湘教版（2022）八年级数学上册教案：2.2第3课时 证明与反证法

第3课时证明与反证法【知识与技能】了解证明的含义.【过程与方法】通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力.【情感态度】让学生体验从实验几何向推理几何的过渡.【教学重点】证明的含义和表述格式.【教学难点】如何构造一个反例去证明一个命题是错误的.一、情景导入，初步认知1.一般地，判断一件事情正确或不正确的句子叫做命题，命题分为真命题与假命题.2.说明一个命题是假命题，通常只用找出一个反例，但要说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子.3.判断下列命题的真假（1）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.（真命题）（2）素数不可能是偶数.（假命题）（3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.（假命题）（4）有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.（假命题）（5）若y(1-y)=0，则y=0.（假命题）【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.做一做：采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.\n此时，猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题，要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.【教学说明】在实验几何中，常让学生通过观察、实验和归纳得出结论.增加学生的感官感受.使学生感受到凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，使学生感受到直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，从而让学生理解证明的必要性.2.证明命题“三角形的外角和等于360°”是真命题.已知：如图，∠BAF,∠CBD,∠ACE分别是△ABC的三个外角.求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°证明：由题意得，在△ABC中∠1+∠2+∠3＝180°∵∠BAF+∠1=180°∠CBD+∠2=180°∠ACE+∠3=180°故∠BAF+∠CBD+∠ACE+∠1+∠2+∠3=180°+180°+180°＝540°则∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°【教学说明】引导学生写出证明过程.【归纳结论】证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：①画出图形；②写出已知、求证；③写出证明的过程.3.已知：∠A,∠B,∠C是△ABC的内角.求证：∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.分析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况，如果直接证明，比较困难，因此，我们将从另外一个角度来证明.\n证明：假设∠A,∠B,∠C中没有一个角大于或等于60°.则∠A+∠B+∠C<180°这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.【归纳结论】先假设命题不成立，然后利用命题的条件或结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.三、运用新知，深化理解1.教材P57例1.2.如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，E是AC延长线上一点，连接BE，∠EBC=∠A，求证：BE∥CD证明：∵BC⊥AC(已知)∴∠ACD+∠BCD=90°(垂直的定义)∵CD⊥AB(已知)∴∠A+∠ACD=90°（直角三角形的两锐角和为90°）∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）又∵∠EBC=∠A（已知）∴∠EBC=∠BCD∴BE∥CD（内错角相等，两直线平行）3.已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分线，BH是∠ABC的角平分线,∠A=58°.求∠H的度数.解：∵∠A=58°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-58°=122°…①，∵BH是∠ABC的角平分线，∴∠HBC=12∠ABC，∵∠ACD是△ABC的外角，CH是外角∠ACD的角平分线，∴∠ACH=12（∠A+∠ABC），∴∠BCH=∠ACB+∠ACH=∠ACB+12（∠A+∠ABC），\n∵∠H+∠HBC+∠ACB+∠ACH=180°，∴∠H+12∠ABC+∠ACB+12（∠A+∠ABC）=180°，即∠H+（∠ABC+∠ACB）+12∠A=180°…②，把①代入②得，∠H+122°+12×58°=180°，∴∠H=29°.4.已知：三条直线a、b、c，其中a∥b，b∥c，求证：a∥c.解：假设a与c不平行，那么就会相交.因为a∥b，所以a，b永不相交，同理，b，c也永不相交，又因为a、b、c在同一平面内，且互不重合，所以a与c不会相交，即假设不成立.所以a∥c.5.已知：如图，P是△ABC内任一点，求证：∠BPC＞∠A．证明：如图，延长BP交AC于D．∵∠BPC＞PDC，∠PDC＞∠A，∴∠BPC＞∠A．6.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°，∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．\n∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.【教学说明】巩固本节课所学的内容.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题2.2”中第6、7、9题.反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后续的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理地去运用.整节课的教学设计适合学生学习，切合教材与新课程要求，教学流程设计清晰流畅，教学效果良好.但课堂容量较大，学生预习不够充分，时间不够用，学生没有足够的时间去思考，在一些环节的处理上存在粗糙的问题，有些问题还没有进行深层次地挖掘，下一节课还需进一步巩固提高.