初中数学 人教版(2012) 7上 导学案：4.3.3 余角和补角

第四章几何图形初步4.2直线、射线、线段第1课时直线、射线、线段学习目标：1.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.2.了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.重点：了解余角、补角的概念及性质，了解方位角的概念和表达方式.难点：运用余角、补角和方位角的相关知识解题.自主学习一、知识链接如图①，在长方形中，∠1+∠2=°，∠3+∠4=°.图①二、新知预习1.如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为______(简称为两个角______).如图①，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.2.如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为______(简称为两个角______).如图①，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.三、自学自测1.图中给出的各角，哪些互为余角？,2.图中给出的各角，哪些互为补角？四、我的疑惑__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________,课堂探究一、要点探究探究点1：有关余角和补角的计算例1若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.方法总结：余补角问题中，若角之间有比较明显的倍分关系，可尝试将较小的角设为未知数，列方程解答.例2如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．观察与思考：∠α∠α的余角∠α的补角5°32°45°,77°62°23′x°(0＜x＜90)观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.针对训练1.如果∠a=36°，那么∠a的余角等于（　　）A．54°B．64°C．144°D．134°2.如图，将一副直角三角板如图放置，若∠AOD=18°，则∠BOC的度数为_____.第2题图变式题图【变式题】一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大44°，则∠1=______.3.已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数.探究点2：余角和补角的性质思考：∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？,例3如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．针对训练如图，已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.探究点3：方位角八大方位正东：正南：正西：正北：西北方向：西南方向：东北方向：,东南方向：例4如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.针对训练1.如图，说出下列方位(1)射线OA表示的方向为.(2)射线OB表示的方向为.(3)射线OC表示的方向为..(4)射线OD表示的方向为.2.费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测.其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？二、课堂小结,当堂检测1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（　）A．30°B．45°C．60°D．75°2.下列说法正确的是（　　）A．一个角的补角一定大于它本身B．一个角的余角一定小于它本身C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角D．一个角的余角一定小于其补角3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.4.∠1与∠2互余，∠1=(6x+8)°，∠2=(4x－8)°，则∠1=，∠2=.5.如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.(1)图中有哪几对互余的角？(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？,6垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖面，从A船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向.(1)试在图中确定白色漂浮物C的位置；(2)点C在点A的北偏东60°的方向上，那么点A在点C的________方向上.A.南偏东30°B.南偏西30°C.南偏东60°D.南偏西60°,参考答案自主学习一、知识链接90180二、新知预习1.余角互余2.补角互补三、自学自测1.10°和80°的角、25°和65°的角、44°和46°的角互为余角.2.15°和165°的角、31.5°和148.5°的角、50°和130°的角、70°和110°的角互为补角.课堂探究一、要点探究探究点1：例1解：设这个角为x°，则它的补角是(180－x)°，余角是(90－x)°. 根据题意，得180－x=4(90－x).解得x=60. 答：这个角的度数是60°. 例2解：设∠AOB=x，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°-x．因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，所以∠AOM=（180°-x），∠AON=x.所以（180°-x）-x=40°.解得x=50°，则180°-x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°. 观察与思考90°【针对训练】1.A2.162°【变式题】67°3.解：∵∠A与∠B互余，∴∠A+∠B=90°，又∵∠A的度数比∠,B度数的3倍还多30°，∴∠A=3∠B+30°，∴3∠B+30°+∠B=90°，解得∠B=15°．故∠B的度数为15°．探究点2：思考∠2=180°－∠1，∠3=180°－∠1，∠2=∠3.例3解：（1）∠COE、∠BOE∠COE、∠BOE（2）解：是，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠COD+∠COE=90°，∠AOD+∠BOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD，∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC.【针对训练】∠BOC和∠AOD探究点3：射线OA射线OB射线OC射线OD射线OE射线OF射线OH射线OG例4解：【针对训练】1.(1)北偏东40°(2)北偏西65°(3)南偏西45°(西南)(4)南偏东20° 2.解：如图所示., 当堂检测1.A2.D3.150°4.62°28° 5.解：（1）∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°.∠1+∠B=90°，∠1+∠2=90°. （2）∠B=∠2(同角的余角相等)，∠A=∠1(同角的余角相等).6.解:（1）如图所示.（2）D