湘教版（2022）八年级数学上册课件：2.4.1线段垂直平分线的性质和判定

第1课时线段垂直平分线的性质和判定22.4线段的垂直平分线\n新课导入如图，人字形屋顶的框架中点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称.线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？\n推进新课AA′Dl如图，人字形屋顶的框架中点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称.如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，12∠1=∠2=90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直AA′.\n推进新课我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.AA′Dl12l是AA′的垂直平分线线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.\n如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB之间有什么关系?作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折）.点A与点B重合线段PA与线段PB重合.PA=PB\n由此得出线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.符号语言：如图，若点P在线段AB的垂直平分线上（AC=BC，PC⊥AB），则PA=PB.C\n试一试如图，∠ACB=90°，DE垂直平分AB，∠CAE=∠EAB，求∠B的度数.DE垂直平分ABAE=BE∠EAB=∠B=∠B∠CAE=∠EAB∠CAE+∠EAB+∠B=90°∠B的度数\n试一试如图，∠ACB=90°，DE垂直平分AB，∠CAE=∠EAB，求∠B的度数.解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B.∵∠CAE=∠EAB，∴∠CAB=2∠B.∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°.∴∠B=30°.\n我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？需要考虑点P是否在线段AB上.\nA情况一当点P在线段AB上时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，BP显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.\n情况二当点P在线段AB外时，如图，因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.C即PC⊥AB，且AC=BC.因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.\n由此得出线段垂直平分线的性质的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.C符号语言：如图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.\n试一试已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC.∠1=∠2EB=EC点E在BC的垂直平分线上∠3=∠4∠1=∠2∠1+∠3=∠2+∠4AB=AC点A在BC的垂直平分线上\n试一试已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC.证明：∵∠1=∠2，∴EB=EC.∴点E在线段BC的垂直平分线上.又∵∠3=∠4，所以∠ABC=∠ACB，∴AB=AC.∴点A也在线段BC的垂直平分线上.∴AD垂直平分BC.\n已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB.同理OB=OC.∴OA=OC.∴点O在AC的垂直平分线上.\n巩固练习1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度数.解：∵ED⊥AB且ED平分AB，∴EA=EB.∴∠B=∠BAE（等边对等角）.又∵∠B=30°，∴∠EAB=30°.∵∠BAC=80°，∴∠CAE=∠CAB－∠EAB=80°－30°=50°.\n2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.证明：∵AC=BC，AD=BD，∴点C，D在线段AB的垂直平分线上.∴CD为线段AB的垂直平分线.∴AO=BO.\n课后小结线段垂直平分线的性质和判断\n课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.