沪科版（2022）九年级数学上册教案：22.1.2比例的性质及黄金分割

第2课时比例的性质及黄金分割【知识与技能】1.理解比例的基本性质.2.能根据比例的基本性质求比值.3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.【过程与方法】经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题.【情感态度】感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法.【教学重点】比例的基本性质.【教学难点】比例的基本性质及运用.一、情景导入，初步认知1.举例说明生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形.如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的像、不同大小的国旗、两把不同大小但都含有30°角的三角尺等.2.美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关.你知道0.618这个比值的来历吗？3.如何求两个数的比值？【教学说明】说明学习本章节内容的重要意义.二、思考探究，获取新知1.阅读与思考题(1)什么是两个数的比？2与-3的比；-4与6的比.如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？\n(2)什么叫做两条线段的比？（3）比与比例有什么区别？【归纳结论】用同一长度单位去度量两条线段a、b，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作a/b或a∶b.例如：a=2.0cm,b=1.5cm.那么a/b=2.0/1.5=4/3.在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段a、b的比等于另外两条线段c、d的比，即a/b=c/d（或a∶b＝c∶d），那么这四条线段叫做成比例线段.简称比例线段．其中a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项.如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a、b、c之间有a∶b=b∶c，那么线段b叫做线段a、c的比例中项.2.思考：（1）如果四条线段a、b、c、d成比例，即a/b=c/d，那么ad＝bc吗？如果ad＝bc，那么a、b、c、d成比例吗？（2）如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d吗？（3）如果a1/b1=a2/b2=…=an/bn，且b1+b2+…+bn≠0,那么(a1+a2+…an)/(b1+b2+…+bn)=a1/b1吗？你能证明上面的三个问题吗？【归纳结论】比例的性质：（1）基本性质：如果a/b=c/d，那么ad＝bc.（b、d≠0）（2）合比性质：如果a/b=d/c，那么(a+b)/b=(c+d)/c.（b、d≠0）（3）等比性质：a1/b1=a2/b2=…=an/bn，且b1+b2+…+bn≠0,那么(a1+a2+…an)/(b1+b2+…+bn)=a1/b1【教学说明】理解比例的性质可以由等式的基本性质推出.3.如图，已知线段AB长度为a，点P是AB上一点，且使AB∶AP=AP∶PB，求线段AP的长和AP∶AB的值.【教学说明】引导学生用方程的思想求解.\n【归纳结论】把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割.分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值叫做黄金数.三、运用新知，深化理解1.教材P67例1、例2.2.若ac=bd，则下列各式一定成立的是()答案：B3.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（）答案：D4.若2x－5y=0，求y∶x与(x+y)∶x的值.解：∵2x-5y=0,∴2x=5y,∴y∶x=2∶5.设x=5k,y=2k,∴(x+y)∶x=(5k+2k)∶2k=72.5.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例.（1）a=16cm,b=8cm,c=5cm,d=10cm;（2）a=8cm,b=5cm,c=6cm,d=10cm.解：（1）a/b=2，d/c=2，则a/b=d/c，所以a、b、d、c成比例.（2）由已知得ab≠cd,ac≠bd,ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例.6.已知a、b、c、d是成比例线段，且a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长.解：因为a、b、c、d是成比例线段，所以有a/b=c/d，即3/2=6/d，解得：d=4,所以线段d的长为4cm.7.已知k=(a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b，求k的值．【分析】解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a+b+c=0这种情况漏掉.解：当a+b+c=0时，a+b=-c，所以k=-c/c=-1；当a+b+c≠\n0时，可以用等比性质k==2；∴k=-1或k=2.【教学说明】在利用等比性质时，一定要注意等比性质成立的条件，千万不能忽视这一点.8.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.（1）求a,b,c;（2）求4a－3b+c的值.解：（1）设a=4k,b=3k,c=2k.∵a+3b－3c=14,∴4k+9k－6k=14,∴7k=14,∴k=2,∴a=8,b=6,c=4.（2）4a-3b+c=32-18+4=18.9.在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为多少米？解：设两地之间的实际距离为x，则：1/2000=5/x,x=5×2000=10000cm=100m.10.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为168cm，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为102cm，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美？(精确到十分位)解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则=0.618,解得：x≈4.8cm.答：她应选择约4.8cm高的高跟鞋看起来更美。故答案为4.8.【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解比例线段的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.\n布置作业:教材“习题22.1”中第1、3题.在学习本节内容之前，学生已理解比例线段的性质，初步掌握了比例线段在几何中的应用.本节课黄金分割是一个新的概念，学生缺少这方面知识的积累，因此教学中在内容选择上，充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割，体现了数学丰富的文化价值.同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识.这节课的不足之处是教学内容比较多，因为时间关系，有关黄金分割的相关计算和应用学生练习得比较少，部分学生对这种类型的题目掌握不好.另外，学生对黄金分割点的证明理解还不到位.