湘教版（2022）九年级数学上册教案：3.1.2成比例线段

3.1.2成比例线段【知识与技能】1.掌握比例线段的概念及其性质.2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例.3.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.【过程与方法】能够灵活运用比例线段的性质解决问题.【情感态度】感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法.【教学重点】能够灵活运用比例线段的性质解决问题.【教学难点】掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题.一、情景导入，初步认知1.1、2、4、8这四个数成比例吗？如何确定四个数成比例？2.比例基本性质是什么？【教学说明】复习回顾，引入新课.二、思考探究，获取新知1.如下图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC与△A′B′C′，它们的顶点都在格点上，试求出线段AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长度，并计算AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的长度的比值.\n【归纳结论】如果选用同一长度单位量得线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比mn叫做这两条线段的比，记作：或AB∶A′B′=m∶n；如果的比值为k，那么上述式子也可以写成或AB∶A′B′=k.【教学说明】注意：（1）两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；（2）度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.（3）表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.2.什么是比例线段？【归纳结论】在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段.3.能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与线段AB的比呢？即，使得：【教学说明】引导学生用一元二次方程的知识解决问题.4.根据上面的计算我们可以得知存在这样的一个点C.即：【归纳结论】如果线段AB上有一点C，且，那么线段AB被点C黄金分割.点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比.黄金分割比的数值近似为0.618.【教学说明】学生通过“计算、证明”\n等活动，得到并加深对黄金分割的理解.三、运用新知，深化理解1.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例.（1）a=16cm，b=8cm，c=5cm，d=10cm；（2）a=8cm，b=5cm，c=6cm，d=10cm.解：（1）所以a、b、d、c成比例.（2）由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例.2.若ac=bd，则下列各式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】B3.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（）A．B．C．D．或【答案】D4.若2x-5y=0，求y∶x与的值.解：略.5.已知，成立吗？解：由，得a=3b，c=3d.所以，，\n因此.6.已知a∶b∶c=4∶3∶2，且a+3b-3c=14.（1）求a，b，c；（2）求4a-3b+c的值.解：（1）设a=4k，b=3k，c=2k.∵a+3b-3c=14，∴4k+9k-6k=14，∴7k=14，∴k=2，∴a=8，b=6，c=4.（2）4a-3b+c=32-18+4=18.7.在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15cm，AC=10cm，且BD∶DC=AB∶AC，BD-DC=2cm，求BC.解：略.8.在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为多少米？解：设两地之间的实际距离为x，则：，x=5×2000=10000cm=100m9.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.65米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.00米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则，解得：x≈5.2cm.故她应该选择约5.2cm的高跟鞋看起来更美.10.已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.解：作法：（1）延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥\nAB，在BG上取点D，使BD＝AB，（2）连接AD，在AD上截取DE＝DB，（3）在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点.【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解比例线段的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业∶教材“习题3.1”中第2、3、4题.在学习本节内容之前，学生已理解比例线段的性质，初步掌握了比例线段在几何中的应用.本节课学习的黄金分割是一个新的概念，学生缺少这方面知识的积累，因此教学中在内容选择上，充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割，体现数学丰富的文化价值.同时，在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识.这节课的不足之处是教学内容比较多，因为时间关系，有关黄金分割的相关计算和应用学生练习得比较少，部分学生对这种类型的题目掌握不好.另外学生对黄金分割点的证明理解还不到位.