湘教版九下数学2.2.2第2课时圆周角定理的推论2与圆内接四边形课件
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2.2圆心角、圆周角第2章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时圆周角定理的推论2与圆内接四边形2.2.2圆周角,学习目标1.探索直径所对的圆周角的特征,并能应用其进行简单的计算与证明;(重点)2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质;(重点),导入新课情境引入如图是一个圆形笑脸,给你一个三角板,你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗?,讲授新课圆周角定理的推论2一问题1如图,AC是圆O的直径,那么∠D,∠D1,∠D2的度数分别是多少呢?D1D2这三个角所对弧上的圆心角是∠AOC,而∠AOC=180°,利用圆周角定理,∠D=∠D1=∠D2=90°.问题2如图,若已知∠D=90°,它所对的弦AC是直径吗?是的.,要点归纳圆周角定理的推论2直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.问题3回归到最初的问题,你能确定圆形笑脸的圆心吗?利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角,这样就得到两条直径,那么这两条直径的交点就是圆心.,典例精析例1如图,AC是圆O的直径,∠CAD=60°,点B在圆O上,求∠ABD的度数.B解:∵AC为直径,∴∠ADC=90°.又∠DAC=60°,∴∠C=30°.又∵∠ABD和∠C都是弧AB所对的圆周角,∴∠ABD=∠C=30°.,例2如图,☉O直径AC为10cm,弦AD为6cm.(1)求DC的长;(2)若∠ADC的平分线交☉O于B,求AB、BC的长.B解:(1)∵AC是直径,∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中,,在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,(2)∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B,圆内接四边形的性质二概念学习如图,A,B,C,D是圆O上的四点,顺次连接A,B,C,D四点,得到四边形ABCD,我们把四边形ABCD称为圆内接四边形.这个圆叫作这个四边形的外接圆.,如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,☉O为四边形ABCD的外接圆.(2)当ABCD为一般四边形时,猜想:∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.∠A+∠C=180º,∠B+∠D=180º性质探究(1)当ABCD为矩形时,∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.∠A+∠C=180º,∠B+∠D=180º,试一试证明:圆内接四边形的对角互补.已知,如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,☉O为四边形ABCD的外接圆.求证∠BAD+∠BCD=180°.证明:连接OB、OD.根据圆周角定理,可知12由四边形内角和定理可知,∠ABC+∠ADC=180°,圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的性质要点归纳,OABCCD典例精析例3如图,ABCD是圆O的内接四边形,已知∠BOD=100°,求∠BAD及∠BCD的度数.解:∵圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为弧BD,∠BOD=100°,∵∠BCD+∠BAD=180°,∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-50°=130°.∴∠BAD=∠BOD=100°=50°.,例3已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(1)证明:∵ED=EC,∴∠EDC=∠C,∵∠EDC=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC;,(2)若AB=4,BC=,求CD的长.解:连接AE,∵AB为直径,∴AE⊥BC,由(1)知AB=AC,∴BE=CE=,∵∠CDE=∠B,∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA,∴,∴CE•CB=CD•CA,AC=AB=4,∴=4CD,∴CD=.,1.四边形ABCD是☉O的内接四边形,且∠A=110°,∠B=80°,则∠C=,∠D=.2.☉O的内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠D=.70º100º90º当堂练习,3.如图,∠A=50°,∠ABC=60°,BD是⊙O的直径,则∠AEB等于()A.70°B.110°C.90°D.120°BACBODE,4.如图,C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点,若CA=CD,且∠ACD=40°,则∠CAB=( )A.10°B.20°C.30°D.40°B,5.如图,△ABC内接于⊙O,AB=BC,∠ABC=120°,AD为⊙O的直径,AD=6,那么AB的值为( )A.3B.C.D.2A,6.在⊙O中,∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A.OABDC解:∵∠CBD=30°,∠BDC=20°∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°∴∠A=180°-∠C=50°(圆内接四边形对角互补),变式:已知∠OAB等于40°,求∠C的度数.ABCOD,7.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证:.ABCDE∵AB是圆的直径,点D在圆上,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD,∴AD平分顶角∠BAC,即∠BAD=∠CAD,解:BD=CD.理由是:连接AD,,课堂小结2.圆内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补.1.圆周角定理的推论2:直径所所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
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