华东师大版九下数学27.1.3第2课时圆周角定理的推论学案

27.1圆的认识3.圆周角第2课时圆周角定理的推论学习目标：1.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程.（重点）2.能运用圆周角定理的推论解决有关问题.（难点）自主学习一、知识链接1.如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠B=56°，则∠C的度数是.第1题图第2题图2.如图，若∠AOB=100°，则∠C的度数为__________.二、新知预习（预习课本P43-44）填空并完成练习：1.推论190°的圆周角所对的弦是_______.2.如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的________，这个多边形叫做这个圆的____________.3.推论2圆内接四边形的对角__________.练习：1.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是_______.第1题图第2题图2.如图，若△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，则⊙O的半径为________.合作探究一、要点探究探究点1：圆周角定理的推论1观察与探究如图，点A、B、C在圆上，∠C=90°.问题命题：若AB是直径，则其所对的圆周角∠C为90°.请写出它的逆命题，逆命题是真命题吗？ 试一试请证明你的结论.已知：如图，___________________________________________________.求证：_____________________________.证明：假设AB不是圆的直径，不妨设AD是圆内的一条直径，连结CD.易知___________=90°.∵∠ACB=90°，且由图可知，∠ACB≠__________,即假设不成立，∴_______________________.【要点归纳】90°的圆周角所对的弦是直径.【典例精析】例1如图①，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是cm．图①图②【方法归纳】在圆中遇90°角，通常连结圆上两点（非直角顶点），构造直径.【针对训练】如图②，半径为3的⊙A经过原点O和点B（0，2），点C是y轴左侧⊙A上一点，则tan∠OCB=.探究点2：圆周角定理的推论2概念学习如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形.猜想与论证如图，四边形ACBD为⊙O的内接四边形.（1）若CD是直径，则∠DAC=_____°,∠DBC=______°,∠DAC+∠DBC=_______°，∠C+∠D=______°.（2）若线段CD不经过点O，先用量角器量一量∠C和∠D的度数，它们之间存在怎样的数量关系？结合（1）中的结果，写出你的结论：你的结论：证明：由圆周角定理可知：∠1=__________,∠2=__________,∵∠1+∠2=__________=__________°，∴∠C+∠D=__________°.【要点归纳】圆内接四边形的对角互补.【典例精析】例2如图③，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，若∠BCD=120°，则∠BOD的度数为_________.【针对训练】如图④，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=∠B，则∠D的度数为_________. 图③图④图⑤图⑥例3如图⑤，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM=70°，则∠AOC的度数为_________.【针对训练】如图⑥所示，四边形ABCD内接于⊙O，A为的中点，∠ABD=65°，连结BD，则∠BCE=_________.二、课堂小结圆周角圆周角定理的推论1内容90°的圆周角所对的弦是直径.辅助线作法在圆中遇90°角，通常连结圆上两点（非直角顶点），构造直径.圆周角定理的推论2内容圆内接四边形的对角互补.拓展对角互补的四边形，其顶点在同一个圆上当堂检测1.如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠C=100°，则∠A=_________°.第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图，若∠BOD=140°，则∠BCD=_________°.3.如图，AB是半圆O的直径，C、D是上两点，若∠D=110°，则∠ABC=_________°.4.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C=2∠A，则cosA=_________.5.如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，BD为直径，四边形OABC是平行四边形，求∠D的度数． 6.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，过A、C、D三点的圆交BA的延长线于点E，连结EC．（1）求证：∠E=90°；（2）若AB=6，BC=10，求AE的长．参考答案自主学习一、知识链接1.34°2.50°二、新知预习1.直径2.外接圆内接多边形3.互补练习：1.110°2.2合作探究一、要点探究探究点1：圆周角定理的推论1问题逆命题为若∠C为90°，则其所对的弦AB为直径.试一试点A、B、C是圆上的三点，∠ACB=90°AB是圆的直径∠ACD∠ACDAB是圆的直径【典例精析】例15【针对训练】探究点2：圆周角定理的推论2猜想与论证（1）9090180180（2）∠C+∠D=180°2∠C2∠D2（∠C+∠D）360180【典例精析】例2120°【针对训练】60°例3140°【针对训练】50°当堂检测 1.802.1103.204.5.解：∵四边形OABC是平行四边形，∴CB=OA=OC=OB,即△OCB为等边三角形，∴∠COB=60°，∠D=∠COB=30°.6.解：（1）连结AD，∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°，∴点A、C、D在以AC为直径的圆上，∴∠E=90°；（2）∵BC=10，∴BD=5.∵∠B=∠B，∠ADB=∠E=90°，∴△BAD∽△BCE，∴，即，解得AE=．