湘教版九下数学2.5.2第1课时切线的判定课件
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2.5直线和圆的位置关系第2章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时切线的判定2.5.2圆的切线,学习目标1.理解和掌握圆的切线的判定定理;(重点)2.能运用圆的切线的判定定理进行相关的计算和证明.(难点),导入新课情境引入转动雨伞时飞出的雨滴,用砂轮磨刀时擦出的火花,都是沿着什么方向飞出的?都是沿切线方向飞出的.生活中常看到切线的实例,如何判断一条直线是否为切线呢?学完这节课,你就都会明白.,讲授新课切线的判定一问题1如图,OA是⊙O的半径,经过OA的外端点A,作一条直线l⊥OA,圆心O到直线l的距离是多少?直线l和⊙O有怎样的位置关系?合作探究ll,圆心O到直线l的距离等于半径OA.由圆的切线定义可知直线l与圆O相切.ll,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径BC⊥OA于ABC为⊙O的切线OABC切线的判定定理应用格式知识要点,下列各直线是不是圆的切线?如果不是,请说明为什么?O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是,因为没有垂直.(2),(3)不是,因为没有经过半径的外端点A.在此定理中,“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”,两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.注意判一判,判断一条直线是一个圆的切线有三个方法:1.定义法:直线和圆只有一个公共点时,我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法:圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时,直线与圆相切;3.判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点归纳,用三角尺过圆上一点画圆的切线.做一做(2)过点P沿着三角尺的另一条直角边画直线l,则l就是所要画的切线.如图所示.如下图所示,已知⊙O上一点P,过点P画⊙O的切线.画法:(1)连接OP,将三角尺的直角顶点放在点P处,并使一直角边与半径OP重合;为什么画出来的直线l是⊙O的切线呢?,例1已知:如图所示,AD是圆O的直径,直线BC经过点D,并且AB=AC,∠BAD=∠CAD.求证:直线BC是圆O的切线.D典例精析证明因为AB=AC,∠BAD=∠CAD,所以AD⊥BC.又因为OD是圆O的半径,且BC经过点D,所以直线BC是圆O的切线.,例1变式已知:直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是⊙O的切线.OBAC分析:由于AB过⊙O上的点C,所以连接OC,只要证明AB⊥OC即可.证明:连接OC(如图).∵OA=OB,CA=CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线.,1.如图,△ABC中,AB=AC,O是BC中点,E为⊙O上一点,且OE⊥AB.求证:AC是⊙O的切线.BOCEA针对训练,证明:连接OA,过O作OF⊥AC.∵△ABC中,AB=AC,O是BC中点.∴AO平分∠BAC,FBOCEA∴OE=OF.∵OE是⊙O半径,OF=OE,OF⊥AC.∴AC是⊙O的切线.又OE⊥AB,OF⊥AC.,(1)证明:连接OC,BC.∵FC=CB,∴∠DAC=∠BAC.∵CD⊥AF,∴∠ADC=90°.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∴∠ACD=∠B.2.如图,AB是⊙O的直径,点F、C是⊙O上的两点,且AF=FC=CB,连接AC、AF,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.(1)求证:CD是⊙O的切线;︵︵︵︵︵,∵BO=OC,∴∠OCB=∠OBC.∵∠ACO+∠OCB=90°,∠OCB=∠OBC,∠ACD=∠ABC,∴∠ACO+∠ACD=90°,即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;,(2)若CD=,求⊙O的半径.(2)解:∵AF=FC=CB,∴∠DAC=∠BAC=30°.∵CD⊥AF,CD=,∴AC=.在Rt△ABC中,∠BAC=30°,AC=,∴BC=4,AB=8,∴⊙O的半径为4.︵︵︵,(1)已明确直线和圆有公共点,连结圆心和公共点,即半径,再证直线与半径垂直.简记“有交点,连半径,证垂直”;(2)不明确直线和圆有公共点,过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点,作垂直,证半径”.方法归纳证切线时辅助线的添加方法例1例2,1.判断下列命题是否正确.⑴经过半径外端的直线是圆的切线.()⑵垂直于半径的直线是圆的切线.()⑶过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.()⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.()⑸过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.()当堂练习××√√√,2.如图所示,A是☉O上一点,且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是.APO相切,3.如图,O为正方形ABCD的对角线AC上一点,以O为圆心,OA的长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证:CD与⊙O相切.证明:连接OM,过点O作ON⊥CD于点N,∵⊙O与BC相切于点M,∴OM⊥BC,又∵ON⊥CD,O为正方形ABCD对角线AC上一点,∴OM=ON,∴CD与⊙O相切.,证明:连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OP,∴∠B=∠OPB,∴∠OPB=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC,∴PE⊥OP.∴PE为☉O的切线.4.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交边BC于P,PE⊥AC于E.求证:PE是☉O的切线.OABCEP,5.已知:△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.(1)如图1,AB为直径,要使EF为☉O的切线,还需添加的条件是(只需写出两种情况):①_________;②_____________.(2)如图2,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是☉O的切线.BA⊥EF∠CAE=∠BAFEOAFEOBCBC图1图2,证明:连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴∠D+∠DAC=90°,∵∠D与∠B同对,∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线.AFEOBC图2D,6.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD⊥AB于点D.P为AB延长线上一点,∠PCD=2∠BAC.(1)求证:CP为⊙O的切线;(1)证明:连接OC,如图1,∵OA=OC,∴∠BAC=∠ACO,∴∠POC=2∠BAC.∵∠PCD=2∠BAC,∠POC=2∠BAC,∴∠POC=∠PCD,∵CD⊥AB于点D,∴∠ODC=90°.∴∠POC+∠OCD=90°.∴∠PCD+∠OCD=90°.∴∠OCP=90°.∴半径OC⊥CP.∴CP为⊙O的切线.,(2)若BP=1,CP=.①求⊙O的半径;(2)解:①设⊙O的半径为r.在Rt△OCP中,OC2+CP2=OP2,∵BP=1,CP=.∴r2+()2=(r+1)2,解得r=2.∴⊙O的半径为2.,②若M为AC上一动点,求OM+DM的最小值.②∵∠OCP=∠ODC=90°,∠COD=∠POC,∴△COP∽△DOC,∴,即,∴CD=,如图,作点O点关于AC的对称点E,连接AE,EC,ED,ED交AC于点M,此时OM+DM的值最小,为ED,∵AC垂直平分OE,∴AE=AO,∴∠OAC=∠EAC,,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠EAC=∠OCA,∴AE∥OC,∵OA=AE=OC=2,∴四边形AOCE是菱形,∴EC=2,∠ECD=90°,在Rt△ECD中,EC=2,CD=,∴ED2=CE2+CD2=.∵OM+DM的最小值为.,课堂小结切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点,则相切d=r,则相切经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.证切线时常用辅助线添加方法:①有公共点,连半径,证垂直;②无公共点,作垂直,证半径.
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