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初中数学 人教版(2012) 9上:22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 教案
初中数学 人教版(2012) 9上:22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 教案
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第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k的图象.2.掌握形如y=a(x-h)2+k的二次函数图象的性质,并会应用.3.理解二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的联系. 一、情境导入对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,你能说出它的顶点坐标、对称轴和开口方向吗?你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向一致的二次函数吗?二、合作探究探究点一:二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质【类型一】二次函数y=a(x-h)2+k的图象求二次函数y=x2-2x-1的顶点坐标、对称轴及其最值.解析:把二次函数y=x2-2x-1化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,就会很快求出二次函数y=x2-2x-1的顶点坐标及对称轴.解:y=x2-2x-1=x2-2x+1-2=(x-1)2-2,∴顶点坐标为(1,-2),对称轴是直线x=1.当x=1时,y最小值=-2.方法总结:把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)形式常用的方法是配方法和公式法.【类型二】二次函数y=a(x-h)2+k的性质,如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,x=-1是对称轴,有下列判断:①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③a-b+c=-9a;④若(-3,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1>y2.其中正确的是( )A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④解析:∵-=-1,∴b=2a,即b-2a=0,∴①正确;∵当x=-2时点在x轴的上方,即4a-2b+c>0,②不正确;∵4a+2b+c=0,∴c=-4a-2b,∵b=2a,∴a-b+c=a-b-4a-2b=-3a-3b=-9a,∴③正确;∵抛物线是轴对称图形,点(-3,y1)到对称轴x=-1的距离小于点(,y2)到对称轴的距离,即y1>y2,∴④正确.综上所述,选B.方法总结:抛物线在直角坐标系中的位置,由a、b、c的符号确定:抛物线开口方向决定了a的符号,当开口向上时,a>0,当开口向下时,a<0;抛物线的对称轴是x=-;当x=2时,二次函数的函数值为y=4a+2b+c;函数的图象在x轴上方时,y>0,函数的图象在x轴下方时,y<0.【类型三】利用平移确定y=a(x-h)2+k的解析式将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向下平移1个单位,所得的抛物线是( )A.y=(x-2)2-1B.y=(x-2)2+1C.y=(x+2)2+1D.y=(x+2)2-1解析:由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为:y=x2-1;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=x2-1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y=(x-2)2-1,故选A.,探究点二:二次函数y=a(x-h)2+k的应用【类型一】y=a(x-h)2+k的图象与几何图形的综合如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,以A为顶点的抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x=-2,点C在抛物线上,且位于点A、B之间(C不与A、B重合).若△ABC的周长为a,则四边形AOBC的周长为________.(用含a的式子表示)解析:如图,∵对称轴为直线x=-2,抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,∴OB=4,∵由抛物线的对称性知AB=AO,∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=△ABC的周长+OB=a+4.故答案是:a+4.方法总结:二次函数的图象关于对称轴对称,本题利用抛物线的这一性质,将四边形的周长转化到已知的线段上去,在这里注意转化思想的应用.【类型二】二次函数y=a(x-h)2+k的实际应用心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y=-(x-13)2+59.9(0≤x≤30),y值越大,表示接受能力越强.(1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?(2)第10分钟时,学生的接受能力是多少?(3)第几分钟时,学生的接受能力最强?解:(1)0≤x≤13时,学生的接受能力逐步增强;13≤x≤30时,学生的接受能力逐步降低.(2)当x=10时,y=-(10-13)2+59.9=59.故第10分钟时,学生的接受能力是59.(3)当x=13时,y值最大,是59.9,故第13分钟时,学生的接受能力最强.,三、板书设计教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质,体会数学建模的数形结合思想方法.
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