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，基本题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题21.5”中第7、8题.通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往运用待定系数法.2.观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.