21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案（人教版九年级数学上）

21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标【知识与技能】1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.【过程与方法】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用.【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系.\n五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.一元二次方程的求根公式是什么？（出示课件2）学生口答：2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？学生口答：对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0).b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac<0时,方程无实数根.想一想：方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？（二）探索新知探究根与系数的关系填表，观察、猜想（出示课件4）方程x1,x2x1+x2x1·x2x2-2x+1=0x2+3x-10=0x2+5x+4=0你发现什么规律？\n①用语言叙述你发现的规律；②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.出示课件5：若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？教师引导：归纳结论：（出示课件6）如果关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则:x1+x2=-p,x1·x2=q.教师问：如果方程二次项系数不为1呢?（出示课件7）方程x1,x2x1+x2x1·x22x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律.①用语言叙述发现的规律；②ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律.师生共同归纳：（出示课件8）一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：\n若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2，则x1+x2=-,x1·x2=.这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.请同学用求根公式证明.（一生板演）教师问：在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？强调：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.出示课件9,10：例1利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0.学生思考后，共同解答如下：解：⑴这里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1·x2=6.⑵这里a=2,b=-3,c=-2.Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么\nx1+x2=,x1·x2=-1.出示课件11：不解方程，求方程两根的和与两根的积：①x2+3x-1=0；②2x2-4x+1=0.学生自主思考并解答.解：⑴x1+x2=-3,x1·x2=-1.⑵原方程可化为：x1+x2=2,x1·x2=.出示课件12：例2已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.学生思考后，共同解答如下：解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2.所以：x1·x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=－7.答：方程的另一个根是k=－7.出示课件13：已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.学生自主思考并解答.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0.解这方程，得k=-2.\n由根与系数关系，得x1·2＝3k,即2x1＝－6.∴x1＝－3.答：方程的另一个根是－3,k的值是－2.出示课件14：例3不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.师生共同分析：将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1·x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.师生共同解答如下：解：根据根与系数的关系可知：∴出示课件15：设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:⑴x1+x2=,(2)x1·x2=,(3),(4).学生自主解答后，口答：⑴4；⑵1；⑶12；⑷14.出示课件16：例4设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且\nx12+x22=4，求k的值.教师分析：将x1+x2=2(k-1),x1x2=k2，代入x12+x22=4可求出k值.此时需用Δ=b2-4ac来判断k的取值，这是本例的关键.解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0即-8k+4≥0.∴由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,解得k1=0,k2=4.经检验，k2=4不合题意，舍去.师生共同总结归纳如下：（出示课件17）教师强调：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.出示课件18：当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.\n学生自主思考并解答.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1.∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2，由根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=.∴（）2-4×=1.解得k1=9,k2=-3.当k=9或-3时，由于Δ＞0，∴k的值为9或-3.（三）课堂练习（出示课件19-25）1.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　）A．﹣2B．1C．2D．02.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.3.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p=,q=.4.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.5.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.6.设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2)7.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.8.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.\n（2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣=1求m的值.参考答案：1.D2.；-33.1；-24.解：将x=1代入方程中：3-19+m=0.解得m=16,设另一个根为x1,则：1×x1=∴x1=5.解：(1)根据根与系数的关系得(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；（2）因为k=-7,所以则：6.解:根据根与系数的关系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=（2）7.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1,由根与系数的关系，得\n∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,∴∴∵△＞0,∴8.解：(1)方程有实数根，＝（-2m）2-4m（m-2）＝8m≠0∴m的取值范围为m＞0.(2)∵方程有实数根x1,x2，∴∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，∴解得m=8.经检验m=8是原方程的解．（四）课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.\n（五）课前预习预习下节课（21.3）第1课时的相关内容。七、课后作业1.教材16页练习2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.从熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系，并发现可用系数表示的求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、发展和出现的过程，注重了知识的应用.2.教学过程贯穿以旧引新，从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想.3.教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同学们学习的兴趣.\n