湘教版九下数学2.3垂径定理课件
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2.3垂径定理第2章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结,学习目标1.进一步认识圆,了解圆的对称性.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论,并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.(重点)3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.(难点),导入新课问题引入问题1圆是轴对称图形吗?问题2它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?圆是轴对称图形其对称轴是直径所在的直线无数条,问题3你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?导入新课,讲授新课垂径定理及其推论一做一做:剪一个圆形纸片,在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P,再将纸片沿着直径CD对折,比较AP与PB,AC与CB,你能发现什么结论?⌒⌒·OABDP互动探究C,线段:AP=BP弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下:把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合,AP与BP重合,AC和BC,AD与BD重合.⌒⌒⌒⌒·OABDPC想一想:能不能用所学过的知识证明你的结论?,·OABDCP试一试已知:在☉O中,CD是直径,AB是弦,AB⊥CD,垂足为P.求证:AP=BP,AC=BC,⌒⌒⌒⌒AD=BD.证明:连接OA、OB、CA、CB,则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵AB⊥CD,∴AP=BP,⌒⌒AC=BC.∴AD=BD,⌒⌒∠AOC=∠BOC.从而∠AOD=∠BOD.,垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是直径,CD⊥AB,(条件)∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.(结论)归纳总结推导格式:温馨提示:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是,请说明为什么?是不是,因为没有垂直是不是,因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE议一议,垂径定理的几个基本图形:ABOCDEABOEDABODCABOC,例1证明:圆的两条平行弦所夹的弧相等.已知:如图,⊙O中弦AB∥CD,求证:AC=BD.证明:作直径MN⊥AB.∵AB∥CD,∴MN⊥CD.则AM=BM,CM=DMAM-CM=BM-DM∴AC=BD⌒⌒.MCDABON⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒典例精析,例2如图,☉O的弦AB=8cm,直径CE⊥AB于D,DC=2cm,求半径OC的长.·OABECD解:连接OA,∵CE⊥AB于D,∴设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理,得解得x=5,即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2,,如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧)结论与题设交换一条,命题是真命题吗?①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗?思考探索:,·OABDCP已知:在☉O中,CD是直径,AB是弦(不是直径),与CD交于点P,且P是AB的中点.求证:AB⊥CD,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.试一试证明:连接OA、OB、CA、CB,则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵P是AB的中点,∴AB⊥CD.即AP=BP,∵CD是直径,CD⊥AB,∴⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.,思考:“不是直径”这个条件能去掉吗?如果不能,请举出反例.平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明:圆的两条直径是互相平分的.归纳总结,垂径定理的本质是:满足其中任两条,必定同时满足另三条(1)一条直线过圆心(2)这条直线垂直于弦(3)这条直线平分不是直径的弦(4)这条直线平分不是直径的弦所对的优弧(5)这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧,例3如图,在⊙O中,点C是AB的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB=12,CD=2.求的⊙O半径.典例精析解:连接AO,∵点C是AB的中点,半径OC与AB相交于点D,∴OC⊥AB,∵AB=12,∴AD=BD=6,设⊙O的半径为R,∵CD=2,∴在Rt△AOD中,由勾股定理得:AO2=OD2+AD2,即:R2=(R-2)2+62,∴R=10即,⊙O的半径为10.,你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?试一试垂径定理的实际应用二,ABOCD解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D,与弧AB交于点C,则D是AB的中点,C是弧AB的中点,CD就是拱高.∴AB=37m,CD=7.23m.∴AD=AB=18.5m,OD=OC-CD=R-7.23.,解得R≈27.3(m).即主桥拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2∵,在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d(圆心到弦的距离),弓形高h的计算题,常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系:弓形中重要数量关系ABCDOhrdd+h=rOABC·,如图a、b,一弓形弦长为cm,弓形所在的圆的半径为7cm,则弓形的高为________.CDCBOADOAB图a图b2cm或12cm练一练,例4如图,某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=6m,弓形的高EF=2m,现设计安装玻璃,请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径.典例精析解:∵弓形的跨度AB=6m,EF为弓形的高,∴OE⊥AB于F,∴AF=AB=3m,∵设AB所在圆O的半径为r,弓形的高EF=2m,∴AO=r,OF=r-2,在Rt△AOF中,由勾股定理可知:AO2=AF2+OF2,即r2=32+(r-2)2,解得r=m.即,AB所在圆O的半径为m.,当堂练习1.如图,OE⊥AB于E,若☉O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.16OABE·,2.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形.D·OABCE证明:∴四边形ADOE为矩形,又 ∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.,3.已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。你认为AC和BD有什么关系?为什么?证明:过O作OE⊥AB,垂足为E,则AE=BE,CE=DE。∴AE-CE=BE-DE即AC=BD.O.ACDBE,5.(分类讨论题)已知☉O的半径为10cm,弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.14cm或2cm4.如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为_______.,6.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OCDEF┗设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理,得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.,垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论(“知二推三”)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.两条辅助线:连半径,作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结
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