华东师大版九下数学27.2.3切线长定理及三角形的内切圆教案

1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．（重点）2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．（难点）3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．（重点，难点）一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个面积最大的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．解析：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA＝PB.∵⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，∴EA＝EC，CF＝BF，∴△PEF的周长PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝(PE＋AE)＋(PF＋BF)＝PA＋PB＝2＋2＝4.方法总结：本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出△PEF的周长=PA+PB.【类型二】利用切线长定理求角的度数如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．解析：如图，连接OA、OB,OP.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.由切线长定理可知∠OPA＝,∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到PO平分∠APB.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中解直角三角形易求得半径.解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝(cm)，即铁环的半径为cm.方法总结：解决此类问题时常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形来解决有关问题.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线、底边高、角平分线的交点．∴∠OCD＝30°，OD⊥BC，∴CD＝BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，∴OD2＋12＝(2OD)2，∴OD＝.即⊙O的半径为.方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线、底边高、角平分线的交点，它到三边的距离相等．【类型二】求三角形的周长,如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(　　)A．rB.rC．2rD.r解析：连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.因为∠B=90°，OD=OE,所以四边形ODBE为正方形.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r，故选C.方法总结：考查了切线长定理和切线的性质，证明Rt△MBN的周长等于BD+BE是关键.三、板书设计教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.