初中数学 人教版(2012) 9上：24.2.2 第2课时 切线的判定与性质 教案

第2课时　切线的判定与性质1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明．3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、情境导入约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？二、合作探究探究点一：切线的判定【类型一】判定圆的切线如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端，,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．探究点二：切线的性质【类型一】利用切线进行证明和计算如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.(1)求证：△ACB≌△APO；(2)若AP＝，求⊙O的半径．(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO.(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝，∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O的半径为1.【类型二】切线的性质与判定的综合应用如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且＝＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CD＝2，求⊙O的半径．分析：(1)连接OC，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD＝∠B，再根据等量代换得到∠ACO＋∠ACD＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；(2)由＝＝推得∠DAC＝∠BAC＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长，进而求得⊙O的半径．,(1)证明：连接OC，BC.∵＝，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)解：∵＝＝，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝2，∴AC＝4.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半径为4.【类型三】探究圆的切线的条件如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.(1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；(2)当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长．解析：(1)当点P是的中点时，得＝，得出PA是⊙O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出△ABE∽△ADP，即可求出DP的长．解：(1)当点P是的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：∵AB＝AC，∴＝，又∵＝，∴＝，∴PA是⊙O的直径．∵＝，∴∠1＝∠2，又AB＝AC，∴PA⊥BC.又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切线．(2)连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理，得BE＝BC＝6.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝＝8.设⊙O的半径为r，则OE＝8－r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2，解得r＝.在Rt△ABC,中，AP＝2r＝，AB＝10，∴BP＝＝.三、板书设计教学过程中，强调只要出现切线就要想到半径，就要想到有垂直的关系，要形成一个定势思维.