湘教版（2022）八年级数学上册教案：2.5第6课时 全等三角形的性质和判定的应用

第6课时全等三角形的性质和判定的应用【知识与技能】会综合用各种方法判定两个三角形全等.【过程与方法】经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力.【情感态度】学生积极参与三角形全等条件的探究过程，从中体会证明与成功的快乐，增强学习好数学的自信心，体会三角形全等条件在现实生活中的应用价值.【教学重点】三角形全等的判定方法的综合运用.【教学难点】作辅助线构建全等三角形.一、情景导入，初步认知如图，两车从路段AB的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，若CE⊥AB，DF⊥AB，则C，D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？二、合作探究，探索新知如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．【归纳结论】（1）先证明BC=EF，再根据S.S.S.即可证明；（2）AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明.三、运用新知，深化理解1.教材P86例10.\n2.将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连结D1B，求∠E1D1B的度数.【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，由旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C-∠CD1E1计算即可得解．解：∵∠CED=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，∴∠BCE1=15°，∴∠BCD1=60°-15°=45°，∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△CD1B中，AC=CB,∠A=∠BCD1,AB=CD1,∴△ABC≌△CD1B（S.A.S.），∴∠BD1C=∠ABC=45°，∴∠E1D1B=∠BD1C-∠CD1E1=45°-30°=15°．3.如图，已知BE与CD相交于点A，M为BC的中点，∠1=∠2，AB=AC，求证：∠DBM=∠ECM．【分析】连结MA，可证得△ABM≌△ACM，可得出∠MAB=∠MAC，∠\nMAD=∠MAE，由题干中的条件可得∠AMD=∠AME，可证得△AMD≌△AME，得MD=ME，再证明△MBD≌△MCE即可得出结论．证明：如图，连结MA.∵AB=AC，M为BC中点.在△ABM和△ACM中，AB=AC,BM=CM,AM=AM,∴△ABM≌△ACM(SSS),∴∠MAB=∠MAC，∠AMB=∠AMC，∴∠DAM=∠EAM，∵∠1=∠2，∴∠AMD=∠AME.在△AMD和△AME中，∠DAM=∠EAM,AM=AM,∠AMD=∠AME,∴△AMD≌△AME（ASA），∴MD=ME，在△MBD和△MCE中，MD=ME,∠1=∠2,MB=MC,∴△MBD≌△MCE（SAS），∴∠DBM=∠ECM．4.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围.【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BA，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出AE的取值范围，然后由AE=2AD即可求解．解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连结CE.∵AD是BC边上的中线，\n∴BD=CD，在△ABD和△ECD中,BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，∵AB=3，AC=4，∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∵AE=2AD，∴0.5＜AD＜3.5.5.如图①，AB∥CD，BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．求证：BC=AB+CD．分析：有两种思路：①截长：在BC上取点F，使BF=BA，连结EF，先证△ABE≌△FBE，得出∠A=∠BFE，再证△CDE≌△CFE，就可以得出CD=CF，即可证明结论．②补短：延长BA、CE交于F,证明△FBE≌△CBE,△FAE≌△CDE即可得出结论.证明：方法一：截长.如图②，在BC上取点F，使BF=BA，连结EF，∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4．在△ABE和△FBE中，AB=FB，∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（S.A.S.），\n∴∠A=∠5．∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180．∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D．在△CFE和△CDE中，∠6=∠D，∠3=∠4，CE=CE，∴△CFE≌△CDE（AAS），∴CF=CD．∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD．方法二：补短.如图③，延长BA、CE交于点F.∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°.∵BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠BCD.∴∠2+∠3=(∠ABC+∠BCD)=90°.∴∠BEC=90°.在△BEC和△BEF中，∠2=∠1，BE=BE，∠BEC=∠BEF=90°，∴△BEC≌△BEF（A.S.A.），∴BC=BF，EC=EF.∵AB∥CD，∴∠7=∠D，∠F=∠4.在△EAF和△EDC中，∠7=∠D，\n∠F=∠4，EF=EC，∴△EAF≌△EDC（A.A.S.），∴FA=CD.∴BC=BF=BA+AF=AB+CD.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题2.5”中第6、7题.本课时教学应突出学生主体性原则，即通过探究学习，指引学生独立思考，自主得到结果，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验，激发学生探究的激情.