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湘教版九下数学2.5.4三角形的内切圆教案
湘教版九下数学2.5.4三角形的内切圆教案
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2.5.4 三角形的内切圆1.了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念;(重点)2.能运用三角形内切圆、内心的知识进行有关的计算.(难点)一、情境导入新农村建设中,张村计划在一块三角形场地中建一个最大面积的圆形花园,请你设计一个建筑方案.二、合作探究探究点一:三角形的内切圆的相关计算【类型一】利用三角形的内切圆求角的度数如图,⊙O内切于△ABC,切点D,E,F分别在BC,AB,AC上.已知∠B=45°,∠C=65°,连接OE,OF,DE,DF,那么∠EDF等于( )A.40°B.55°C.65°D.70°解析:∵∠A+∠B+∠C=180°,∠B=45°,∠C=65°,∴∠A=70°.∵⊙O内切于△ABC,切点分别为D、E、F,∴∠OEA=∠OFA=90°,∴∠EOF=360°-∠A-∠OEA-∠OFA=110°,∴∠EDF=∠EOF=55°.故选B.方法总结:解决本题的关键是利用三角形内切圆的性质,求出∠EOF的度数.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】求三角形的内切圆的半径如图,⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则⊙O的半径为________.,解析:如图,连接OD、OC.由等边三角形的内切圆的圆心即为底边上的中线,底边上的高和顶角的平分线的交点,所以∠OCD=30°,OD⊥BC,所以CD=BC,OC=2OD.又由BC=2,则CD=1.在Rt△OCD中,根据勾股定理得OD2+CD2=OC2,所以OD2+12=(2OD)2,所以OD=.即⊙O的半径为.故答案为.方法总结:等边三角形的内切圆的圆心为等边三角形中线、高、角平分线的交点,它到等边三角形三边的距离相等.而在解直角三角形内切圆的相关问题时,经常要用到“圆心到切线的距离等于半径”这条性质.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】求三角形的周长如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E,过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r,则Rt△MBN的周长为( )A.rB.rC.2rD.r解析:连接OD,OE,∵⊙O是Rt△ABC的内切圆,∴OD⊥AB,OE⊥BC.又∵MD,MP都是⊙O的切线,且D、P是切点,∴MD=MP,同理可得NP=NE,∴CRt△MBN=MB+BN+NM=MB+BN+NP+PM=MB+MD+BN+NE=BD+BE=2r.故选C.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二:三角形的内心的相关证明与计算如图,已知E是△ABC的内心,∠A的平分线交BC于点F,且与△ABC的外接圆相交于点D.(1)求证:BD=ED;(2)若AD=8cm,DF∶FA=1∶3.求DE的长.解析:(1)求证BD=ED,可利用等角对等边证明.只要证明∠DBE=∠DEB即可;(2)要求DE的长,可转化为求BD的长.利用△BDF∽△ADB,用比例式即可求解.(1)证明:∵E是△ABC的内心,∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD.又∵∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD.∴∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD.即∠DBE=∠DEB,故BD=ED;(2)解:∵AD=8cm,DF∶FA=1∶3,∴DF=AD=×8=2(cm).∵∠CBD=∠BAD,∠D=∠D,∴△BDF∽△ADB,∴=.∴BD2=AD·DF=8×2=16,∴BD=4cm,又∵,BD=DE,∴DE=4cm.方法总结:(1)充分利用内心的意义以及三角形的外角、同弧所对的圆周角来证明角相等,最后利用等角对等边证明线段相等;(2)用相似三角形得比例式,由比例式求解.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计教学过程中,注重引导学生理解和掌握三角形的内切圆和内心的概念和性质,并能进行灵活的运用.明确三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,到三角形三边的距离相等.
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