湘教版（2022）九年级数学上册教案：4.3 解直角三角形

4.3解直角三角形【知识与技能】使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．【过程与方法】通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．【情感态度】渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．【教学重点】直角三角形的解法．【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用.一、情境导入，初步认识1.什么是锐角三角函数？2.你知道哪些特殊的锐角三角函数值？【教学说明】通过复习，使学生便于应用.二、思考探究，获取新知1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边、角之间的关系：(2)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)\n(3)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．3.做一做：在直角三角形ABC中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？4.做一做：在直角三角形ABC中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？5.想一想：在直角三角形ABC中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5.求∠B、b、c.解：∵∠B=90°-∠A=60°，又∵tanB=，∴b=a·tanB=5·tan60°=.∵sinA=，∴c==10.【归纳结论】像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.7.在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边.【教学说明】我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情.三、运用新知，深化理解1.见教材P122例2.2.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝，∠A＝60°，求∠B、a、b．解：a＝csin60°＝·＝12，\nb＝ccos60°＝·＝，∠B＝30°.3.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝，∠A＝30°，求∠B、b、c.解：∠B＝90°-30°＝60°，b＝atanB＝·＝，c＝=.(另解：由于＝sinA，所以c＝).4.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝，a＝，求∠A、∠B、b.由此可知，∠A＝45°，∠B＝90°-45°＝45°，且有b＝a＝.5.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝6，b＝，求∠A、∠B、c.解：由于tanA＝，所以tanA＝=，则∠A＝60°，∠B＝90°-60°＝30°，且有c＝2b＝2×＝6.在直角三角形ABC中，锐角A为30°\n，锐角B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长．解：由已知可得△BCD是含30°的直角三角形，所以CD＝BD＝×8＝4（cm），△ADB是等腰三角形，所以AD＝BD＝8（cm），则有AC＝8＋4＝12（cm），BC＝ACcot60°＝12×=（cm），AB＝.7.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为多少？分析：先根据图形翻折变换的性质得出BC=BD，∠BDE=∠C=90°，再根据AD=BD可知AB=2BC，AE=BE，故∠A=30°，由锐角三角函数的定义可求出BC的长，设BE=x，则CE=6-x，在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长.解：∵△BDE是由△BCE翻折而成，∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°，∵AD=BD，∴AB=2BC，AE=BE，∴∠A=30°，在Rt△ABC中，∵AC=6，∴BC=AC·tan30°=6×=，设BE=x，则CE=6-x，\n在Rt△BCE中，∵BC=，BE=x，CE=6-x，BE2=CE2+BC2,∴x2=（6-x）2+（）2，解得x=4．即BE=4．【教学说明】解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了针对各种条件的练习，培养学生熟练解直角三角形和运算的能力.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业：教材“习题4.3”中第1、3、4题.解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．