22.1.4 二次函数y=ax² bx c的图象和性质 （第2课时）（人教版九年级数学上）

22.1二次函数的图象和性质22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第2课时）一、教学目标【知识与技能】利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式.【过程与方法】通过介绍二次函数的三点式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选择恰当的解析式求法.【情感态度与价值观】经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。四、教学重难点【教学重点】待定系数法求二次函数的解析式.【教学难点】选择恰当的解析式求法.五、课前准备课件9/9\n六、教学过程（一）导入新课教师问：已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式.（出示课件2）学生板演：解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），所以解得k=3，b=-6.一次函数的解析式为y=3x-6.教师问：如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？（二）探索新知探究一用三点式求二次函数的解析式教师问：回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？（出示课件4）学生答：求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a、b、c的值.教师问：我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？（出示课件5）生猜想：两个.师举例：已知一个二次函数的图象9/9\n过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式.师生共同解决如下：解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由已知得：教师问：三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？生答：不能.教师问：对于二次函数，那么由几个点的坐标可以确定二次函数？生答：三个.师举例：已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)，求这个函数的解析式.（出示课件6）师生共同解决如下：解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由已知得：教师问：三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？生答：能解.生板演解题过程，教师加以指导.（出示课件7）由②-①可得：2b=-6，b=-3.由③-①可得：3a+3b=-3，a+b=-1，a=2.将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10，c=5.9/9\n∴解方程组得：a=2,b=-3,c=5.出示课件8：例已知一个二次函数的图象过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3).三点，求这个函数的解析式.学生自主思考后，师生共同解决如下：解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(-1，0),B(4，5),C(0，-3).∴解得a＝1，b＝-2，c＝-3.∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.出示课件9：教师归纳：求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值.若已知条件是二次函数图像上三个点的坐标，可设解析式为y=ax2+bx+c,列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式.已知一个二次函数的图象过点A(0,0),B(-1,-1),C(1,9)三点，求这个函数的解析式.（出示课件10）学生独立思考后，自主解决.解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(0,0),B(-1,-1),C(1,9).∴解得a＝4，b＝5，c＝0.9/9\n∴抛物线的解析式为y＝4x2+5x.探究二用交点式y=a(x-x1)(x-x2)求二次函数解析式出示课件11：一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当x＝-2与时，y＝0，求这个二次函数的解析式.生独立思考后，师生共同分析如下：教师问：两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？学生答：方法一.出示课件12：例已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.学生自主思考后，找一生板演，教师加以指导.解:∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)，∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3).∵图象过点C(0,3),∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1.∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.教师总结：交点式求二次函数的解析式：若已知抛物线与x轴的两交点坐标，可设解析式为y=a（x-x1）（x-x2），把另一点的坐标代入，解关于9/9\na的一元一次方程.出示课件13：已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.生独立思考后，自主解决.解:∵图象与x轴交于A(-1,0)，B(1,0)，∴设函数解析式为y＝a(x+1)(x-1).∵图象过点M(0,1),∴1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1.∴二次函数解析式为y=-1(x+1)(x-1),故所求的抛物线解析式为y=－x2+1.探究二用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式教师问：图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？（出示课件14）学生思考后，出示课件15：例已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.学生自主思考后，师生共同解决.解：∵抛物线顶点为(1,-4),∴设其解析式为y=a(x-1)2-4，又抛物线过点(2,-3)，则-3=a(2-1)2-4，则a=1.∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.教师归纳：若已知顶点坐标和一点，可设解析式为y=a(x-h)2+k，将另一点坐标代入解关于a的一元一次方程.（出示课件16）9/9\n出示课件17：已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的关系式.学生对照例题，自主解决.解：∵抛物线顶点为(-1,2)，∴设其解析式为y=a(x+1)2+2，又抛物线过点(1,-3)，则3=a(1+1)2+2，则a=.故这个二次函数的关系式是y=(x+1)2+2.（三）课堂练习（出示课件18-21）1.已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），求该函数的关系式.2.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为()A.y=x2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-23.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为.4.如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.9/9\n5.已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.参考答案：1.解：设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1.∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4即y=﹣x2﹣2x+3.2.D3.y=-7(x-3)2+44.解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3,知抛物线一定过点(-2,0).设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),∵抛物线过点(0,4),∴4=a(0+2)(0-8),∴这个抛物线的解析式为5.解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0),设解析式为y=a(x-5)(x+3),∵抛物线过点(1,16)，9/9\n∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.（四）课堂小结设二次函数的解析式有几种情况?（五）课前预习预习下节课（22.2）的相关内容.七、课后作业1.教材习题22.1第10、12题.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时的主要内容是利用待定系数法求二次函数解析式，教师应让学生体会求解过程，关键是让学生学会如何运用三点式，顶点式，交点式等来求解析式.9/9