初中数学 人教版(2012) 7上 导学案：4.3.2 角的比较与运算

第四章几何图形初步4.3角4.3.2角的比较与运算学习目标：1.掌握角的大小的比较方法.2.理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题.3.会进行涉及度、分、秒的角度的计算.重点：掌握角的大小的比较方法，理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述.难点：能够解答角平分线和角的和、差、倍、分有关的问题，会进行涉及度、分、秒的角度的计算.课堂探究一、要点探究探究点1：角的比较与计算合作探究：类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？观察与思考：图中有几个角？它们之间有什么关系？,针对训练如图所示：(1)∠AOC是哪两个角的和？(2)∠AOB是哪两个角的差？(3)如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？例1填空：(1)如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝度．(2)如图②，若∠AOB=60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝度．(3)若∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，则∠BOC＝度．易错提醒：在计算角的度数时，若无图，一定要注意分类讨论.试一试：如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？,例2计算（1）120°－38°41′；（2）67°31′+48°49′.要点归纳：涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.针对训练1.用一副三角板不能画出（　　）A．15°角B．135°角C．145°角D．105°角2.已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为（　　）A．28°B．112°C．28°或112°D．68°3.计算：（1）20°30′×8；（2）106°6′÷5.探究点2：角的平分线互动探究,动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：∠AOC_____∠COB;∠AOB=_____∠AOC.要点归纳：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个_________的角的射线，叫做这个角的平分线.应用格式：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝________∠AOB，∠AOB＝________∠BOC＝________∠AOC.例3如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.(1)如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？(2)如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？(3)如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？例4已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．,方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.针对训练1.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是()A.∠COD=∠AOCB.∠AOD=∠AOBC.∠BOD=∠AOBD.∠BOC=∠AOB2.如图，OC是平角∠AOB的平分线，∠COD=32°，求∠AOD的度数.二、课堂小结,当堂检测1.如图，∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=146°，则∠BOC=____.第1题图第3题图2.已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC的度数是.3.如图，∠AOB=170°，∠AOC=∠BOD=90°，则∠COD的度数为_________.4.计算：(1)12°36′56″+45°24′35″；(2)79°45′+61°48′49″；(3)62°24′17″×4；(4)102°43′÷3.,5.如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．6.如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.(1)求∠EOD的度数；(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．参考答案课堂探究一、要点探究探究点1：合作探究1.度量法比较；2.叠合法比较.观察与思考解：图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.它们的关系：∠AOC是∠AOB,与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC－∠BOC；类似地，∠AOC－∠AOB=∠BOC.【针对训练】解：（1）∠AOC=∠AOB+∠BOC. （2）∠AOB=∠AOC－∠BOC=∠AOD－∠BOD. （3）∠AOC=∠BOD.例1（1）75（2）20（3）90或30试一试：还能画出150°，105°，135°.如图所示.例2解：（1）原式=81°19′.（2）原式=116°20°.【针对训练】1.C2.C3.解：（1）原式=164°.（2）原式=21°13′12″.探究点2：互动探究=2要点归纳相等22例3解：（1）因为OB平分∠AOC，∠AOC=80°，所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°. （2）因为OB平分∠AOC，所以∠BOC=∠AOB=40°.因为OD平分∠COE，所以∠COD=∠DOE=30°，所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°. （3）因为∠COD=30°，OD平分∠COE，所以∠COE=2∠COD=60°，所以∠AOC=∠AOE－∠COE=140°－60°=80°.又因为OB平分∠AOC，所以∠AOB=∠AOC=×80°=40°.例4解：若OC在∠AOB内部，如图，∵∠AOC：∠COB=2：3，∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，∴∠AOC=2x=2×8°=16°，∠COB=3x=3×8°=24°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．      ,             若OC在∠AOB外部，如图，∵∠AOC：∠COB=2：3，∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴3x-2x=40°，得x=40°，∴∠AOC=2x=2×40°=80°，∠COB=3x=3×40°=120°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．【针对训练】1.A2.解：∠AOD=122°.当堂检测1.34°2.13°或63°3.10°4.解：(1)原式=58°1′31″；(2)原式=141°33′49″；(3)原式=249°37′8″；(4)原式=34°14′20″. 5.解：设∠COD=x，∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，∴∠AOD=60°-x，∴∠AOB=90°+60°-x=150°-x，∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°-x=3x，解得x=37.5°，∴∠AOB=3×37.5°=112.5°． 6.解:（1）∵∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB＝×120°＝60°.（2）解：∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，∴∠AOC＝120°－90°＝30°. ∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.