人教版数学七年级下册：8.2加减消元法解二元一次方程组教案

教学基本信息课题加减消元法解二元一次方程组学科数学学段：初中年级初一教材书名：义务教育教科书数学七年级下册出版社：人民教育出版社出版日期：2012年10月第1版教学目标及教学重点、难点学习目标：1．理解加减消元的依据；2．利用加减消元法解二元一次方程组.重点：1.加减消元的依据；2.加减消元法解二元一次方程组的步骤.难点:根据二元一次方程组的未知数系数特征选择消元的方式.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习复习上一课时的内容：解二元一次方程的方法是将二元方程通过消元转化为一元方程，上一课时中学习了代入消元的方法.练习：代入法解二元一次方程组总结：1.代入消元法的依据是同一个问题中同一个量代表相同的意义，利用等量代换来消元；结合具体的题目复习代入消元的方法，理解代入消元的依据，以及解方程变形的依据，复习解方程的基本过程，为后面加减消元法的引入做铺垫。8 2.解方程变形的依据是等式的性质.新课例1：解方程组，有其他消元的方法么？讨论消元的方法：观察方程组中未知数的系数特征，发现方程左边的两个代数式中y的系数都是1，作差即可消去未知数y。因此将两个方程作差，即两个方程的左右两边分别作差，就可以消去未知数y。上述消元的依据：等式的性质消元后，进一步解方程，方程变形的依据是等式的性质。进一步对比两个方程按照不同的顺序作差的共同之处和不同之处：都可以达到消去未知数y的目的，而方程2减去方程1会出现符号变号的问题.例2：你能类比例1的方法解二元一次方程组么？观察方程组中未知数的系数特征，虽然不含有相同的未知数系数，方程左边的两个代数式中未知数y的系数一个是10，一个是-10，互为相反数，相加即可消去未知数y。因此，将两个方程相加，即两个方程的左右两边分别相加，根据等式的性质，即可达到消元的目的。进一步根据等式的性质变形，就可以求解方程组。结合例题发现当方程组含有未知数系数相同时，可以通过方程左右两边分别作差，依据等式的性质而达到消元的目的。结合例题发现当方程组含有未知数系数互为相反数时，可以通过方程左右两边分别相加，依据等式的性质而达到消元的目的。8 结合例1和例2.归纳总结加减消元法的定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．加减消元法的依据是：等式的性质。例3：利用加减消元法解二元一次方程组观察方程组中未知数的系数特征，发现没有相同或相反的系数，因没有办法直接通过相加或相减消元。那么能否构造出相同或相反的系数呢？选择哪个未知数构造呢？如何构造想相同或相反的系数呢？方法一：根据x构造相同的系数5.则方程1的两边同时乘以三分之五，根据等式的性质，等号依旧成立，得到一个新的方程，记为方程3，则方程2和方程3中x的系数相同，就可以作差消去未知数x，进一步即可求解方程组。方法二：根据x构造相同的系数15，即3和5的最小公倍数。根据前面的两个例题，引出加减消元法的定义当方程组中的未知数系数不相同或相反时可以通过构造相同或相反的系数，然后加减消元。体会构造相同或相反系数的依据是等式的性质。8 则方程1的两边同时乘以5，根据等式的性质，等号依旧成立，得到一个新的方程15x+20y=80，记为方程3，方程2的两边同时乘以3，得到新的方程15x-18y=99，记为方程4.则方程3和方程4中x的系数相同，就可以作差消去未知数x，进一步即可求解方程组。比较上述两种方法，共性都是依据等式的性质对方程变形，构造相同的系数后作差消元，不同之处在于方法一只对一个方程变形，但是出现分数系数运算较麻烦，而方法二要对两个方程都变形，但是整系数运算比较简便。进一步看方法三：如果选择y构造相反的系数。由于4和6的最小公倍数是12，所以方程1的两边同时乘以3，得到9x+12y=48，记为方程3，方程2的两边同时乘以10x-12y=66，记为方程4，则方程3和方程4中y的系数互为相反数，就可以相加消去未知数y，进一步即可求解方程组。比较方法二和方法三，都是利用系数的最小公倍数构造相同或相反的系数，然后加减消元。这样的构造方法一是能够保证整数系数的运算，二是能够保证系数不会过大从而带来计算量的增大。对比两个方法，为减小运算量，选择系数公倍数较小的未知数消元。根据前面的分析，总结加减消元法解二元一次方程组的步骤：通过不同的构造系数的方法，体会如何构造运算会更加简便。8 如果方程组中有未知数的系数相同或相反，如果系数相同，则将两个方程相减，即将方程组的左右两侧分别相减，利用等式的性质即可消去这个未知数，转化为一元一次方程，就可以求解；如果系数相反，则将两个方程相加，即将方程组的左右两侧分别相加，利用等式的性质即可消去这个未知数，转化为一元一次方程，就可以求解。如果方程组中没有未知数系数相同或相反，则我们可以选择同一未知数系数的最小公倍数，利用等式的性质构造相同或相反的系数，然后通过相减或相加达到消元的目的，从而可以求出方程组的解。总结总结加减消元法解二元一次方程组的步法，帮助学生整理算法。8 练习巩固练习1：练习1：加减消元法解二元一次方程组（1）（2）（3）（4）分析：（1）观察系数特征，选择将y的系数化为4，然后相减消元解方程；（2）观察系数，选择将x的系数互为6，然后相减消元解方程；（3）和（4）需要先整理，去括号、去分母、合并同类项为a1x+b1y=c1和a2x+b2y=c2的形式后，再判断加减消元的方法。结合练习题复习巩固加减消元法中构造相同的系数加减消元的方式，巩固运算过程。进一步，当方程出现分母、括号或同类项时需要先整理，再判断加减消元的方式。提升练习提升训练1：已知，探究x和y满足的等量关系.分析：要探究x和y满足的等量关系，即我们要建立含有x和y的等式，这个等式中只能含有x和y两个未知数，不能再有其他的未知数出现。观察给出的方程组，一共有三个未知数x，y和t，因为要建立x和y的等量关系，所以这里的t是多余的未知数，因此我们可以通过加减消元法消去t这个未知数；将两个方程分别记为方程1和方程2，两个方程中t的系数分别为3和5，最小公倍数为15，于是分别将方程1×5，方程×3，构造出相同的t的系数15，通过作差就可以消t提升训练2：8 解关于x，y的二元一次方程组分析：由于是关于x，y的二元一次方程组，所以x，y是未知数，我们可以把k看成是已知的参数，最终求出的方程组的解可以是含有k的代数式，即我们可以用含有k的代数式来表示x，y，因此这里k无需消元，要消去的是x或y。因此将方程组改写为：，然后通过加减消元，可以选择相同系数的x相减消元，也可以选择相反系数的y相加消元，即可求解。提升训练，进一步体会当未知数增加时，如何根据条件和结论选择未知数消元，并根据方程组系数的特征选择消元的方式。总结反思1．消元有几种方法？依据是什么？2．如何通过加减消元法解二元一次方程组？3.通过消元的方法还能解决哪些问题？总结反思作业1.利用加减法解方程组.（1）（2）（3）（4）2.解关于、的二元一次方程组：3.已知方程组的解满足方程，求的值.复习巩固本课时学习的内容8 8