1.1 等腰三角形第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质课件

1.1等腰三角形第一章三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质 学习目标1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点)2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点) 导入新课观察与思考观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？ 思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？ 一个三角形满足什么条件就是等边三角形?由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.你能证明这些定理吗？等边三角形的判定一讲授新课 ABC已知：如图，∠A=∠B=∠C.求证：AB=AC=BC.∵∠A=∠B,∴AC=BC.∵∠B=∠C,∴AB=AC.∴AB=AC=BC.证明： 定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.ABC已知：若AB=AC,∠A=60°.求证：AB=AC=BC.证明：∵AB=AC,∠A=60°.∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ 证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，∴∠A=60°(三角形内角和定理)．∴∠A=∠B=∠C=60°．∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．求证:△ABC是等边三角形．第二种情况：有一个底角是60°.ACB60°【验证】 等腰三角形(含等边三角形)性质判定的条件等边对等角等角对等边“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合有一角是60°的等腰三角形是等边三角形等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形归纳总结 例1如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,求证：△ADE是等边三角形.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？典例精析 变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE如图,在等边三角形ABC中，AD=AE,求证：△ADE是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵AD=AE,∴△ADE是等腰三角形∴△ADE是等边三角形.又∵∠A=60°. 含30°角的直角三角形的性质二操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？30°30°你能说出所拼成的三角形的形状吗？猜想：在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？30°30°30°30°30°合作探究结论:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.求证:BC=AB.A30°BC分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题转化“线段相等”问题猜想验证30°30° ∵∠ACB=90°,(已知)∴∠ACD=90°，(平角意义)在△ABC与△ADC中，BC=DC，（作图）∠ACB=∠ACD，（已证）AC=AC，（公共边）∴△ABC≌△ADC（SAS），∴AD=AB；∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知)∴∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)∴BC=BD=AB．(等式性质)30°ABCD证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD， 定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．几何语言：在△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°．∴BC=AB．(在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)ABC30°推论：归纳总结 CBAD例2如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高，求CD的长.解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知)∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，∵∠ADC=90°，∴CD=AC=a．（在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半） 例3已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．求证:BD=DACB30°证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°∴BC=∠B=60°．∴∠BCD=30°，∴BD=∴BD= 1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.9当堂练习2.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．则AC=_____;BC=_______．ABC330°6 3.已知：如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE.求证：△ABC是等边三角形.证明:∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA， 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=BD．又∵BC=AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即△ABD是等边三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．4．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=AB．求证：∠BAC=30°．CBAD 课堂小结1.等边三角形的判定:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．三个角都相等的三角形是等边三角形．2.特殊的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3.数学方法：分类的思想．